a=bc型数量关系、可化为一元一次方程的分式方程及其应用；等腰三角形的性质

a=bc型数量关系、可化为一元一次方程的分式方程及其应用；等腰三角形的性质  

  代数：a=bc型数量关系、可化为一元一次方程的分式方程及其应用；

    几何：等腰三角形的性质

 

    学习目标：

    代数：掌握型数量关系的规律，会解可化为一元一次方程的分式方程及其应用

    几何：掌握等腰三角形的性质以及性质的应用

 

二. 重点、难点

    重点：

    代数：可化为一元一次方程的分式方程的解法、步骤

    几何：等腰三角形的性质以及应用

    难点：

    代数：增根问题、应用题

    几何：等腰三角形性质的应用

 

三. 知识要点

    代数：

  1. 型数量关系

    （1）b是定值，c与a成正比例关系

    （2）c是定值，b与a成正比例关系

    （3）a是定值，b与c成反比例关系

  2. 可化为一元一次方程的分式方程

    分式方程：分母含有字母的方程

    增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根

    步骤：（1）化成整式方程；（2）解整式方程；（3）验根

  3. 应用题

    关键：抓住等量关系

    步骤：（1）审题；（2）设未知量；（3）列方程；（4）解方程；（5）答

 

    几何：

  1. 等腰三角形的性质

  2. 等腰三角形性质的应用

    证明两角相等（底角相等）

    证明角相等，线段相等，垂直（三线合一）

    文字命题的证明：难点

 

【典型例题】

    例1. 解方程

    解：方程两边同乘以，约去分母，得

   

    整理，得

    解这个整式方程，得

    检验：时，

    2是增根，原方程无解

    小结：分式方程整式方程，最后验根。

 

    例2. 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。

    分析：未知量：自行车、汽车的速度

    已知关系：自行车走过的路程＝汽车走过的路程

              汽车的速度＝自行车速度的3倍

    等量关系：已知路程，要求速度，找时间关系作为等量关系

    汽车所用时间＝自行车所用时间－小时

    解法一：设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时

    由题意，得

   

    解之得

    检验得是这个方程的根

    当时，

    答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度为45千米/时

    解法二：设自行车的速度为x千米/时，汽车的速度为y千米/时

   

    解之得

    检验：是这一方程组的解

    答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度为45千米/时

    小结：（1）五步；（2）关键；（3）多个思路

 

    例3. （1）等腰三角形的一个角为，求其他两角

    （2）等腰三角形的一个角为，求其他两角

    解：（1）若底角为

    等腰三角形的两底角相等（等边对等角）

    另一底角为

    顶角为

    若顶角为

    则底角为

    其他两角为，或，

    （2）若底角为

    等边对等角

    另一底角为

    这两个底角之和

    不可能为底角

    若顶角为

    则底角为

    其他两角为，

    小结：已知等腰三角形中的一角，若该角为锐角，那么该角可能是顶角，也可能是底角；若该角为直角或钝角，则该角必为顶角。

 

    例4. 如图，已知，，，，求证：

    分析：连结AC、AD，可用三线合一的性质

    证明：连结AC、AD

    在和中

   

   

    （全等三角形，对应边相等）

    在中

    ，

    是CD边的中线（三线合一）

   

 

    例5. 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半

    分析：首先要从文字命题中找出已知，求证，并用数学符号或图形表示出来

    已知：在中，AB＝AC，，垂足为D

    求证：

    证明：方法一（代数法）

    在中，（直角三角形中锐角和等于）

    在中，（同上）

   

    （等边对等角）

    （等量代换）

   

    （等量代换）

   

    即

    方法二：

    作的角平分线交BC于E，交BD于O

    则（等腰三角形三线合一）

    在中

    （三角形内角和定理）

    在中

    （同一）

    又（对等角相等）

    （垂直定义）

    （等量代换）

    而（辅助线的作法）

   

    即等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半。

 

【模拟试题】（答题时间：25分钟）

  1. 如图，等边，D是BC上一点，以AD为边作等腰，使AD＝AE，，DE交AC于F，，求的度数

  2. 求证：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边

  3. 如图，中，于D，若，求证：

  4. 解下列方程

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

    （5）

  5. 打字员甲的工作效率比乙高25％，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，问甲、乙二人每小时能打多少字？

【试题答案】

  1.

  2. 利用外角等于不相邻的内角的和来证

  3. 在CD上截取，连结AE

   

   

    又

    ，

   

   

   

  4. （1）；（2）；（3）；（4）；（5）（增）

  5. 设乙每小时打x个字，甲每小时打个字

    则

    解得

   

    答：甲、乙每小时分别打3000、2400个字。