第五章 平面向量总结

第五章  平面向量总结

 

二. 知识分析：

1. 向量的有关概念

定义既有大小又有方向的量叫做向量（自由向量）

记作：	或
表示：	有向线段
向量长度（模）
单位向量：	（与同向的）
相等向量：
共线向量：	若，则与共线（平行）（唯一）
相反向量：	的相反向量
加法：
减法：
实数与向量的积：
数量积：
向量垂直：	非空向量

2. 向量的加法与减法

（1）加法法则：三角形法则与平行四边形法则

   

三角形法则：首尾相接     平行四边形法则：起点相同

（2）运算性质：，，

（3）减法法则：是起点O连接终点指向被减数的向量

（4）常用结论：  

；

；

3. 实数与向量的积

（1）定义：   ① 时，与同向，② 时，与反向，③ 时，。

（2）运算律：①

②      ③     ④

（3）有且只有一个实数，使

注：此条件应用非常广泛，是证明三点共线的重要依据。

（4）平面向量的基本定理

为一组基底，平面内任一向量，有且只有一对实数，使，

（5）几个重要结论

① 已知，，C是A、B中点，则

② 以原点为起点的三个向量的终点A、B、C在同一条直线上的充要条件是，其中，

4. 线段的定比分点

（1）定义：设是直线上的两点，点P是上不同于的任意一点，则存在唯一实数，使，叫做P分所成的比

（2）设、、且

则

时，P为线段的中点，则

（3）的重心坐标公式

、、、重心

则（坐标表示）或（向量表示）

常见题型：① 求有向线段的比；② 证明三点共线；③ 求的角平分线长；④ 求的内心

5. 平面向量的数量积

（1）两平面向量的夹角

，，

范围：

（2）非零向量与垂直：

（3）与的数量积（内积）

（非零向量）① 定义：

② 的几何意义：<1> 等于的长度与在方向上的投影的乘积

<2> 在上的投影为

（4）的性质，设，是两个非零向量，是单位向量

①

②

③ 当与同向时，；当与反向时，

④ （实现模与向量内积的相互转化）

两点间距离公式：若、，则

⑤ （与的夹角）

⑥ ；

（5）的运算律

①

②

③

注：

（a）不满足结合律

（b）数量积的多项式乘积类似实数多项式的乘积

6. 平移

（1）图形平移的定义：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按同一方向，移动同样长度，得到图形，这一过程叫图形的平移。

（2）平移公式

设，按平移，对应点

则有  或

理解：公式中反映的平移可以分解为两步进行。

① 沿x轴正方向平移h个单位

② 再沿y轴正方向平移k个单位

（3）点的平移关系

① 点按平移得

② 点按平移得，则

③ 点A按平移，得，则

（4）函数、曲线的平移关系

① 图形F：按平移，得图形

；

② 图形F：按平移，得图形

；则

③ 图形F按平移得

则F：

 

【典型例题】

[例1] 设两非零向量和不共线

（1）若，，，求证A、B、D三点共线；

（2）试确定，使和共线。

解：（1）

            

故，所以A、B、D三点共线

（2）和共线，则存在，使

即，又由与为不共线向量，则

且，解得

 

[例2] 已知，

（1）计算和；

（2）当为何值时，与共线。

解：（1）由

则，

（2）由，

            

此时与反向共线

 

[例3] 已知向量，

（1）若与共线，求x，y的值；

（2）若，求x，y的值。

解：（1）由

               

               

（2）

 

[例4] 已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），试求AC与BD交点的坐标。

解：设AC与BD相交于M点，由A、M、C三点共线，设，则

同理

故

由（2）×2+（1）得

故，即AC与BD相交于M（6，4）

 

[例5] 在中，已知，，，过A作AD交BC于D，若AD把的面积分成两部分，求D点坐标。

解：或

由定比分点公式，有，

故，，即

或，，即

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 已知，，又为第三象限，则的值为（    ）

A.           B.               C.               D. 0

2. ，，，且，则（    ）

A. 5               B.           C.            D. 1

3. ，，三点共线，则（    ）

A.         B.              C.           D. 13

4. 已知，，若线段与y轴交于点M，则M分所成的比为（    ）

A.             B.             C. 2               D. 3

5. 已知，，且，则锐角等于（    ）

A.           B.           C.           D. 或

6. 已知关于点的对称点是，则点到原点的距离是（    ）

A. 4               B.          C.         D.

 

二. 填空题

7. 的重心是G，CA中点为M，且A、M、G三点坐标分别为（6，6），（7，4），，则         。

8. 平行四边形ABCD中，已知顶点，B（3，1），对角线AC与BD交于点M（2，2），则顶点C、D坐标分别为          和          。

9. 已知A（2，3），B（1，4），且，，则      。

10. 已知，，，且，则         。

11. 已知，，三点共线，则       。

12. 已知，，若线段与轴交于点M，则M分所成的比为     。

 

三. 解答题

13. 在，已知重心G（1，1），BC的中点，AC的中点E（2，0），求各顶点坐标。

【试题答案】

一.

1. A  提示：，又为第三象限，故

2. D  提示：，，

3. C  提示：由

4. C  提示：设，由

5. B  提示：，又，则

6. D  提示：由，，

 

二.

7.   提示：先求C坐标，，，再求，则

8. C（3，5）；D（1，3）  提示：由中点公式

9. 或  提示：，又，则，

10. 1  提示：，，

11.   提示：由

12. 2  提示：设，由

 

三.

13. 解：重心G分所成的比是2，设A点坐标是，则

即A（3，5）

又由E是AC中点，故C坐标

由D是BC中点，故B点坐标为