旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积

昵称3826483 2012-05-01

展开全文

旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积

湖北省黄石市下陆中学　周国强

教学中常遇见旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积类问题，其中的阴影部分或成一个整体或是零散分布，其形状或是规则图形或是不规则图形，其状态往往是动态的．解决此类问题的关键是以静制动，化不规则图形为规则图形，再用相应规则图形的面积公式求解．

一、点旋转

例1　如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，将点C绕点D逆时针旋

90至点E，连接AE，若AD＝3，BC＝5，则△ADE的面积是 ________．

析解：已知梯形的上下底长，这个梯形的形状、大小是不能确定的，所以腰长也不能确定，从而△ADE的形状、大小亦不能确定，似乎△ADE的面积不可求．但据“点E是点C绕点D逆时针旋90得到，且梯形是直角梯形”在这样的特定条件下，考虑到梯形的上下底之差为一定值“2”，作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作CG⊥AD交AD的延长线于G，则四边形ABCG是矩形，DG＝2，易证Rt△DEF≌Rt△CDG(角、角、边)，所以EF＝DG＝2，故△ADE的面积等于×AD×EF＝×3×2＝3．

二、点平移

例2　如图2，半圆O的直径为10，C、D是半圆的三分点，点P是直径AB上任一点，则阴影部分的面积是_______．

析解：由于点P在直径AB上平移（C、D点的位置不动），阴影部分的形状不规则且是不确定．考虑到当点P运动到圆心O这一特殊位置时，所求图形面积是一扇形面积，故可将阴影部分的面积转化为扇形的面积来求．于是连OC、OD、CD，因C、D是半圆的三等分点，所以∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60，所以△OCD是等边三角形，所以CD∥AB，所以S＝S，从而S＝S，故阴影部分的面积＝扇形OCD的面积＝＝．

三、线段旋转

例3　如图3，矩形ABCD的对角线AC和BD相交点O，过点O的直线绕点O旋转，分别交AD和BC于点E、F，若AB＝4，BC＝7，则图中阴影部分的面积是_____．

析解：乍看，随着直线EF绕点O旋转，阴影部分总是零散分布且△AOE和△BOF的形状、大小都未确定，但因矩形对边平行，不难看出，只要点E不与点A或D重合，点F不与点B或C重合，总有S＝S或S＝S（因为△BOF≌△DOE，△AOE≌△COF），故可将零散分布的三块（阴影部分）集中到同一三角形△ACD或△BCD中去，即图中阴影部分的面积等于矩形面积的一半：×7×4＝14，事实上，当点E或F与矩形端点重合时，三块阴影部分变成两块阴影部分，其面积正好也等于△ACD或△BCD面积．

四、线段平移

例4　如图4，在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为8和6，将BD沿CB方向平移，使D与A重合，B与CB延长线上的E点重合，求阴影部分的面积．

析解：本题虽有动态条件，但因菱形是确定的，所以阴影部分的形状、大小是确定的．若整体求之，需知其形状到底是哪类四边形，由平移知，AE∥BD，AD∥EB，且AE＝BD＝6，因为AC⊥BD，所以AD＝BC＝＝＝5，又AE∥BD，所以阴影部分的形状实际上是一个直角梯形，故其面积＝（3+6）×4＝18；若分割求之，则可分别求得两个三角形的面积后，再相加（同学们不妨试试）．

五、图形的旋转

例5　如图5，汽车在雨中行驶时，司机为看清前方的道路，要启动挡风玻璃前的雨刷．图是一个汽车雨刷示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？某同学仔细观察了雨刷的转动情况，量得CD＝8cm,∠DBA＝20,端点C和D与A的距离是115cm和35cm．他经认真考虑，只选用了其中部分数据就求得了结果．请你也帮助他算一算雨刷扫过的面积．

析解：雨刷扫过的面积是一个不规则图形的面积，需转化为规则图形面积来计算．连AC、AD，不难看出：阴影部分的面积＝扇形ACC的面积+△ADC的面积－△ADC的面积－扇形ADD的面积，由于△ADC是△ADC绕点A旋转90得到的，所以△ADC的面积＝△ADC的面积，故阴影部分的面积＝扇形ACC的面积－扇形ADD的面积＝（115－32）＝300．

六、图形平移

例6　如图6，将⊙O沿直线L平移得到⊙O和⊙O，且其中一个圆经过另一个圆的圆心，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

析解：显然，由⊙O平移知，图中阴影部分的面积等于一个圆的面积减去空白部分AOB O的面积的2倍（空白部分是对称的）．连AB、O O、OA、OB，则AB与O O互相垂直平分（设垂足为C），因为OC＝ OA，所以∠∠OAC＝30，从而∠A OB＝120，那么这个空白部分的面积等于－×2×4sin60＝－2，故图中阴影部分的面积为－2（－2）＝＋4．