复习解直角三角形

复习解直角三角形  

复习解直角三角形

 

    学习目标：

  1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用锐角三角函数来表示直角三角形中两边的比。

  2. 熟记、、角的各个三角函数值，会计算含有特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊角的三角函数值计算角。

  3. 理解并掌握直角三角形中边、角之间的关系，会用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，锐角三角函数解直角三角形。

  4. 会用解直角三角形的有关知识解某些简单实际问题，进一步数、形结合。

 

二. 重点、难点

    重点理解锐角三角函数，应用其解直角三角形；难点是解决一些生活实际问题。

（一）熟练掌握直角三角形的边角关系

    在中，有以下关系：

  1. 三边关系：

  2. 锐角关系：

  3. 边角关系：

    （1），

    （2），

    （3），

    （4），

  4. 两锐角之间的三角函数关系

    ，，，

 

（二）弄清解直角三角形的涵义

    由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

  1. 隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件。

  2. 已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形。因为边角的组合有边边、边角、角角，但角角不能确定三角形大小，更无法求其边长了，即不能解三角形。

  3. 所求的未知元素：共三个，上述的两种情况：

    （1）中所求元素为两边和另一锐角

    （2）中所求元素为第三边和两个锐角

 

（三）熟悉解直角三角形的四种基本类型

  1. 已知一直角边和一锐角（如b和），则，可由求得，可由求得。

  2. 已知斜边和一锐角（如c和），则，可由求得，可由求得。

  3. 已知两条直角边（如a、b），则，可由查表求出，则（也可由查表求出，进而c可由或求出）。

  4. 已知斜边和一直角边（如c和a），由查表求出，则，（b边可由或求出）。

 

（四）善于找到解题的基本思路

  1. 由于本章数形结合紧密，故求解时要根据已知条件画出图形，以帮助分析题意。

  2. 对于已知一边和一角的，其难点在求边，其基本思路为：

    （1）用所求的边与已知边相比

    （2）选定已知角所该用的函数值，构成等式

    （3）将等式变形，查表计算

    已知两边的，其难点在求角，思路是：

    （1）用两条已知边相比

    （2）选定一个所求的锐角

    （3）确定该角所用的函数值，构成等式

    （4）由比值求角度

  3. 有时题目中没直接的直角三角形可用，这时需利用图形的一些性质（如等腰三角形的三线合一）或通过作辅助线来构造直角三角形求解，作辅助线的方法有：

    （1）作垂线构成直角三角形

    （2）作三角形的高

    （3）连结或平移某些线段构成直角三角形

 

（五）掌握解直角三角形的技巧与策略

    有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；数简用勾，数繁用函。

 

（六）实际应用掌握仰角、俯角、坡角、坡度等概念

 

【典型例题】

    例1. 求出如图所示中的、、、、、、、

    解：根据勾股定理

   

    故，

    ，

   

    ，

    ，

 

    例2. 如图所示，已知等腰中，AB＝AC＝10，BC＝12，求sinB、cosB的值。

    解：作于D

   

   

    在中，

    ，

 

    例3. 求下列各式的值

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）已知（为锐角），求的值

    解：（1）

    （2）

    （3）

    （4）解法1：

    设的对边是a，邻边是b，斜边是c

    ，

   

    设，

   

   

    解法2：

    ，，为锐角

   

 

    例4. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，AD＝6，BC＝14，，求tanB、cotB的值。

    解：过A作于E

    梯形ABCD是等腰梯形

   

   

   

   

    在中，

   

 

    例5. （1）中，，，，求各边各角。

    （2）在中，，，，求、，b。

    解：（1）

   

    查表

   

    （2）

   

   

   

 

    例6. 已知，如图中，，，D在AC上且，AD＝20，求BC。

    解：设

    ，

    又

   

    ，，

   

    ，

    ，

   

 

