巧用相似三角形的面积比证题

巧用相似三角形的面积比证题

湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学　赵国瑞

相似三角形的面积比等于相似比的平方，这是相似三角形的一个重要性质．灵活运用该性质，可以巧妙解决有关问题．

 

例1  已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADB=∠C．

 

求证：=．

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

证明：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC．

 

又∠ADB=∠C，∴△ABD∽△BDC．

 

∴=．

 

又=，∴=．

 

例2  在△ABC中，∠A=120°，BC上有点D、E，△ADE为等边三角形．

 

求证：=．

 

证明：∵△ADE为等边三角形，∴∠EAD=∠ADE=∠DEA=60°．

 

∴∠B+∠2=60°．

 

又∠BAC=120°，∴∠1+∠2=60°．

 

∴∠1=∠B．

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

∴△EAC∽△ABC．∴=．

 

又=，∴=．

 

例3  四边形ABCD中，BD平分∠B，交AC于E，且=AB·BC．

 

求证：=．

 

证明：过A作AM⊥BD，垂足为M，过C作CN⊥BD，垂足为N，则

 

==．

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

∵AM∥CN，∴．

 

∵BD平分∠B，∴∠ABD=∠DBC．

 

∵=AB·BC，∴．

 

∴△BAD∽△BDC．∴=．

 

∴=．

 

例4  AD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EF和BC的延长线交于E(如图)．

 

求证：=．

 

证明：连结AE，则∠ADE=∠DAE．

 

又∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，∠1=∠2，

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

∴∠AEC=∠BEA．

 

∴=．

 

又=，∴=．

2011-11-01  人教网