51.应付多少钱的邮费？
秘书小姐在下班前为一大堆邮件贴上邮票。她有许多邮票，但是面额只有两种，她不知道是否能正确组合这些邮票而得到应付的邮资。不过经验告诉她，虽然以这些邮票无法组合出39元的邮资，但是却可以组合出其他较高额的邮资。假设邮票的面额都是整数，请问面额可能是多少？
分析与解答：
这个题目与“可能达到的分数”有异曲同工之处。
令 mn-m-n＝39
则 (m-1)(n-1)＝40
所以 (m-1)(n-1)＝1×40或2×20或4×10或5×8故可能的m、n组合
(m，n)＝(2，41)或(3，21)或(5，11)
或(6，9)
其中(3，21)和(6，9)很显然是不正确的，因为可以组合出39。
然而，无论是以面额2元及41元，或是5元及11元的邮票，在无法组合出的邮资中，金额最高的都是39元。因此这两组答案都是正确的
52.共有多少个是质数
产生包含1、2、3、…9且每个数字只出现一次的数，是很有趣的一件事。可是由于大多数的计算器只能显示八位数，因此在计算下面这些题目时，恐怕不是光靠按键就可以完成的。
请完成下列计算：
118262＝ 193772＝
125432= 196292=
156812＝ 231782＝
180722＝ 290342=
事实上有83个数字的平方包含1、2、3、…9且每个数字只出现一次。如果你会使用电脑，也许你可以设计程序找出它们。
现在试着完成下列计算：
11 1132-2002＝
31 1112-2002＝
11 1152-2942＝
191 1612-188 5602=
用 1、2、3、…9且每个数字只用一次，可以产生362 880个不同的数字，其中有多少个是质数？
解答与分析：
11 8262＝139 854 276 9 3772＝375 468129
12 5432＝157 326 849 9 6292＝385 297641
15 6812＝245 893 761 23 1782＝537 219684
18 0722＝326 597 184 9 0342＝842 973156
将这些数字平方，在你的计算器上可能只会正确显示出前面七位数。再平方最后两位数，就能得出乘积的最后两位数。
用同样的方法计算平方数的差，或利用a2-b2＝(a＋b)(a-b)。
11 1132- 002＝123 458769
11 1152 942＝123 456789
31 1112- 002＝967 854321
191 1612-188 5602＝987 654321
因为1＋2＋3＋4＋…＋9＝45，而45可被3整除，因此所有的这些数字都是3的倍数，所以它们没有一个是质数。
53.狐狸和乌鸦的游戏
这是两人玩的游戏，十字架形的棋盘。你需要17个筹码代表鹅，摆在图上标有G的位置。还要有一个不同颜色或大小的筹码代表狐狸，摆在中央标有F的方格。
鹅每次可以移动一格，向左、向右、向下都可以，但不能走对角线，也不能向上。
狐狸每次移动一格，上下左右都可以。如果有一只鹅在它面前，而这只鹅旁边的方格是空的，那么狐狸就可以跳过鹅，并把这只鹅吃掉。
鹅要想办法把狐狸困住，使它无法移动；而狐狸则要尽量吃掉鹅，并避免被困住。
游戏开始时，由鹅先走。
请试着找出致胜的策略。
54.逻辑数值（聪明人都在做的思维游戏15）
空缺处的逻辑数值是多少？
空缺处的逻辑数值是多少？
55.字母游戏（聪明人都在做的思维游戏14）
下面的图形可以折叠出a、b、c、d、e、f六个选项中的哪一个？
56.九宫格游戏（聪明人都在做的思维游戏13）
你能算出最后一个六边形中缺少什么数字吗？
57.三角形填数游戏（聪明人都在做的思维游戏12
想一想，问号处应该填上什么数字？
58.数字游戏（聪明人都在做的思维游戏11）
猜猜看，问号处应该填入哪个图形？
59.巧填正方形（聪明人都在做的思维游戏5）
“？”所在的位置应该填入选项中的哪一个长方形？
60.趣填字母（聪明人都在做的思维游戏5）
猜一猜，在？的地方填入哪一个字母可以完成这道谜题？
61.巧填数字（聪明人都在做的思维游戏8）
将数字1－9放进数字路线中，使得各等式成立。想想都应该填写什么数。
62.移动火柴（聪明人都在做的思维游戏7）
怎么样才能只移走两根火柴,使现在的图形保留四个正方形.
63.解剖图形（聪明人都在做的思维游戏6）
即使你无法看到这个不规则立方体图形的全貌,你也依然能剖面中哪一个是不可能出现的呢?够在心中精确地勾画出它的外观.如果从不同方向进行观察,下面这四个剖面中哪一个是不可能出现的呢?
64.垒砖墙（聪明人都在做的思维游戏5）
如果下面这个建筑四面都很完整,那么它总共用了多少块砖呢?
