数学理解之面面观

shuaixinerwei 2012-03-15

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数学理解之面面观

作者：吕林海文章来源：转载点击数： 1175 更新时间：11/3/2006

数学理解已越来越成为数学教育的热点话题，国内很多学者就该论题发表了自己的研究成果与心得[i] [ii] [iii] [iv] [v] [vi]。总体说来，大家是在力图借鉴国外的理论成果（主要是认知主义学习心理学、建构主义学习理论）的基础上，融合自己的理论认识与实践体悟，从各个微观层面上（理解的类型、理解的模型、解题中的理解、概念理解等）构建既有理论支撑，同时又具有实践可操作性的策略模式。本文试图跳出这一研究思路，在着力吸收国外对理解与数学理解的最新研究进展基础上，截取几个具有研究价值的视角（认知建构观、情境文化观、意义观、教学设计观、评价观），从整体上输理与探悉数学理解的各种理论意义与教育实践意涵。笔者试图通过论述，对为什么要理解数学、为什么要研究数学理解、数学理解的本质是什么、怎么样在教学中去促进数学理解以及如何评价理解等一些带有本体论意味的问题做一个概要性、宏观性的分析探讨，希望能使大家获得对数学理解的更全面、更深刻的“理解”，从而对数学教学实践有所助益。

一、数学理解的意义观

数学理解的意义何在？对该追问，笔者将从理论研究的意义、个体发展的意义和社会需求的意义等三个方面做出辨析。

从理论研究的角度看，理解与数学理解的研究意义体现在它的广阔包容性和相对独立性。可以说，理解与数学理解的研究涉足哲学、社会学、学习学、人类学、文化学等各个领域。它为我们提供了一个研究视角，使我们在把握各个背景领域的内涵演化的同时，不断丰富、充实、更新着对它的认识与解读。以学习科学领域中理解观的演变为例。行为主义崇尚刺激反应之间的联结，闭口不谈“心理、意识与理解”等不可捉摸的东西。格式塔学派崇尚“完形”，认为理解就是“顿悟”，就是在心理上构建“完形”。到了认知主义学派，奥苏伯尔认为理解就是意义同化，布鲁纳则持结构主义理解说。随着建构主义学习理论转向社会建构的视角，理解被认为是“通过社会性的相互依赖而获得的”、“对意义的理解依赖于情境脉络”[vii]。近来，学习理论逐渐发展到情境认知理论（包含心理学视角和人类学视角），对理解的认识必然也将会继续拓展与深入（后有详述）。另一方面，对于数学理解的研究，始终都有一种相对独立性的特点，这又可显示该课题研究所独具的意义与价值。比如，数学教育家芬尼曼、荣伯格、萨克斯、塞平斯卡、希伯特等都分别从课堂教学、文化与认知发展、认知障碍与发展、教学设计等角度以专著形式发表了对数学理解的独特见解，在体现该课题研究相对独立性的同时，这些研究都展现了当今数学教育对该课题的前沿成果。

从个体发展的角度看，数学理解的意义更是清晰可见。首先，知识的理解有助于完善个体大脑内部的知识结构网络，从而推动记忆，进而又更易于同化与理解新知识、新信息，这是一个良性学习过程。“理解不仅仅是把新知识与先前的旧有知识产生联系，而是创建了一个丰富的、整合的知识结构，……，当知识被高度结构化的时候，新的知识就能被连接、并被融合进已有的知识网络中，而不是只产生元素之间的单个连接，……高度结构化的知识不易被遗忘，它有着多重途径被找回，而孤立的知识片段更难于被记忆。”[viii]其次，知识只有被深刻理解了，才具有迁移与应用的活性，这种迁移能力对个体未来发展是十分重要的。沃特海梅尔曾做过这样的研究[ix]，让两组学生对平行四边行面积公式分别展开理解法学习和死记法学习。前者学生通过三角形割补关系理解了平行四边形可以重新组合成长方形，所以他们很容易内化平行四边形面积公式的内在意义以及平行四边形本身的结构关系。后者学生则要求死记平行四边形面积公式。在随后的迁移测试中，在一些解决平行四边形面积的典型问题上，两者都表现出色。但对一些非常规问题（如竖置的平行四边形、带有不规则割补的平行四边形），前者表现出色，而后者却无能为力。所以，迁移与应用受理解性学习程度的影响，而非仅靠记忆事实和墨守成规。

从社会需求的角度看，信息化社会和知识经济社会所需要的是那种能不断学习新知识、新技能，能应用自己的已有知识去解决新问题的创新人才。从这个意义上说，仅靠机械记忆的知识很可能走出校门就毫无用处，而具有稳定性与恒常性的数学素养与数学理解则显得格外重要。数学教育家卡平特和利热更是明确指出：“为了培养面向21世纪的具有数学素养的公民，课堂需要被重新构建，以致于数学能被理解地学习。”

