一元二次方程的应用 梯形

一元二次方程的应用 梯形  

 代数：一元二次方程的应用

    几何：梯形

 

二. 重点、难点：

  1. 重点：

    代数：一元二次方程的应用

    几何：梯形的性质与判定

  2. 难点：

    代数：列方程

    几何：辅助线的添加，等腰梯形的性质、判定。

 

三. 知识要点：

    代数：用列一元二次方程的方法解应用题。

    （1）解题步骤：审题；设未知量；找关系列方程；解方程；答题。

    （2）常见题型：面积问题；平均增长率（降低率）问题；数字问题。

    几何：

   

   

   

   

    常见的辅助线添加方法：

    （1）移动一腰：

    （2）从同一底的两端作另一底的垂线：

    （3）移动一条对角线：

    （4）延长两腰交于一点：

    添加辅助线的目的：把梯形问题转化成平行四边形问题或三角形问题。

 

【典型例题】

  例1. （2004，广东）

    某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率。

    分析：审题：

   

    设3月份到5月份营业额的平均月增长率为x

    列等式：

    4月份营业额

    5月份营业额

    即

    解：设3月份到5月份营业额月平均增长率为x

    则

    解之得：（不符合题意，舍）

   

    答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%。

 

  例2. 利用墙的一边，再用13米的铁丝网围成三边，围成一个面积为20平方米的长方形，求这个长方形的长和宽。

    分析：AD代表墙，则，

    解：设AB为x，则

   

    解之得：

    当时，，长为8，宽为。

    当时，，长为5，宽为4。

    答：这个长方形的长、宽为8，或5，4米。

 

  例3. 一个两位数等于它个位上的数的平方，个位上的数比十位上的数大3，求这个两位数。

    分析：首先要明白怎样用各个位上的数表示这个数，例如：

    ２８＝２×１０＋８×１

       十位上的数   个位上的数

   

    解：设十位上的数为x，则个位上的数为

    ∴这个两位数为

    又这个两位数等于个位数的平方

   

    整理，得：

    解之得：

    当时，十位上的数为2，个位上的数为，这个两位数为25。

    当时，十位上的数为3，个位上的数为，这个两位数为36。

    答：这个两位数为25或36。

 

  例4. 在梯形ABCD中，上底AD＝4cm，下底BC＝11cm，∠B＝50°，∠C＝65°，求腰AB的长。

    分析：过A作AE∥CD交BC于E，即把腰CD移到AE，ADEC即为一个平行四边形，把要求的AB放到△ABE中来求。

    解：过点A作AE∥DC交BC于E

    则四边形AECD为平行四边形

   

    在△ABE中，∠B＝50°，∠AEB＝65°

   

    ∴AB＝BE＝7cm

    即腰AB的长为7cm

 

  例5. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AC⊥BD，AF是高，梯形的面积是32 ，求梯形的高AF。

    分析：由等腰梯形可得两腰相等，又AC⊥BD，AF⊥BC

    由面积求高，在本题中只知，并未出现其他线段的值。

    过A作AE∥BD，交CB的延长线于E，得平行四边形AEBD及Rt△ECA。

    解：过A作AE∥BD交CB的延长线于E

    则四边形AEBD为平行四边形

    ∴EB＝AD

    又AC⊥BD

    ∴EA⊥AC

    又梯形ABCD为等腰梯形

    ∴AC＝BD＝AE

    ∴△EAC为等腰直角三角形

    又AF⊥EC，

   

         

    设，则

   

    答：梯形的高AF为cm。

 

【模拟试题】（答题时间：15分钟）

  1. 长方形的周长为62cm，面积为210，求长。

  2. 一种药品经两次降价，由每盒60元调至52元，平均每次降价的百分率是多少？

  3. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝5，，∠BCD＝45°，∠CDA＝60°，求DC的长及梯形面积。

  4. 如图，AB∥CD，∠C＝50°，∠D＝80°，AB＝4，CD＝10，求BD的长。

【试题答案】

  1. 长为21

  2. ≈6.9%

  3. 提示：过A、B向另一底作垂线

   

  4. 提示：延长CA、DB