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用《几何画板》探索幂函数图象的教学案例与研究 安徽省铜陵市第三中学 柏永红 一， 教材分析 幂函数这节内容，在高中数学教材中可以说是几起几落，由于它的图象多样性和复杂性（图象有11种），在“减负”的呼声中几次被删除。随着网络计算机的发展，一些先进的数学软件不断涌现，利用信息技术探索幂函数的图象成为方便与可能，这也符合新课程倡导的将课程与信息技术整合的理念。 二， 设计意图 《几何画板》软件是一款优秀的数学软件，它具有实时动态的功能，作图方便、快捷。该软件能提供给学生观察、发现、归纳幂函数图象和性质的良好的实验环境。幂函数y=xn(n∈Q)的图象由n值的不同而不同。让学生自已设定n值来探索图象规律, 能培养学生观察、分析、总结规律的能力。本节课的设计，旨在遵循新课程理念，实现课程与网络的有效整合。经过探索，学生的自主性得到充分体现，必将引领学生学习方式的改变，而教师也成为“真正的行动研究者”。 三， 学情分析 教学实验是在微机室进行的，一人一台电脑，班级是我校高一（九）班，该班学生整体水平属中等。在知识内容上，高一学生已学过函数的奇偶性和指数函数与对数函数图象和性质。为使学生较方便地运用软件，之前先花费两三课时讲解有关软件应用知识，针对软件中作函数图象的功能，只需键入函数表达式立刻得到函数图象，学生掌握也很快。 四， 教学设计及过程 共两课时，第一课时有以下几个环节. 1.幂函数概念讲解. 函数y=xn,n 是有理数，叫幂函数 2.提出问题引导探索 幂指数n可取哪些数呢？学生回答：整数、分数。之后，要求学生在计算机上任意选取指数值，画出图象并适当记录下来，归纳出图象形状共有多少种不同类型。 3.学生探索 本环节是这节课的主要程序，学生各自键入自已设定的值，一时间每位学生的电脑上都显现出五花八门的图象。为了使学生有充足的时间思考，因此多给学生一些时间，约30分钟。教师尽量不指导学生分类方法，让他们自已探索或相互交流，在不断反思中调整自已的数学实验，得到自已所需要的。教师巡视，只给予个别学生软件应用方面的指导。 4.交流研讨 有了自已的探索经历，学生兴趣昂然，互相探讨更加强烈，各抒已见。经过交流，不少学生核实了自己的成果，都有一定的成就感，也能及时地发现自己的不足，并能及时修正再实践，约10分钟。 5.归纳总结. 让学生适当记录探索结果，图象的各种类型，课后写出总结报告及心得体会。 第二课时，根据学生的实验报告，针对一些典型问题进行师生共研，最后归纳出图象种类和图象性质。 五．个案研究 个案1. 周同学的探究报告 我决定先分n是正负整数来探讨 （1） n为正整数时，取n=1、2、3、4得出以下四个图象 n=1 n=2 n=3 n=4 发现y=x2与y=x4图象相似。而y=x与y=x3不同,是否n为奇数时没有规律呢？我又键入y=x5图象，发现与y=x3相近，可见，y=x是一个特殊的类型，其余n为奇数时，图象相近，n为偶数时也相近。 （2） n为负整数时,取n=-1、-2、-3、-4得出以下图象 n=-1 n=-2 n=-3 n=-4 很明显n取-1、-3时图象类似,n取-2、-4时图象类似。图象的形状与n的奇偶性密切相关。结合n为正数的情况,我猜想当n为奇数时图象在一、三象限，n为偶数时图象在一、二象限。再画几个图象,果然验证了我的猜想是正确的。并且第一象限图象过点（1，1）,第二象限图象过点（-1，1）。 （3） n为正分数时,取n=0.1、0.2、0.3、0.4得出如下图象 n=0.1 n=0.2 n=0.3 n=0.4 发现:n为正奇数时只有一条曲线，分布在第一象限，而n为正偶分数（注：该同学对此概念说法有误）时有两条曲线 （4） n当为负分数时,取n=-0.1、-0.2、-0.3、-0.4得出如下图象 n=-0.1 n=-0.2 n=-0.3 n=-0.4 发现n取负奇分数时图象相同，在第一象限。n取负偶分数时图象相同在一三象限。我忽然想起还有n=0的情况。键入n=0，图象是一条直线。 总结：幂函数图象共有10种不同形状的图象。 