    例7. 在高出海平面200m的灯塔顶端，测得正西和正东的两艘船的俯角分别是和，求两船的距离。

    解：如图

    A表示灯塔的顶端，B表示正东方向的船，C表示正西方向的船，过A作于D，则，，

    从而得在中

    ，在中

   

   

   

    答：两船距离约为546.6m

 

    例8. 如图，一艘货船以30km/h的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏西，20分钟后货船行至B处，看见灯塔C在船的北偏西，若货船向北继续行驶，当灯塔C在船正西方向时，灯塔与货船相距多少千米？（精确到0.1km）

    解：过C作，垂足为D

    设BD＝x

    则在中，

   

    在中，

    ，

   

    答：此时灯塔与货船相距约8.7km。

 

    例9. 如图，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB坡度1：，斜坡CD坡度，求斜坡AB的长及坡角及坝底宽CD。

    解：过B作于E，过C作于F，则

    在中，

    ，

    ，即

   

    在中，

   

   

         

    答：斜坡AB长46m，坡角为，坝底宽AD约为68.8m。

 

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一. 选择题

  1. 中，斜边AB是直角边BC的4倍，则（    ）

    A.             B.                C.                    D.

  2. 中，，那么（    ）

    A.          B.                C.              D.

  3. 中，，则的值等于（    ）

    A.             B.             C.             D.

  4. 在中，，且已知b和，下列求c的表达正确的是（    ）

    A.             B.              C.               D.

  5. 已知中，，，斜边上的高，则的值为（    ）

    A.            B.            C.                D.

  6. 已知为锐角，且，那么下列各式正确的是（    ）

    A.                 B.

    C.                      D.

  7. 已知，，则m、n的关系是（    ）

    A. m＝n                       B.

    C.             D.

  8. 化简（）得（    ）

    A.          B.                 C.          D.

  9. 等腰中，一腰上的高长为，这条高与底边的夹角为，则面积为（    ）

    A. 3               B.                  C. 2               D.

  10. 如果方程的两根恰好是一个直角三角形的两个锐角的正弦，那么m的值等于（    ）

    A.                B.                  C.                  D. 1

 

二. 填空题

  11. 边长分别等于40、9、41的三角形的最小内角的正弦值等于_______

  12. 等腰三角形底边的长为，底边上的高为，则其底角等于________度

  13. 在中，，，则_______

  14. 已知，那么_______

  15. 若，则_________

  16. 已知中，，，，则_______

  17. 若，则A＝______

  18. 若为锐角，当______时，

 

三. 解答题

  19. 计算

  20. 计算

  21. 在中，的对边分别为a、b、c，，，，解这个直角三角形。

  22. 已知方程的两根是，，求m和的值。

  23. 一艘船位于灯塔P的北偏东方向的A处，它沿正南方向航行70海里后，到达位于灯塔P南偏东方向上的B处，这时海轮所在B处距离灯塔P多远？

【试题答案】

一. 1. B          2. C               3. A               4. C               5. D               6. C        7. B

  8. D           9. B               10. B

二. 11.            12. 30            13. 0              14. 1              15.            16.

  17.             18.

三. 19.            20.            21. ，，

  22. ；或

  23. 海里

 

【励志故事】

果断

有一个6岁的小男孩，一天在外面玩耍时，发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，从里面滚出了一只嗷嗷待哺的小麻雀，小男孩决定把它带回家喂养。

当他托着鸟巢走到家门口的时候，他忽然想起妈妈不允许他在家里养小动物。于是，他轻轻地把小麻雀放在门口，进屋去请求妈妈。在他的再三哀求下妈妈终于破例答应了。

小男孩兴奋地跑到门口，不料小麻雀已经不见了，他看见一只黑猫正在意犹未尽地舔着嘴巴。小男孩为此伤心了很久，但从此他记住了一个教训：只要是自己认定的事情，决不可优柔寡断。这个小男孩长大后成就了一番事业。