二、数学理解的认知建构观

建构主义作为与认知主义一脉相承的学习理论，对于理解与数学理解的关注与认识在思想深处有着诸多的相似或共通之处。近年来，很多学者都试图借助于认知建构的观点去发展对数学理解的认识。总体说来，数学理解的认知建构观的核心思想主要体现在如下几个方面：

第一，数学理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰富联系。建构主义学习观一再强调[x]：“要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零碎的、只言片语的。”而希伯特教授则用信息的内部表示和构成方式来描述理解[xi]，“我们认为一个数学的概念、方法或事实是理解了，是指它成了内部网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了，是指它的智力表示成了表示网络的一个部分。理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。”

第二，数学理解的特征是生成性和发展性的。表现在如下几个方面。首先，理解不是一种或有或无的现象，实际上所有复杂的数学概念、数学命题都可以在一定层面上、以完全不同的方式被理解。其次，知识的高度结构化、网络化有助于理解更具生成性。因为，此时新信息更易被连接或纳入到已有的知识网络中，从而使得已有的理解不断拓展、深化。再次，当在不同的问题情境中灵活而反复地运用同一知识时，与这一知识相关的各种联结将更加丰富、更加牢固，从而个体的理解也获得进一步发展。

第三，数学理解的形成机制是重新组织。实际上，这是从更为微观的角度探讨数学理解的生成性和发展性。当现存的网络联上新的信息或者在以前没有联系的信息之间建立起新的关系时，智力网络必然要发生变化，这种变化就是重新组织。希伯特教授曾着重指出，这一组织过程并非一帆风顺，有可能是一个更为紊乱的过程，有时候表现成暂时的倒退，有时候也是进步。最终，随着重新组织产生更丰富、更具强有力联系的、更有凝聚力的网络，理解就增长了。

第四，数学理解的形成条件是自主活动。数学理解的形成必须要以学生的自主活动为基础，“活动是个人体验的源泉，是语言表征、情节表征、动作表征的源泉”[xii]。活动既包含外部操作性活动，也包括内在思维性活动。在个体数学理解的形成过程中，借助于积极的智力参与，主动积极的外部活动过程逐步内化为主体内部的心理活动过程，并从中产生出主体的个人体验，一种基于个体自身的数学理解得以初步形成。

三、数学理解的情境文化观

学习理论在90年代后期从强调个体思维者和其孤立心智的认知建构理论转向强调认知和意义的社会性本质，并进而转向情境理论，这一转向更加丰富了对数学理解的认识。而文化作为一种特殊的宏情境，既对学习者的数学理解产生潜在而深刻的影响，但同时也需要学习者通过真实实践中的活动和社会性互动来促进学习者的文化适应[xiii]。

情境观的核心要点是[xiv]：“实践不是独立于学习的，而意义也不是与实践和情境脉络相分离的，意义正是在实践和情境脉络中加以协商的。”从这一意义上说，数学的概念、定理、法则的学习必须既是情境性的，又是通过学习者的真实活动和运用而得以不断发展的。这里的“情境”、“真实”或许由于数学知识的反复的、螺旋上升的抽象过程而并不显得那么直观、生活化，但这并不妨碍学习者在情境中通过理解和经验的不断相互作用，进行数学知识与概念的意义协商。也就是说，数学概念、法则的意义是依托于一定的情境的，在该特定情境中获得的数学概念、法则要比所谓的一般性数学概念、法则更有力、更有用、更具理解力，在这样的情境中所进行的数学活动与学习，除了了解了某些确定的数学规则外，更重要的是了解了使用这些数学规则的场合和条件。从更高的意义上说，这种数学规则的场合和条件源于数学共同体的活动情境，源于共同体逐渐积累的独特的洞察力以及共同体的文化。因此，学生的数学学习与数学理解的最终目的，应是对数学知识赖以萌发和应用的共同体文化的适应。如果站在这一高度，我们就可以对现今中学乃至大学的数学微积分教学做出较为深刻的分析与批判。应当说，只教授微积分运算规则而脱离其产生的深远背景，剥夺学生参与真实活动与理解生活实际的机会，那么留给学生的只能是惰性的、处于消极状态的知识。这直接造成学生只会解那些书本上正规的、良构性的求极限、求导之类的简单近迁移问题，而对那些需要用到无穷小思想的其他非良构的新情境中的远迁移问题却无从下手，也不能运用极限思想、导数思想去理解其他数学问题的解决方法，比如圆面积公式推导中的极限思想，甚至于对生活中常说的“人口增长极限、极限运动、生理极限”等中的“极限”一词既缺乏思维的敏感性，也缺乏对其的本质意义（或数学化意义）的把握。其实，此时学生的思维中并没有建立起对“究竟什么是微积分？它是如何得来的？它有什么用处？”等一些情境化指向非常强的问题的深刻理解。实际上，微积分的产生既有数学内部的动力（莱布尼茨解决曲线的切线问题），也有数学的外部动力（牛顿解决匀加速运动的瞬时速度问题），而且，这些问题都蕴涵了为后来的数学带来无限活力的一种全新的思想方法——无穷小分析法，如果在教学中能把整个思想发展的来龙去脉（特定的情境）讲清楚，同时用一些更亲近学生直观的活动与学习方式（以课件展示各种极限形态、让学生感受非常具有朴素意味的四大悖论、多用非数学化语言描述极限性态等）去激发与调动学生的思维，而不是只用（或一上来就用）定义去迫使学生获得一种高度形式化的理解，那么，学生头脑中的对微积分的认识与感受自然会更丰富、更具包容性和生长力。并且，笔者认为，更为重要的是，学生在获得对于微积分概念的境脉化的深刻理解的同时，还获得了一种对数学文化的适应、逼近、认同与感悟，而后者对于学生数学信念的形成与能力的发展，是非常重要的。

