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用简单的道理驾驭复杂的事物是数学的最大特色，可以说是数学的一种精神。现本人结合高中课程标准实验教科书人教数学B版教材①，介绍我们是怎样贯彻这一精神的。 在数学B版教材总序言中有这样一段话，反映了我们的数学观：“人们喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；人们喜欢图画，因为它描绘人和自然的美。同样，你应该喜欢数学，因为它用空间形式和数量关系谱写自然界和人类社会的内在旋律，用简洁的、优美的公式与定理揭示世界的本质，用严谨的语言和逻辑调理人们的思维秩序，它像音乐一样和谐，像图画一样美。” 正如古希腊哲学大师柏拉图所言：“数学知识是公民资格的前提。”他的标准颇高，说每一个公民都应该知道存在不可公度的量。那么哪些数学知识应该为中学生所掌握，人们看法各异。早在多年前，我们就提出在中学应有集合与简易逻辑、向量、初等微积分这些内容。陈省身曾经说过：“数学的作用在教育。”他没有说数学的作用在应用，似乎有点怪异，其实他道出了数学作用之根本：数学是培养人的一所学校，每一个人都可以在该校获得良好的思维品质，从中获得数学思想与方法，获得以简驭繁的数学精神。 在编写数学B版教材的时候，除了遵循《普通高中数学课程标准（实验）》②的原则，我们特别注意以下几点。 一、注重讲理 这与我们对数学作用的理解有关，讲道理首先是要讲概念与结论的来龙去脉，并对它们作出形象的解读，然后给出严格的证明；不能证明或教学上没有时间证明的，要用直观展示其合理性，使学生深信无疑。 所谓讲理，就是以简驭繁，用简单的道理阐释复杂事物的规律。例如，数学归纳法比较繁杂，简单的道理是1+1=2，2+1=3，3+1=4，…。课本就是这样讲解数学归纳法的。又如微积分，简单的道理是直角三角形斜边的斜率是高与底之比，导数由此而生，微积分基本定理用的是高=斜率×底，是求其总高度，把各小高度斜率乘各底边长，然后累加，便是f（b）-f（a）。解不定方程和同余方程也很复杂，其简单的道理是小学里的带余除法，继而辗转相除法，解法由此应运而生。 如果选取很精彩的内容，但不讲理，还不如不讲。比如从小学到高中，都讲统计，统计是好内容，可惜不讲一点道理，更不讲统计的误差。这样既不能掌握其思想方法，也很难记住。 二、注重通性通法 抓出事物的共同性质，用通用的方法去解决，不过多地强调技巧，这也是以简驭繁。通性是容易被掌握的，通法是有效的、普遍运用的。 例如，数系的通性是运算律，运算律可视为简单的道理，但它是解方程的最重要依据。解方程不过是用运算律把左边变成单独的x，把右边都变成已知数。这就是通性通法。用代数运算解决几何问题，用微积分求最大最小值都是通法。 又如，已知多项式的几个值，求多项式，可以用待定系数法，也可以用由带余除法所产生的插值公式直接写出。这也是通法。用向量，用坐标方法处理几何问题，只需明白向量运算律，就可以获得一般的解法──通法。 中国剩余定理也是基于带余除法的解同余方程的通法。它的基本思路是把复杂的几个余数问题化为单一的余数子问题，再将子问题标准化，最后给出子问题的统一解法。中国剩余定理是以简驭繁的经典。 三、突出事物的特征性质 漫画家只用几笔就勾画出一个人，人们一看便知是谁，因为他抓住了这个人的特征，特征是只为此事物具有，而彼事物不具有的属性。数学事物都有特征性质，抓住了它，就抓住了本质。例如，三角形的特征性质是内角和为180°，别的任何封闭图形都没有这个性质。 指数函数的特征性质是f（x+y）=f（x）+f（y）（指数运算律）；对数函数的特征性质是f（xy）= 圆锥曲线的特征性质是到定点与定直线距离之比等于常数e，这个常数就是离心率，椭圆的离心率e＜1，抛物线的离心率e=1，双曲线的离心率e＞1。 