用集合特征性质定义高中数学概念

用集合特征性质定义高中数学概念

北京十五中 张明英

摘 要：运用集合特征描述法进行函数、向量、圆锥曲线、曲线与方程等概念教学的优势，描述法表示的集合之间的一一对应关系可以使一类问题转化为另一类问题，从中找到解决问题的最优方法。同时集合的描述法更加抽象概括，为学生走入高校学习高等数学打下了坚实的基础。

关键词：集合表示法 特征性质描述法 相等 一一对应   数学概念

一、引言

集合是由能够确定的不同研究对象的全体构成的。这一基本概念，多次教材改革，都没有改变集合在教材中的初始位置，说明首先认识集合的重要性。有了对集合的认识，就有了研究问题解决问题的范围，也就使具有同样性质规律的元素有了归属。集合的表示方法有列举法和描述法，列举法比较简单，适用于可将元素一一列出的集合，而描述法即特征性质描述法，就要求发现集合中元素的共同特征并概括的描述出来，这就是集合特征性质描述法，一般地，如果在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质，则称性质叫做集合的一个性质特征，于是集合可以用它的性质特征描述为，他表示集合是由集合中具有性质的元素构成的。这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法。描述法表示集合，需要我们对元素的共同特征有深入了解，同时会抽象提炼集合中元素所具有的共同特征。

在集合学习过程中，重视严谨的逻辑思维能力培养。

例如，以描述法形式给出两个集合，证明集合与集合相等。分析：如何定义的两集合相等，两个集合中的性质特征的实质是什么。

证明：首先证明

任取 ，

当为奇数时， 设则 

当为偶数时，设   则   

同样任取

如果 则   

如果  则  

      

只有对集合中元素的性质特征的实质有深入了解，才能找到解决问题的方法。

二、集合特征描述法与函数概念的联系

集合特征描述法在函数概念中的作用，首先比较初高中函数概念。初中函数定义：在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个的值，相应地就确定唯一的一个值，那么我们称是的函数。这一定义中，提到在一个变化过程中，变量的取值可以只有一个吗？那又算是变化过程中的变量吗？当然受到初中学生认知的限制，我们遵循了螺旋式深入的原则，在初中对函数定义所使用的语言较为生活化。在高中，当学习了集合概念后，函数在高中定义为：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数按照确定的对应法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。记作 。引入集合定义函数，很容易理解，函数是两个非空数集之间的特殊对应，它的表达形式可以是表格、图象、解析式等多种形式，对不同函数容易区分了，同时在函数三要素中，定义域、值域都有各自的对应集合。为了配合对概念的理解，在此对比三个以描述法给出的集合，、、虽然性质特征描述相同，但这一特征针对的元素不同，使得集合表达了完全不同的含义，要求在描述法应用中的注意准确严谨。

三、集合特征描述法在函数与方程中的应用

应用在轨迹与方程的关系方面，一条曲线是否为方程的曲线，一个方程是否为曲线的方程，我们要验证定义中的两方面，一是方程的解为坐标的点都在某曲线上，另外这条曲线上的所有点的坐标都是方程的解，那么这个方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程的曲线。这一对概念揭示了方程与曲线的两个集合之间的对应关系，对应法则是否满足定义中的两个条件，那么，我们怎样验证这两个条件呢，这就要理解什么是方程的解的集合，从描述法的形式（为的取值范围）容易看出，只要验证对所有时，方程的解对应的点是否在曲线上；曲线上的点是否满足及。中学数学学到的曲线有直线、二次曲线，反比例函数曲线，指数对数曲线、圆锥曲线等，它所对应的方程有函数也有二元二次方程。在这种对应关系中验证是否满足对应法则（注意变量的取值范围）十分重要。例如，方程，它所对应的曲线是半圆，而所对应的曲线是圆。在解决相关问题是有本质区别，前者是函数，后者是使圆锥曲线。在圆锥曲线教学中，集合中的元素所具有的特征性质更明显。例如，平面内，到定点的距离等于定长的点的集合是圆。这一概念清晰地描述了圆上点的共同特征，椭圆等其它圆锥曲线的集合定义也是如此，而且抓住这一性质特征解决有关问题十分简便。