65.拼木块（聪明人都在做的思维游戏4）
有一块木板,突出的一角是一个小正方形,每边长1厘米,同他相连的一个中正方形,其面积是16平方厘米,这个中正方形又同面积为64平方厘米的大正方形相连.大,中,小三者合计,面积正好是81平方厘米. 现在打算把这块木板做成一个9乘9的正方形遮窗板.请问应该怎样锯木板才能拼出正方形.当然,块数锯得越少越好.
66.找图形（聪明人都在做的思维游戏3）
找找看，哪个图形适合填在空白的部分？
67.椭圆填数（聪明人都在做的思维游戏2）
同学们，应该在最后一个椭圆里填什么数字？
68.巧填环形图（聪明人都在做的思维游戏一）
考考你：你能想出在？处填上什么数字后可以完成这个环形图吗？
69.双胞胎的秘密
49要乘上多少才能得到4949？
38要乘上多少才能得到383838？
请找出4个质数，它们与一个二位数ab相乘所得的乘积为ababab。研究一下，一个二位数ab与73×101×137的乘积会是多少。
答案与分析：
49× 101＝4949
38×10 101＝383838
10 101=3×7×13×37
因此任何二位数ab乘以3，再乘以7，再乘以13，再乘以37，都会得到ababab。
73×101×137＝1 010101 因此ab乘上这些数字之后，会得到abababab。
70.魔数的性质
写下任意三位数abc，重复数字使之成为六位数abcabc。 将这个数除以13，余数忽略不计。
将所得的商除以7，余数忽略不计。
最后再除以11。
你注意到什么了吗？请解释这个现象。
答案与分析：
任何具有abcabc形式的六位数，都相当于1 000×abc＋1×abc，也就是1 001×abc。由于1 001＝13×7×11，因此不会有余数。
71.质数幻方趣味题
请找出适当的质数填入空格内，使每一行、每一列，以及对角线上的数字和都相等。
研究其他3×3的质数幻方。用不超过300的数字所组成的幻方中，数字和最小的是多少？
答案与分析：
解答如下所示。只要知道幻方中每行、每列及对角线的数字和是中央数字的3倍，就能轻易解出这个题目。
要想找出其他的质数幻方，首先要把所有的质数(例如300以下的质数)列表，然后再分析数字的形式，使之能符合幻方的条件。
上面第二个方阵是笔者所排出的数字和最小的幻方，如果你能找到更小的，笔者很乐意知道。记住，1不是质数。
72.显示器上错误的数字
某个计算器显示屏的电路出了毛病，所以每次应该显示x数字，出现的却是y数字。除此之外，这个计算器的功能都还正常。使用这个计算器做运算，结果如下：
5672+7747＝12975
279×767＝87717
这些数字都是在显示屏上看到的。
请问哪一个数字是错误的？它应该是哪一个数字？
答案与分析：
在那两道算式中，只有0和3没有出现。从第一道算式的个位数判断，可能3被7所取代，经过验算得知事实的确如此。
原来的算式应该是：
5 632+7 343＝12975
239×367＝87713
73.俄罗斯幻方
要把从1到16的数字排成幻方并不容易。不过你可以用下面介绍的方法，轻易地设计出幻方。
从左上角开始，把数字依序填入，如图1。
要排成幻方，每一行、每一列以及对角线上的数字和必须等于34。经过检查，我们发现对角线上的数字，如图2中圈起者，已经符合这个条件，不过每一行与每一列的和并不正确。再把不在对角线上的各个数字，与其斜相对的数字交换位置，如图3，就可以完成幻方，如图4。
换一种方式，如果把非对角线上的数字留在原位，而把对角线上的各个数字与其相对的数字互换，也可以排成幻方，如图5，这等于把图4的幻方旋转180°。
答案与分析：
这个题目是研究如何变换才能使幻方仍保持其特性，它还可以使你进而获得集体变换的观念。但是在某种程度上，它只是为了引起读者寻找更多幻方的兴趣，井借此激发读者研究的热情。
74.俄罗斯乘法原理
据说从前俄罗斯的农民使用过一种乘法，只需要用到2的乘除表。其方法是有系统地将被乘数除以2，同时将乘数乘以2。例如，要求39和79的乘积。
由39和79两数开始，左列的数字是把39除以2，不计余数，得出的数字再除以2，直到商数是1为止。右列的数字则是把79乘以2，得出乘积再乘以2，直到所对应的左列数字是1为止。
最后，由右列数字中挑出所对应的左列数字为奇数者(图中箭头所指)，再把这些数字加起来。这个和就是所要的答案。
39×79＝79＋158＋316+2528＝3081
用其他的数字试试这个方法，再用计算器核对答案是否正确。
你能解释这个方法的原理吗？
答案与分析：
这个方法的原理是，把被乘数减半以及挑选出奇数的数字的过程，实际上就是把被乘数转换为二进位数字的过程。
以例题中的39为例，每一次除以2所留下的余数由上而下分别是1、1、1、0、0、1。而39可以写成
39＝25＋0×24＋0×23＋1×22＋1×21＋1
＝100111(二进位数)
