暑假专题——一元二次方程根与系数的关系；四边形

暑假专题——一元二次方程根与系数的关系；四边形  

   暑假专题——一元二次方程根与系数的关系；四边形

 

二. 重点、难点

    重点：一元二次方程根与系数的关系；四边形的内角和、外角和定理；多边形的内角和、外角和定理。

    难点：一元二次方程根与系数的关系；四边形内角和、外角和定理的应用；多边形内、外角和定理的应用。

 

    知识要点：

    代数：

  1. 韦达定理

    一元二次方程，如果有实数根（即），设两实数根为x₁，x₂，则，

    引申1：

   

   

   

    引申2：由可判断两根符号之间的关系：

    若，则x₁，x₂同号

    若，则x₁，x₂异号，即一正一负

    再由可判断两根大小的关系。

  2. 由x₁，x₂两根可构造的一元二次方程

    以x₁，x₂为根的一个一元二次方程为。

 

    几何：

   

   

 

【典型例题】

  例1. （1）若x₁，x₂是方程的两个根，求，；

    （2）若方程的两个根是x₁，x₂，求。

    解：（1）由韦达定理，得

   

    （2）把原方程化为一般式

    由韦达定理，得

   

   

    即

 

  例2. （江西2004中考题）

    已知关于x的方程

    （1）当m取什么值时，原方程没有实数根？

    （2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和。

    解：（1）

    当时，原方程无实数根

   

    时，原方程无实数根

    （2）当时，即，时，原方程有两个实数根

    设方程的两根为x₁，x₂，则两根的平方和为：

   

    在范围内取m＝1，则

   

 

  例3. （2004海淀中考）

    已知，关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m，若对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值。

    解：设原方程的根为，由题意，知

    又

    由韦达定理，

   

    要使对于任意一个非零的实数a，总成立，需中的c＝0

    这时

    即c＝0时，m＝4

 

  例4. （1）如果四边形的四个内角的度数之比为1：2：4：5，求这个四边形各内角的度数。

    （2）一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。

    解：（1）根据题意，设这个四边形的四内角分别为x，2x，4x，5x，根据四边形内角和定理，则

   

   

    该四边形的四个内角分别为30°，60°，120°，150°。

    （2）设这个多边形的边数为n，则其内角和为，设这个外角为x，则，由题意，知

   

    又

   

    这个多边形的边数为9。

 

【模拟试题】（答题时间：25分钟）

  1. 如果方程的一根为1，求k及另一根。

  2. 设方程的两根分别为x₁，x₂，求①；②（）

  3. 求以3，－1为根的方程。

  4. 如果两数之和为7，两数之积为12，求这两数。

  5. （1）内角和等于外角和的多边形是几边形？

    （2）若一个多边形的每一个内角都相等，且内角和为2340°，求每一个外角。

  6. 四边形ABCD中，对角线AC平分，且AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10，求AC的长。如图：

【试题答案】

  1. k＝－7，另一根也为－7

  2. ①；②

  3.

  4. 两数为3，4

  5. （1）4；（2）24°

  6. 提示：过C向AB、AD的延长线作垂线，AC＝17