四、数学理解的教学设计观

“获得隐喻”的信条多年来一直统领着整个数学教育实践，它的核心思想是：“数学知识是由符号化的心理表征组成的，数学认知活动是由这些表征中的符号操作组成，……”，从这一意义上说，达到对数学知识的理解就是要获得预先设定的符号表征系统，相应的，数学教学就是要发现促进这种获得的最有效手段[xv]。雷斯尼克（Resnick）指出，“学习不是靠获得，而应该是参与，参与实践、参与对话、参与活动”，所以，这种强调学习的合作性、情境化的学习隐喻显然对“理解的获得”这一简单化认识做出了深刻的批判。这一观念上的转变要求数学教学设计这一新兴研究与实践领域必须对如下理念做出格外关注：

l 数学教学不能仅仅只教授机械的算法和规则，同样要给予学生机会去应用这些算法和规则，要为学生创设一个独立识别问题、提出问题和解决真实问题的数学学习环境,从而在知和行的交互中达到对算法和规则的理解。

l 在数学学习活动中，构建学习共同体和实践共同体，让学生在参与与教师、与专家、与家长、与其他学生等的对话与互动中，达到对数学知识的社会协作性建构。

l 要为数学中的知识（主要是技能应用性知识）创设逼真的、问题丰富的环境，让数学学习抛锚在一种反映知识在真实生活中运用的境域之中。

l 对抽象程度较高的数学知识，也要为学生提供相对直观与现实（并非绝对）的问题境脉。

l 数学教师具有多元化的角色定位，不仅作为内容上的专家，而且也是学习和问题解决的专家，但这种专家性角色在协商活动中是参与性的而非指示性的，在适宜的时候，教师要为学生搭建认知脚手架。

l 教师是而且必须是教学的设计者，而非教学设计的忠实执行者。

l 数学学习活动中的反思非常重要，它使个体有机会来思考他们在做些什么、为什么这么做。作为一个积极的、严格的和分析的过程，反思过程对数学学习的质量是很关键的[xvi]。

l 学生必须被赋予对于数学问题情境的探究的所有权，要让他们感到这个数学问题值得自己去努力，而且必须把自己的努力看作是能够产生变化的解决方法（而不是学校式的方法），学生必须感到对解决方法负有责任。教师不能直接告知方法，或引诱学生得出教师想要的方法，那样学生并没有真正进入数学的脉络化思维与理解之中。

在此，笔者抽取出促进理解的数学教学模式设计中的核心要素（见图1），限于篇幅，就不展开详细论析了。

五、数学理解的评价观

如何评价学习者的理解，这历来是数学教育实践界与理论界十分关注的问题。理解一个数学领域（domain）中的各种概念不是仅积累了一整套的事实和程序，而是在已存的数学知识间建立新的联系，以及新信息被连接或整合到已存知识之中。理解是具有发展性、生成性和阶段无序性的，所以评价就不能仅仅局限于强调在教学中检测学习者是否获得了数学事实和程序，而应关注于学习者正在形成的数学观念之间新的联系，关注在新的情境中对已存知识的运用，关注在解决问题中所应用的推理层次。对于数学理解的评价首先应当确立以下三个假设：1、评价应当被视做作一个不间断的过程，这一过程应被整合进教学过程之中；2、对于学生知识理解的发展的评价应来自于多重的证据来源；3、评价应当既包含对源于课堂交互的信息的精细实录，也应包含书面作品。