因此39的二进位表示法就是以相反的次序排列余数。
39×79＝(25×79)＋(22×79)＋(2×79)＋(1×79)
＝2 528+316+158+79
75.生日是哪一天
也许你知道你的生日是星期几，不过一般人大概都不知道自己的生日是星期几，即使父母也可能早就忘记了，而只记得是在几月几日。你想知道自己是在星期几出生的吗？
如果你有足够的耐心，可以仔细地推算回去，不过不要忘了每4年一次的闰年。这样做恐怕要花不少时间，下面我们提供较简单的方法：
(1)Y代表你出生的年份。
(2)D代表你生日是在一年中的第几天。
(3)计算X＝(Y-1)/4，忽略余数。
(4)计算 S＝Y＋D＋X。
(5)把S除以7，记下余数。
分析：
一般人通常对于与自己有关的事比较感兴趣，因此这个题目应该颇受欢迎。计算过程中较易犯错的地方是算错D的天数。对于一个一月出生的人，计算过程就简单得多了。
要了解其中的道理，首先要知道例如今年的元旦是星期日，去年的元旦就是星期六(其他日子也是如此)，也就是要往前推一天，但是闰年就要往前推两天。Y表示自公元元年起的年数，X则代表所有的闰年数，因此X＋Y就表示自公元元年开始，某天是星期几所往前推的天数。这个方法是先知道公元元年1月1日为星期五，并且有效地算出某天在当年是星期几，而且经过这些年它应该改变了多少。
事实上，这些年来历法已经有了相当大的改变，但是这个方法对于本世纪中的生日还是正确的。
74.加加减减的错位问题
我们在计算两个数字相减时，经常会遇到必须向前一位数借1的情况。其实并不是非借位不可。下面所讨论的补数加法，就是每个数字都用9来减，因此不会涉及借位的问题。
例如我们想计算573减489，可以不用借位，计算过程更轻松。先用999减去489得510，再将510加上573得 1083，忽略千位数1，而在个位数加1，就可以得到最后的答案84。
最后，83+1=84。
下面再举一个例子说明这种方法：
最后16677+1=16678
用传统的减法或计算器核对这两个答案，再自己出题试试这种方法。
现在请你解释为什么这个方法可行。
答案与分析：
这个方法可行的原因，可由下面的式子清楚地证明：
573-489＝573＋(1 000-1 000)-489
=573＋(999＋1-1 000)-489
＝573＋(999-489)＋1-1000
这个方法与电脑做减法运算的方式很类似，只是电脑是以二进位数字储存各运算值，因此电脑不是用一连串的“9”减去某数，而是用一连串的“1”。
做这样的运算非常简单，因为运算的结果就是把原来的“1”变成“0”，“0”变成“1”，例如1111-1011=0100。
75.八旬老人的真实年龄
有位八十多岁的退休数学老师，整天拿着他十几岁的曾孙女送给他的计算器玩。他发现自己年龄的两个数字的立方差，刚好等于曾孙女年龄的平方。他们两人各是多少岁？
分析与解答
83-73＝512-343＝169＝132
这位退休的数学老师87岁，他的曾孙女13岁。
76.汽车进口商
一批进口小汽车刚由货船上卸下，停放在码头边。汽车进口商在核对过车型之后，就到海关办公室完成必要的手续。他在那里发现这批汽车原价的总和是1111111英镑，这个数字令他觉得十分有趣。 这种汽车的原价是多少(为整数)？一共有多少辆车？
分析与解答
由于1 111 111是两个质数的乘积：4 649和239，因此有239辆车，每一辆为4 649英镑。当然，4 649辆车每辆239英镑，理论上也说得通，但却不切实际。
77.需要三思而后行的题目
(1)100kg的羽毛和100kg的煤炭，哪一个比较重？
(2)地上有一个长6m、宽2m、深6m的大洞，请问洞内泥土的体积是多少？
(3)有一艘船在港口外下锚停泊。为了方便参观的人上下船，船舷外吊挂着一条绳梯。绳梯每级的距离是30cm。在上午10时，绳梯有12级露在水面上。潮水上涨的速度是每小时60cm，因此市长把登船参观的时间延迟到下午1时，她认为这样就可以少爬几级绳梯。假设潮水上涨的速度保持一定，而且市长也准时到达，请问她到底需要爬几级绳梯？
(4)一个羽毛球拍和一个球要128元，球拍比球贵120元，那么一个球要多少钱？
(5)有位农夫的玉米田里野兔肆虐。一天晚上，他带着猎枪去田里捕杀野兔。到了田里，他发现有13只野兔正在啃食他的玉米，于是开了一枪，一只野兔中弹身亡。请问田里还有几只野兔？
如果你从来没有见过类似的题目，很可能会被骗！
(1)都是100kg，所以一样重。
(2)“洞”里是没有泥土的。
(3)船也会随着涨潮而上浮，因此市长还是得爬12级绳梯。
(4)是4元，不是8元。
(5)一只野兔，死掉的那一只
78.谁的答案是错误的？
有位数学老师为了让班上同学练习使用计算器，出了一道联立方程要大家求解。
35.26x+14.95y＝28.35
187.3x+79.43y＝83.29
