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圆周角及圆内接四边形
［学习目标］ 1. 圆周角的概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。 2. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。
3. 圆内角 角的顶点在圆内的角叫圆内角。 圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。 如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是
4. 圆外角 角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。 圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。 如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是
5. 四边形的外角，四边形的对角 四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。 四边形中不相邻的两个角互称为对角。 所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。 6. 圆内接四边形的性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
【典型例题】 例1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。
解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55° 又∠BAD＋∠BCD＝180° ∴∠BCD＝180°－55°＝125°
例2. 已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。
解：∵∠APC＝∠BPC＝60° ∴∠APB＝120°，BC＝AC ∵四边形APBC内接于⊙O ∴∠ACB＝60° ∴△ABC是等边三角形 ∴∠BCA＝60°，故填60° 点拨：本题较综合，考察：①相等的圆周角所对弦相等，②圆内接四边形对角互补，③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例3. 半径为4的圆上一段弧长等于半径为2的圆的周长，则这段弧所对圆心角是___________。 解：半径为2的圆的周长是 ∴这段弧长正好是周长的一半 ∴这段弧所对圆心角180° 故填180° 点拨：本题有难度，要理解圆心角的度数等于它所对弧度数。
例4. 已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，那么∠BOC＝___________，∠BIC＝__________。 解：如图
∵∠A＝80° 由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得： ∠BOC＝2∠A＝160° 故第一个空应填160°。 又∵在△ABC中，∠A＝80° ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100° 又∵ ∴在△IBC中，∠BIC＝180°－50°＝130° 故第二个空填130°。 点拨：本章重点应用了三角形内切圆的有关定理，构造三角形解题，是一道较好的题。
例5. 已知：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，交BC于E，则
解：连结CD，在Rt△ABC中，∠B＝25°，∠A＝65° ∵CA＝CD ∴∠CDA＝∠A＝65° ∴∠ACD＝180°－2×65°＝50° ∴∠DCE＝90°－50°＝40° ∴ 点拨：本题应用的知识点比较多，要头脑清醒，综合各知识点，灵活运用。
例6. 已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2。 求证：AB＝AC
点悟：要证AB＝AC，由题知，不能直接证出，故需添加辅助线，而由圆周角∠1＝∠2，想到了作∠1、∠2的对弧，构造弦等、弧等的条件。 证明：分别延长AD、AE，它们分别交⊙O于F、G，连结BF、CG ∵∠1＝∠2 ∴ ∴BF＝CG， ∴∠FBC＝∠GCE ∴△BFD≌△CGE ∴∠F＝∠G， ∴AB＝AC 点拨：在圆中有相等的圆周角时常作它们所对的弧和弦，利用在圆周或等圆中相等的圆周角所对的弧相等以及圆心角、弦、弦心距之间关系定理证题。
例7. 如图所示，锐角△ABC内接于圆O，∠BAC＝60°，H是△ABC的垂心，BD是⊙O的直径。 求证：
证明：连结AD、CD、CH ∵BD是⊙O的直径 ∴∠BAD＝∠BCD＝90° 又∵∠BAC＝60° ∴∠CAD＝30° ∴∠DBC＝∠CAD＝30° 在Rt△BCD中，得： ∵H是△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，CH⊥AB 又∵DC⊥BC，DA⊥AB ∴AH∥DC，AD∥HC ∴四边形AHCD是平行四边形 ∴AH＝CD 点拨：要学会使用学过的知识解决有关圆的问题，本题很典型。
例8. 如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是____________。 （2002年陕西）
解：∵∠BCD＋∠BAD＝180° 又∠BCD＝130° ∴∠BAD＝180°－130°＝50° ∴∠BOD＝2∠BAD＝2×50°＝100° 常见错误：一是计算错误，二是将∠BAD误认为是∠BOD而产生错误。
例9. 如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， （1）求证：AE＝BE； （2）若A、F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长。 （1999年江西）
解：（1）如图，连结AC
∵∠ACB＋∠ABC＝90° ∠BAD＋∠ABD＝90° ∴∠ACB＝∠BAD ∴∠ACB＝∠ABF ∴∠BAE＝∠ABE ∴AE＝BE （2）连结AO ∵OA＝OB，∠ABO＝60° ∴△AOB为正三角形 ∵AD⊥BO，∴D为BO中点 在 常见错误：解此类题时，常见错误与上题类似。一是不会正确应用圆的性质；二是不会正确应用解直角三角形知识解题；三是不会应用正三角形知识。只有正确运用知识才能得解。
例10. ⊙O和⊙O'交于A、B两点，过B的直线分别交⊙O和⊙O'于点C、D，G是两圆外一点，GC、GD分别交⊙O和⊙O'于点E、F。 求证：∠EAF＝∠C＋∠D 证明1：如图，连结AB
∵四边形ABCE内接于⊙O ∴∠GEA＝∠ABC 同理，∠GFA＝∠ABD ∴∠GEA＋∠GFA＝∠ABC＋∠ABD＝180° ∴∠G＋∠EAF＝180° ∵∠G＋∠C＋∠D＝180° ∴∠EAF＝∠C＋∠D 证明2：如图所示，连结BA并延长交GD或DG延长线于M
∵四边形ABCE、四边形ABDF分别内接于⊙O和⊙O' ∴∠MAE＝∠C，∠MAF＝∠D ∴∠EAF＝∠MAE＋∠MAF＝∠C＋∠D 点拨：本题利用“圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角”证题，注意这种转换。
