正多边形和圆、弧长公式及有关计算

正多边形和圆、弧长公式及有关计算

 

［学习目标］

  1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

  2. 正多边形和圆的关系定理

    任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

  3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：

    （1）半径（或边心距）的比等于相似比。

    （2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

  4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。

    （1）画正n边形的步骤：

    将一个圆n等分，顺次连接各分点。

    （2）用量角器等分圆

    先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

  5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

  6. 圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。

  7. n°的圆心角所对的弧的弧长：

    n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

  8. 正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。

 

二. 重点、难点：

  1. 学习重点：

    正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

    正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。

    只有正五边形、正四边形对角线相等。

  2. 学习难点：

    解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

 

【典型例题】

  例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（    ）

    A.                 B.                C.                 D.

    解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1

    又∵∠FAG＝60°

   

    故选B

    点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

 

  例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（    ）

    A. 1∶2∶3                          B.

    C.                    D.

    解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高

    设，则AO＝2r，AD＝3r

    ∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3

    故选A

    点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的。通过这个定理可以使问题得到解决。

 

  例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之间的大小关系是（    ）

    A.                  B.

    C.                  D.

    解析：设它们的周长为，则正三角形的边长是，正四边形的边长为，正六边形的边长为

   

     

   

    故选B

    点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。

 

  例4. 如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：

    （1）；

    （2）

    点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。

    证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则

   

    ∴∠BEA＝36°

   

   

    （2）

    又∵公共角∠ABM＝∠EBA

    ∴△ABM∽△EBA

   

 

  例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。

    解：∵正六边形的半径等于边长

    ∴正六边形的边长

      正六边形的周长

      正六边形的面积

    点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

 

  例6. 已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。

    解：∵正方形的边长为2cm

    ∴正方形的外接圆半径为cm

    ∴外接圆的外切正三角形一边上的高为cm

    ∴正三角形的边长为

    ∴正三角形的面积为

    点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。

 

  例7. 如图所示，已知⊙和⊙外切于点P，⊙和⊙的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧所围的阴影部分的面积。

    解：连结，过点作

    在中，

   

    ∴梯形的面积为：

   

    又∵

   

    ∴扇形的面积为：

      扇形的面积为：

    ∴阴影部分的面积为：

   

    点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。

 

  例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。

    解：由弧长公式，得：

    当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为

   

    ∴弧长增加，故填

    点拨：本题主要考查弧长公式。

 

  例9. 如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是（    ）

    A.              B.             C.              D.

    解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r

    由题意，得：

   

    ∴小圆的半径

    ∴每个小半圆的弧长为

    ∴n个小半圆的总弧长

    即，故选A。

    点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。

 

  例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的的长为，的长为，若，则图中阴影部分的面积为（    ）

    A.              B.               C.         D.

    解：设∠O＝α，由弧长公式得：

   

    又

   

    ∴阴影部分的面积为：

   

    故选C

    点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。

 

  例11. 如图所示，⊙O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB的长，如果将3∶7改为m∶n，此时弦AB的长度是多少？

    点悟：欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，∠AOB可通过两弧长之比3∶7求得，再利用求得AD，AB就可求。

    解：作OD⊥AB于D，连结OB

    ∵这两段弧之比为3∶7

    ∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7

    设这两个圆心角的度数为3x，7x，则

   

    即

    ∴∠DOA＝54°，又

    ∴AD＝Rsin54°

    ∵AB＝2AD

   

    同理可得3∶7改为m∶n时，解得：

   

    点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。

 

  例12. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。

    点悟：欲求内切圆的面积，根据圆面积公式，需求内切圆的半径OH，可依据正六边形的性质及边长a求得，代入面积公式，即可。

    解：如图所示，设正六边形的边长，内切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OH⊥AB于H，则∠AOH＝30°

   

 

  例13. 已知正多边形的周长为12cm，面积为，则内切圆的半径为__________。

    解：设正多边形是正n边形，圆半径为r

    ∵正多边形的周长是12cm

    ∴正多边形的边长是

    又∵正多边形的面积是

   

    故应填2cm。

    点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。

 

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一. 判断题。

  1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。（    ）

  2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。（    ）

  3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。（    ）

  4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。（    ）

  5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。（    ）

  6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。（    ）

  7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。（    ）

  8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。（    ）

 

二. 填空题。

  9. 若正多边形内角和是540°，那么这个多边形是_________边形。

  10. 两个圆的半径比为2∶1，大圆的内接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为__________。

  11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R是36m，圆弧所对的圆心角为60°，则这段弯道长约________m（精确到0.1m，）。

 

三. 解答题。

  12. 已知半径为R的圆有一个外切正方形和内接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。

  13. 如图，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C、D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG于点B、F。

    求证：五边形ABCDE是正五边形。

  14. 如图：三个半径的圆两两外切，求由三条切点弧围成的阴影图形的周长。

【试题答案】

一. 判断题。

  1. ×                 2. ×             3. √             4. √

  5. √                 6. √             7. ×             8. √

二. 填空题。

  9. 正五             10. 3∶1                11. 37.7

三. 解答题。

  12. 边长比，面积比2∶1

  13. 易求∠F＝∠G＝36°

    ∴∠FAC＝∠GAD＝∠CAD＝36°

    从而，

    由△AFC≌△AGD得：AC＝AD

   

    ∴ABCDE是正五边形

  14. 利用弧长公式，关键是求出三段弧所对圆心角的度数。

   

    且

    ∴∠B＝90°，∠A＝30°，∠C＝60°

    ∴阴影部分周长