命题和充要条件

命题和充要条件

 

二. 知识讲解：

本考点内容在高考中主要考查基本概念和基本原理，不会单独命题，但会与其它知识结合，解逻辑问题的关键是熟练地掌握基本概念和基本方法。

1. 命题：所谓命题，是指可以判断真假的语句，命题分为真命题和假命题两种。

2. 命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，即逆否关系是等价关系。

3. 判断充要条件问题时，要注意以下几点：

（1）明确命题中的条件是什么，结论是什么；

（2）若，，则是的充分不必要条件，也称是的必要不充分条件；若，则称是的充要条件，若，，则称是的既不充分也不必要条件。

  4. 要知道数学用语，如“当且仅当”，“有且仅有”是指充要条件的。

 

【典型例题】

[例1] 已知命题：方程有两个不相等的负实根，：方程

无实根，如果或为真，且为假，求实数的取值范围。

解：由则，即：

由，则，即：

而或为真，且为假等价于和中有且仅有一个为真，另一个为假

（1）当真假时，有则

（2）当假真时，有，则

综上，实数的取值范围是或

 

[例2] 设集合，，

，则点P（2，3）的充要条件是（    ）

A.                       B.

C.                       D.

解：由，则P（2，3）等价于

即故应选A

 

[例3] 一元二次方程（）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（    ）

A.     B.     C.     D.

解：设（）的两根为，则方程有一个正根和一个负根，等价于即，而A是充要条件，B、D均为既不充分也不必要条件，只有C是充分不必要条件。

 

[例4]（1）若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；（2）若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，以上命题中，逆命题为真命题的是（    ）。

解：

（1）的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然为假命题。

（2）的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，根据异面直线的概念可知其为真命题，所以应填（2）。

该题也可利用逆否关系的等价性进行分析。

（1）的逆命题与否命题等价，否命题为：若四点不共面，则这四点中存在三点共线，它是假命题。

（2）的否命题为：若两条直线有公共点，则这两条直线不是异面直线，它是真命题，故应填（2）。

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 设全集为U，A、B为U的子集，则下列命题中与等价的有（    ）

① ，② ，③ ，④

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

2. 已知：，：的两根介于和4之间，则是的（    ）

A. 充分不必要条件                          B. 必要不充分条件

C. 充要条件                                     D. 既不充分也不必要条件

3. 如果是B的充分而不必要条件，那么A是B的（    ）

A. 充分不必要条件                          B. 必要不充分条件

C. 充要条件                                     D. 既不充分也不必要条件

4. 已知，，其中为正实数，则，，同时成立是成立的是（    ）

A. 充分非必要条件                          B. 必要非充分条件

C. 充要条件                                     D. 既非充分也不必要条件

 

二. 填空题：

5. “对任意实数，不等式（）成立，则，”的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题共         个。

6. 下列四个命题：

① “”是“，或”的充分不必要条件

② “”是“”的必要不充分条件

③ “”是“有实根”的充分不必要条件

④ “”是“”的充要条件

⑤ “若，则”的逆否命题是“若”，则，其中真命题的序号是            。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一. 选择题：

1. D    2. A    3. B    4. C

 

二.

5. 3

6. ①②③