例11. 如图所示，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC外接⊙O交于点D，N为BC延长线上一点，且CN＝CD，DN交⊙O于点M。 求证：（1）DB＝DC （2）
点悟：（1）由于DB与DC是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到；（2）欲证乘积式 证明：（1）∵AD平分∠EAC ∴∠EAD＝∠DAC＝∠DBC 又ABCD内接于⊙O ∴∠EAD＝∠DCB 故∠DBC＝∠DCB ∴DB＝DC （2）∵∠DMC＝180°－∠DBC＝180°－∠DCB＝∠DCN， 且∠CDM＝∠NDC ∴△DMC∽△DCN 故 点拨：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法。本题曾是1996年南昌市中考试题。
例12. 如图所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB与DC，AD与BC分别相交于圆外一点M、N。 求证：BM∶MC＝DN∶NC
证明：连结AC、BD ∵∠BDC＝∠BAC，∠M＝∠M ∴△AMC∽△DMB ∴BM∶MC＝BD∶AC 同理，DN∶NC＝BD∶AC ∴BM∶MC＝DN∶NC 点拨：本题图中有关比例线段问题，一般可通过相似证题，但本题做辅助线较难，要掌握几种做辅助线的方法。
例13. 已知：如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，DE平分∠ADB交AB于E，过A、D、E的圆交BD于N。 求证：BN＝2AE
点悟：要证BN＝2AE，由已知有AB＝AC＝2AD，如能有 证明：连结EN ∵四边形AEND是圆内接四边形 ∴∠BNE＝∠A 又∵∠ABD＝∠ABD ∴△BNE∽△BAD 又∵∠ADE＝∠NDE ∴AE＝EN ∴BN＝2AE
例14. 已知：如图所示，⊙O的两弦AB、CD相交于M，∠OMA＝∠OMD。 求证：AB＝CD
证明：过圆心O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F ∵∠OME＝∠OMF，OM＝OM ∴△OME≌△OMF ∴OE＝OF ∴AB＝CD 点拨：本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”这一推论证明，因此，要熟记定理，灵活运用。 发散联想：上例还有另一种证法，即先证O、E、M、F四点共圆，由∠OMA＝∠OMD，及OM＝OM，可得Rt△OME≌Rt△OMF，得OE＝OF，故AB＝CD。这就用了本节所学的知识。
例15. 如图所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC，交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。
点悟：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，只有寻找相似的直角三角形，列比例式（方程）求解。 解：连结OD、BD ∵AD＝DC， ∠ABC＝ ∴OD∥BC，有 ∵EA＝AO＝BO，BC＝12 ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠EDA＝∠EBC 又∠E公用，∴△EDA∽△EBC 设 解得： ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝∠F＝90°
【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一. 选择题。 1. 如图，圆心角∠AOB＝120°，C、D、E是
A. OA＜DE B. DE＜OA C. DE＝OA D. 以上均不对 2. 在下列语句中，叙述正确的个数为（ ） ①相等的圆周角所对弧相等 ②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等 ③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 ④等弧所对圆周角相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在半径等于7cm的圆内有长为 A. 60°或120° B. 30°或150° C. 60° D. 120° 4. 下列命题中不正确的是（ ） A. 圆内接平行四边形是矩形 B. 圆内接菱形是正方形 C. 圆内接梯形是等腰梯形 D. 圆内接矩形是正方形 5. 如图，∠E＝30°，AB＝BC＝CD，则∠ACD的度数为（ ）
A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5° 6. 四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（ ） A. 1∶3∶2∶4 B. 7∶5∶10∶8 C. 13∶1∶5∶17 D. 1∶2∶3∶4 7. 圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于P，对角线AC、BD交于点Q，则图中共有相似三角形（ ） A. 4对 B. 2对 C. 1对 D. 3对
二. 填空题。 8. 一弦分圆周为5∶7，这弦所对的两圆周角分别为__________。 9. 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
10. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝__________，
11. 圆内接四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BCD＝80°，则∠BAC＝__________。 12. 四边形ABCD内接于⊙O，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶4∶m，则m＝__________，这个四边形最大内角是__________度，最小内角__________度，对角线AC是⊙O的__________。
三. 解答题。 13. 已知：如图，P是 求证：
14. 已知：如图，⊙O和⊙O'交于A、B，过A引直线CD、EF，分别交两圆于C、D、E、F，EC、DF的延长线交于P。 求证：∠P＋∠CBD＝180°
【试题答案】 一. 选择题。 1. C 2. B 3. A 4. D 5. D 6. C 7. A 二. 填空题。 8. 105°和75° 9. 40°，120°，2 10. 60°，120°，120°，140°，100° 11. 50° 12. 3，120，60，直径 三. 解答题。 13. 连结AC
∵P是 ∴ ∴∠PAB＝∠PCA 又∵∠P＝∠P ∴△PAD∽△PCA 14. 连结AB，则∠E＝∠ABC
∵四边形AFDB内接于圆 ∴∠PFE＝∠ABD |
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