评析：周同学的实验过程基本上探索了幂函数的图象类型，有猜想、有验证，但分类不够清晰、全面，出现正、负奇偶分数这样的错误概念。在n取分数时不具有一般性，致使讨论不完整。在取n=0.1、0.3即 个案2. 齐同学的探究报告 首先讨论n为整数的情况 当n=2时,图①, n=3时图②, n=-2时图③, n=-3时图④ ① ② ③ ④ 观察比较后,猜想n为偶数时图象关于y轴对称（在第一二象限）。n为奇数时图象 在一三象限,关于原点对称。我又画了n=±4,±5的图象,猜想得到验证。 其次，讨论n为分数的情况 设 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 初看图⑤、⑥时发现很奇怪，为什么它们的图象只在第一象限，并且弯曲的模样还不一样呢？仔细研究发现图⑤中幂函数式为 对于图⑦⑧⑨⑩,猜想是因为a、b取奇偶数有关，也与a、b的大小有关。 再设 ⑾ ⑿ ⒀ 从a、b的大小与奇偶性两方面来研究。发现a、b的大小对图象影响不大。只是a、b取奇偶数对图象的形状起到主导作用。 最后，还有一些特殊值 n=1,0,-1，得图⒁,⒂,⒃ ⒁ ⒂ ⒃ 综上，研究幂函数应从两方面着手，一是指数大小（包括正负情况）二是指数奇偶性。概括前面的研究，共有图①、②、③、④、⑤、⑥、⑧、⑩、⑾、⒁、⒂、⒃12种不同类型的图象。 评析：该同学先大致地对指数n进行了分类，再从图象的不同类型找到了指数n的分类方法，指出二点：一是以n值大小，二是以n值是奇偶数的情况。整个探索在归纳图象类型的同时阐述了幂函数图象性质，并能从这些特性反过来指导图象分类。思维严谨、有序，且探索思考细致。如对 由此，幂函数共有11种不同类型的图象，可归纳成抛物线型、双曲线型和直线型，而 n的值可分为 ：n<0,n=0,0<n<1,n=1,n>1五个范围来研究，先得出第一象限的图象是上升（n>1 时上翘、0<n<1时下翘）还是下降，再根据对称性得到其它象限的图象。这些归纳总结还需要教师在第二节课时加以引导，这样才能使学生思维得以升华。
六．教学反思 1．一点思考 （1）探索实验能反映学生认识问题的角度和程度 有同学对幂函数图象的形状比较关注，得出只有n=0和n=1时是直线，而其余均为曲线的结论；有同学对图象所在象限比较关注，分析得出只在第一、二、三象限；少数同学对第四象限为什么没有图象作了进一步探究，意识到一个正数的任意次方永远为正的道理，等等。可谓百花齐放，百家争鸣，就连平时成绩很差的同学，在实验报告里也有一定的分析成果，对提高自己的自信心有极大的帮助。教师掌握了学生们的认识情况之后，就能更好地教，必然会产生良好的效果。 （2）探索实验能提高学生分析、归纳、鉴别能力 经过猜想、验证，每位学生都在检测了自己的判断分析能力，经过交流研讨，每位学生又从其它同学处学到了相关知识，发现了自己的不足，提醒了自己，激发了自己，更能提高自己，我想这也是新课程理念所倡导的学习方式吧！ 2．来自学生的感受 周同学：我在第一次做这样的探究时，感觉n值有很多情况，而在探究或在与同学交流中才逐渐补全。使我自己意识到我对参数分类不够严谨，平时的学习不够认真所致。经过这次探究活动，检查到我的弱项。我觉得多做这样的探究可以使我的逻辑思维更严谨，而且对幂函数印象深刻，如果单纯听老师讲解，听起来可能苦涩难懂，而且容易遗忘。在实践探讨中不断推测、假想、提问，然后随着探究深入，得到验证，发现了很多有趣的事实，受益很多。 陈同学：这次探究非常有意思，开拓了我的视野，拓展了我的思维，将知识感观化，实现了自己探究数学的奥秘。充满趣味性和挑战性。刚开始时，无从下手，有的猜想是对的，有的猜想是错的，这样的实验做多了，问题便迎刃而解，思路也活跃不少，加强了我的逻辑思维能力及总结归纳能力，科学不能靠主观意断行事，必需经过实践的检验才能下结论，希望老师多给我们上机实践的机会。 胡同学：这种探索学习的方法非常好，我们可以自已思考、自已探索，提高了我们的探究能力。可以根据我们所思考的问题进行探究，激发我们的求知的欲望，俗话说“学而不思则罔，思而不学则殆”。通过这种方法来学习，我们可以不“罔”也不“殆”了。
2009.9安徽省电化教育馆、安徽省电化教育协会 二等奖 |