例如：已知抛物线和一点，在抛物线上求一点Ｍ，使得此点到点Ａ和焦点Ｆ的距离之和最小。

只凭字面意思，一些同学会如下设计解题过程：

设抛物线上一点坐标为，所求距离之和为ｓ。

由于中，焦点坐标为，于是函数的解析式为

再求ａ取何值时，ｓ有最小值。

显然这是一个繁琐而复杂的过程，如果我们具有应用定义的意识，将会有如下想法；

根据抛物线的定义，点Ｍ到准线的距离应与它到焦点的距离相等，于是求的最小值等价于求的最小值。具体解法如下。

解：作ＡＢ与准线垂直，且交准线于Ｂ，ＡＢ交抛物线于Ｍ。设抛物线上有异于Ｍ点的点，且与准线垂直且交准线于，根据抛物线的定义，有，于是，有

，

，

即最小。

设点，因为，，得

，即点。

由此可见，虽然两种方法都可以解决同一问题，但后者利用曲线上点的性质特征，抓住了问题的主要方面，便使问题巧妙解决了。

新知识中准确地掌握概念十分重要，我们要在概念的理解应用上投入更多的研究和思考，使之更加深入。同时高中数学仍是基础教育，培养自主学习能力是我们的教学目的之一。如何培养学生学习新概念、探索新知识、解决新问题的能力，我们还应从学会抓住概念为出发点。现行的教改中，探索科学、严谨地定义概念的法方法有助于提高学生的可持续发展，是基础教育的一大进步。

四、向量的多种性质特征使得向量工具用途广泛

向量部分的知识，大多与三角函数、解析几何、立体几何等知识联系，主要因为向量具有工具性的功能，同时具有有向线段、平面或空间的点等多种表现形式，如能熟练运用向量这一工具，可以使几何问题代数化，代数问题几何化，从而找到解决问题最适合特途径。这种代数几何的转化思想，依据应该是向量在描述法的定义中虽然是具有大小和方向的量，可以有效地实现有向线段这一几何量的集合与平面上点的集合或空间中的点的集合的一一对应。例如：

课本中证明这一公式时，运用了将平面上的点对应为向量，对应向量，从而转化为几何问题有向线段的夹角解决问题，较以前教材中运用两点间距离公式更加清楚简洁。

求解空间线线角时，空间向量和点的集合既然有一一对应的关系，那么我们可以理解为他们是等价转化的，就会使问题解决多样化。在正方体中，求体对角线与所成的角。

法一：，

=

法二：可建立空间直角坐标系，运用向量的坐标运算得到所求的角。（略）

五、思考小结

运用集合的性质特征解释高中数学中的部分概念，可以对概念有更深层次的理解，从而更好利用概念解题，使问题简化。另外，集合之间的对应如果满足一一对应，那将意味着可以将关于一类问题转化为另一类问题得到解决，开阔解决问题思路，使得通过已知领域探索未知领域成为可能。

在多年从事高中教学的过程中，经常会思考这样一个问题，如何能使学生从初中升入高中后尽快适应高中的学习方法，当然有初中个别老师的教法问题，但我们也要考虑我们的教材如何引导，使得学生不至于感到这一台阶太陡。类比初高中衔接，从高中到大学，大部分学生对高等数学也有畏惧感，主要是太抽象了，和高中数学学习方法有很大区别，作为高中数学教师，我们当然要为学生从高中到大学能尽快适应作出努力，可以在高中适当加强培养学生的抽象思维能力，其中集合特征性质描述法，可以培养抽象概括能力，抓住事物的共同的本质特征，将一个个孤立的问题归类，使问题的解决条理清晰。对这一问题的思考，我会在今后的教学中作进一步的实验研究，现代人的生活离不开数学，人人都能学好数学，这并不意味着人人都学习同样的数学，许多名人对数学的回忆可能是失败的，但他们可能成为著名文学家、诗人、画家等，我们要避免把所有学生都当作未来的数学家来培养，根据校本，首先对接受能力强，数学基础较好的同学加强引导，渗透集合特征性质描述法的思想解决高中数学概念的问题，发现同类事物的特征规律，激发他们对数学学习的兴趣，争取培养更多的具有扎实数学探究功底的创新人才。

 

参考文献：

[1] 人民教育出版社    必修1

[2] 人民教育出版社    必修4

[3] 人民教育出版社    选修2-1

[4] 江苏教育出版社 《数学概念学习与教学》 李善良 著

[5] 北京师范大学出版 《中国数学课堂教学模式及其发展研究》 曹一鸣 著

[6] 北京师范大学出版社 《中学数学教学概论》 曹才翰 章建跃 著

2011-09-20  人教网