即期利率与远期利率

人生好比斗地主 2021-03-30

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所谓即期利率，就是零息债券的到期收益率，举例说明：

例1:某零息债券现价为797.19元，2年后按面值偿还1000元，问:到期收益率是多少?根据前面学过的到期收益率公式导入数字：

相信你很快就可求出它的到期收益率为12%，这个12%的意思，可以看作是，你现在借给人797.19元，2年之后借款人连本带息还给你1000元，你获得的年平均收益率就等于12%，这个就是即期利率，它是一种即期贷款合约的利率。所谓即期贷款合约，是指合约一经签订，贷款人立即把资金提供给借款人。换句话说，即期利率就是t=0时刻贷款，未来一次性收回本金利息所要求的年平均回报率。本例中，这个即期利率是2年期限的，我们把它记为S₂，字母S表示即期利率，下标的数字2表示它是2年期的。但是请注意，这个即期利率S_2，它是1年的利率，是2年期的平均每年的利率，你看看公式中写的1+S2括号的平方就能明白的。

所有的即期利率，不管是多长期限的，都用年利率来表示。刚才，我们把即期利率看作是一种即期贷款合约的利率。

那么远期利率，则是与远期贷款合约相联系的。远期贷款合约的贷款人，承诺在未来某个日期把资金提供给借款人，合约签订时不发生资金转移但预先设定利率，这个利率就是远期利率。与即期利率一样，远期利率也按年利率表示的，举例说明：

例2:根据约定，1年后贷款841.68元，3年后连本带息偿还1000元。问: 1年后的2年期的远期利率是多少?

这个问题听起来有点复杂，“1年后的2年期“是什么意思？你先不用去想，我换一种问法，你1年后借给人841.68元，3年之后借款人连本带息还给你1000元，你的年平均收益率是多少？相信你很快就列出公式：

计算出年平均收益率是9%，这个9%的收益率，就是1年后的2年期的远期利率，可以看作是t=1年时发放贷款，t=3年的时候一次性收回本金利息，一共2年的期限，获得的年平均回报率为9%。我们把这个远期利率写成f1.3，字母F表示远期利率，下标的数字1和3,表示它是t=1开始，t=3年结束，持续期限是2年。

现在你应该理解了，即期利率与远期利率的含义，那么，问题来了，即期利率与远期利率之间有何关系呢？我们还是从一道例题开始：

例3:已知有A、B两种零息债券，面值都是1000元。A债券期限为1年，市场价格为93458元; B债券期限为2年，市场价格为857.34元。问:贷款人承诺从现在算起1年后放款2年后收回的贷款利率应该怎样确定?

这个例题中要求解的利率，是一个远期利率，可以记为f1 ,2，根据债券A、B的市场价格，可以计算出两个即期利率。

求债券A的到期收益率rA:

934 .58=1000/(1+rA), rA= 7%

rA就是1年期的即期利率S1，意味着贷款人现在贷出1元钱，1年后将收到1.07元;

求债券B的到期收益率rB:

857.34=1000/(1+rB)2, rB= 8%

rB就是2年期的即期利率S2，意味着贷款人现在贷出1元钱，2年后将收到1.1664元(1.08*1.08)。

现在需要思考的问题是，已知1年期即期利率和2年期即期利率的情况下，贷款人承诺从现在算起，1年后放款2年后收回的，远期利率f 1,2应该怎样确定？你也可以把这个问题看作是一笔投资，金额为1元，投资期限为2年，投资者将怎么做呢？有两种策略可供选择，第一种到期策略就是直接购买2年期的零息债券，一步到位。第二种滚动策略，分两步走，先购买1年期的零息债券，到期后再购买1年期零息债券。在均衡的市场上，这两种投资策略的结果是相等的，所以可以写出下面这个等式来：

等式的左边，是分两步走的滚动策略的投资结果；等式的右边，是一步到位的到期策略的投资结果。把即期利率S1=7%，S2=8%，代入公式，可求出远期利率f 1,2=9.01%,这就是例题中要求解的,从现在算起1年后放款2年后收回的贷款利率.

下面请你抛开具体的数字,仔细观察公式中，上标和下标的数字

发现规律了吗？然后根据这个规律，把这个公式推广开来，得到一个计算n-1.n的通用公式可以用它计算将来任何一年的远期利率。

下面我们再做一个例题来熟悉一下这个公式，

例4:已知1年期即期利率等于6%，2年期即期利率等于7%，3年期即期利率等于7.5%。问: 1至2年的远期利率是多少? 2至3年的远期利率是多少?套用前面的通用公式：

可以轻松算出f1,2等于8.01%，f2,3等于8.51%，这两个远期利率，虽然时期的起点和终点不一致，但它们都是一年期限的，把这题目再拓展一下：如果把远期利率扩大到两年期限呢？比如f1,3你会计算吗?直接套用前面的通用公式,肯定是不行的，因为它只能计算一年期限的远期利率。怎么办呢？你可以利用前面提到的“到期策略和滚动策略，投资结果相等的原理，列出这样的一个等式：