他自己并没有亲自计算过这道题目，因为他是从参考书上抄下来的，因此他已经知道答案了。但他在抄题时看错了一个系数，把书上的14.96写成14.95。在讲课时，他发现了这个错误，但是心想反正只相差这么一点点，应该没什么影响。
然而，当学生交出答案时，他发现每个人的答案都一样，但与书上的标准答案却有很大的差距。这时他才开始针对两种情况，亲自求出解答。他会发现什么？书上的答案错了吗？学生的答案错了吗？
分析与解答
这就是数学上所谓的“病态方程”(ill-conditioned equation)。如果照老师所出的题目，答案是：
x＝1 776 y＝4186
但若依照参考书上的原题，答案应是：
x＝-770 y＝1816
把两个方程式看成是两条直线，则两者的斜率非常接近：-2.358 5和-2.358 1，只差0.000 4。因此其中一条直线斜率的微小变化，会对两者的交点产生重大影响。
79.一场慈善的马拉松比赛
有位长跑选手要为一家慈善机构募款，过去的方式是她每跑完一英里，就请赞助人捐出一个固定数字的钱款，譬如捐3角。这次她想到一个聪明的办法，可以大大提高募款的金额。她告诉所有的赞助人，长跑时越到后来越难跑，因此赞助方式应改为第一英里1角，第二英里2角，第三英里4角，以此类推，每多跑完一英里，赞助金额就加倍。
这个论点似乎很合理，但是当她跑完马拉松后打电话给赞助人时，每个人听到赞助金额后都大吃一惊。为什么？(马拉松全长26英里。1英里=1.609千米)
分析与解答
每一位赞助人捐款的金额为：
(1＋2＋4＋8＋16＋…＋225)角
大约等于6 710 886元，或是平均每一英里258 111元。但愿这些赞助人都是百万富翁。
80.数学博士的法眼
数字博士总是能一眼看出数字之间的关系。举例来说，她注意到她的门牌号码和两位朋友的门牌号码正好是3个连续的质数，而且乘积就是她的电话号码。
数字博士住在两位朋友的中间，她的电话号码有5位数，第一个数字是6。
请找出数字博士的门牌号码及电话号码。
答案与分析
37×41×43＝65231
因此数字博士的门牌号码是41，电话号码是652 31
81.有趣的回文日期
1982年9月28日，一位广播评论员在节目中提到，如果把当天的日期缩写成28.9.82，就成了有趣的数字回文。遇事喜欢追根究底的苏珊听过节目之后，也想去研究这一类回文日期的分布情形。她很快就得出结论，某些年份会比其他年份有更多的回文日期，她还找出本世纪中最接近的两个回文日期。你知道苏珊的研究结果是什么吗？
分析与解答
在1982年，除了10月和12月之外，每个月的28日都会形成回文日期，例如28.6.82。此外，1982年2月8日(2.8.82)也是回文日期，因此1982年共有11个回文日期。之后的年份回文日期都很少，而1983年只有3.8.83一个回文日期，直到9.8.89为止，每年都只有在8月的一天会形成回文日期。
把同一月份或相邻月份的二位数日期与一位数日期并排在一起，比较容易找出相近的两个回文日期。
例如，1.2.21与之后的12.2.21，以及22.1.22与之后的2.2.22，两者的间隔都是11天。因此更接近的日期应该是：
29.8.92 与 2.9.92
其间隔只有4天。
82.世界七大数学难题之——BSD猜想
千年难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
83.世界七大数学难题之——杨－米尔斯理论
千年难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
84.世界七大数学难题之——纳卫尔－斯托可方程
“千年难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
85.世界七大数学难题之——黎曼假设
千年难题”之四：黎曼(Riemann)假设
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
86.世界七大数学难题之——庞加莱猜想
千年难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv.org发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。
在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。
2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
87.世界七大数学难题之——霍奇猜想
“千年难题”之二：霍奇(Hodge)猜想
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
来源：网络整理
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