图1：一种数学理解性教学模式的设计要素

促进理解的数学教学设计模式	要素	具体成分与策略	解释
	目标知识设计	背景性知识	强调数学知识应用与产生的真实背景（包括知识的历史渊源、应用条件）
		结构性知识	强调数学知识内部及其与其他知识之间的内部结构性的网络联系
		策略性知识	强调活动中的反思、元认知等
		过程性知识	活动中的一种个人体验、信念、感悟
	活动过程设计	实作	对主题的弹性实作：解释、判断、推断或者以超越知识和常规技能的方式应用，培养弹性知行能力
		兴趣指向	与学习者真实生活背景、兴趣性向相联系
		生成性	在活动参与中不断生成意义以及新问题，体现理解的螺旋发展
		构筑思维挑战	问题要具有一定挑战性，是一种结构不良的困境
	策略方法设计	搭建与拆除脚手架	策略、认知工具以及相关知识
		互动合作	鼓励小组、全班甚至家长、教师的对话、合作以及意义协商
		过程性多元评价	关注学生生成理解的过程，可通过多次对话、实作检验、小测验、档案袋、项目行动等了解学生的理解程度

在实践层面上，对于数学理解的评价应当着重强调以下三个方面：

首先，既运用非正规评价（informal assessment），也运用正规评价（formal assessment）。非正规评价包括：对学生活动与行为的观察，以了解学生对数学概念的理解、思维过程和问题解决策略；课堂讨论，以使教师收集学生推理的信息。总之，通过这种非正规评价而获得的信息能改善教学决策。正规评价应该按照如下理念进行设计，即，让学生展示他们知道的和会做的，而不是去确认他们不知道什么。正规评价主要包含两种：单元末评价（end-of-unit assessment）和年级末评价（end-of-grade assessment）。单元末评价要求学生面对问题情境选择适当的数学工具，这些问题情境所依托的境脉不同于教学单元中所提出的境脉。同时，这种评价能为教师提供机会去检测和监控学生在不同境脉中运用同一概念知识的灵活性。此外，由于单元末评价不要求学生之间、师生之间的交互，所以，它也为学生提供了以书面形式解释和展示他们自身的解决方法和思维过程的机会。年级末评价则提供了一些证据，以证明学生对一些课程中的更加重要的领域（domain）的理解深度。从根本上说，这种评价不单单牵涉到对某个单一领域思维的评价，而且也在评价学生是否能把数学变成他们自己的东西。

其次，由于理解的形成需要较长时间，所以评价要反映理解的持续发展过程。评价需要关注在特定时刻学生所构建的关系，关注这些关系在时间推移中的变化，关注在处理新情境中对领域中的知识的资源化运用，关注学生所运用的推理复杂性。

最后，要特别强调并关注推理的层次（levels of reasoning）。随着理解的发展，学生会以更加有力的方式使用概念和程序，所以评价要关注学生在使用概念和程序过程中运用的推理层次，由低级到高级主要包含：复制(reproduction)；联系（connection）；分析（analysis）。复制主要包括回忆事实和定义，以及有效运用一些标准化程序，如完成特定的计算、解一个方程或绘制图表。联系主要包括领域内以及跨领域的联系、信息的整合，以及对解决非常规问题所需要的适当数学工具的决策。分析是一种复杂层次的数学思维，包括解释、剖析和数学论证；包括学生自我模型和策略的形成；也包括归纳概括。

近年来，美国数学教育界试图从课程设计与实施的角度反思传统学校数学教育并对理解什么样的数学做更新的诠释。全美数学教师协会（NCTM）[xvii]指出，要把理解数学的应用作为核心关注点，所有年级层次的学生都应把数学理解为完全整合的探究领域，旨在帮助他们解决问题、交流、推理和创设连接。美国数学科学教育局（MSEB）在一份名为《站在巨人的肩膀上》的报告[xviii]中所阐发的观点更富创新与改革意味：“人类运用数学语言所做的就是描述模式。数学是一门探索性科学，它寻求对各种模式的理解，这包括自然界的模式、人类思想创造的模式、由其他模式创造的模式。为了使孩子们在数学上成长起来，必须向他们展示丰富的大量的适合他们自己生活的模式，通过这些模式，他们能看到多样、规则和相互联系。”他们进而归纳了五种模式，并认为是具有根本性和普遍意义的，即：维数、数量、不确定性、形状和变化。笔者相信，这份报告所展示的各种非常有见地的思想观点，在提供对数学本身的重新解读之外，或许影射了面向21世纪的数学课程的发展指向。