在编写教材时，我们一般都是抓住特征性质，以便学生认识本质。抓住特征，以简驭繁，教学生本质的数学，这就像漫画家画漫画一样。 四、科学性与深入浅出相结合 对教材而言，科学性就是正确性、准确性和系统性。在准确性方面存在困难，比如单调性，人们习惯没有等号，实际上常函数是最单调的，却不包括在单调之列，只好另作说明。 我们在深入浅出方面下了很大功夫，特别是在系列3和系列4中，那么多现代数学，如不用通俗语言去编写，像大学教科书，学生难以接受。深入浅出需要理解透彻，只有加深对数学本质的理解，才能做到深入浅出。最近听丘成桐的报告，从三角形内角和为180°、勾股定理一直讲到弦理论乃至广义相对论。 五、注意培养创新精神，当须从长计议 数学家庞加莱有言：“创思是漫漫长夜中的灵光一闪。”这句话富有哲理，“漫漫长夜”是讲创思要积累，这是讲必然性，“灵光一闪”是讲偶然性，并非积累够了就一定会创造，“灵光”只有在自由自在的环境中才能闪烁。 现在通行的做法过于人为、故意做作了，讲一点知识就要学生从实际中发现问题，建立模型，解决问题，恨不得马上培养出一个诺贝尔。创造自由的环境我们无能为力，现在孩子们从幼儿园起就被大人们的望子成龙所左右，被追求升学率而左右，哪里还有心情去做梦，去幻想，他们的“灵光”被扼杀了。 丘成桐的创造性是国人的骄傲，他在二十多年前就说：“在中学时，我从来不计较分数的得失，只求把事情搞清楚。”我们现在流行的做法是怎样获得高分就怎样做，因此各种练习册漫天飞舞，各种解题术被夸大宣传，各种培训班屡禁不止，如同种庄稼，猛施化肥与激素，以获高产。现在年轻人在学术界反映出的毛病，我想与此不无关系。 刻意地培养所谓的创新精神是不可取的，必须从长计议。本套教材的主要编写者在二十多年前就十分关注培养创新精神。我们在编写时，特别注意以下诸点。 1.讲概念与结果的来龙去脉，以史为鉴，学习前人的创新精神，如欧拉、阿基米德等。 2.讲究系统性。所谓系统性，就是从最简单的道理讲起，逐步深入，到达本系统的一个高峰，形成一个系统便是一个创造过程。 3.注意知识的融合。比如讲向量时，不要孤立地讲向量，而用向量来处理其他几何、代数问题。讲导数的应用，并不仅仅涉及切线与速度及函数分析，也用导数来解决代数不等式、恒等式及组合数中的问题。要让学生融会贯通，不拘泥于公认的范围。许多新规律，都发现在边缘处，许多新方法都产生于融合。 4.选择经典范例，避免人为雕琢。现在为了培养创新精神，出现了大量的人造实际问题，很不自然。在不自然的问题面前学生很少有创造的积极性。自己挖一条沟，让学生去填，学生会想：“要我填，你不如不挖的好。”问题自然而生，学习情绪才会油然而生。例如，讲积分思想──函数值的无限叠加时，我们设问：“圆面积与圆周长是什么关系？球体积与截面圆面积有什么关系？”这是经典问题，内涵丰富。 我们常遇到这样的提问，你们编的书好是好，这些问题很自然，而且内涵丰富，但能适应高考吗？我们不能也没有必要打保票，但我们是负责任的，也有相当的把握。我们的信心来自于：①无论在内容上还是数学思想方法上，考试大纲与《课程标准》都是教材的真子集，考试不会超出教材的范围；②培养能力，包括解题能力，一直是我们关注的重点之一，特别是注意讲理，有利于学生分析问题，找到解题途径；③注重通性通法与特征性质，以简驭繁，有利于学生在千变万化的试题面前，得到便捷的解题方法；④在高中后期，给出综合试题与模拟题可以适应客观的种种变化。 以简驭繁，让学生获得数学知识、思想方法及创新精神，这是我们的共同目标。 ①以后本刊简称为数学B版教材，或新教材。 ②本刊简称为《课程标准》 < |
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