高考数学：函数与导数易错点归纳！考试全是“坑”，一定要记清！

1.分段函数

在求分段函数的值f(x0)时，要先判断x0属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

2.函数的单调性与最值

（1）区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.

（2）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的.

（3）函数的额单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y=1/x在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.

（4）若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数f(x)在区间(-1，0)上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在(-1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x)=1/x.

3.函数的奇偶性与周期性

（1）f(0)=0既不是函数f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.

（2）判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论，也可以利用图象进行判断.

4.二次函数与幂函数

（1）对于函数y=ax^2+bx+c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件未说明a≠0时，就要讨论a=0和a≠0两种情况.

（2）幂函数y=x^α（α是常数）中,α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样.注意α是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同.

（3）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

5.指数与指数函数

（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a>1和0<a<1两种情况讨论.

（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，弄清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意“新元”的取值范围.

6.对数与对数函数

（1）指数函数y=a^x (a>0，且a≠1)与对数函数y=logax (a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.

（2）解决与对数函数有关的问题时需注意两点：①务必先研究函数的定义域;②注意对数底数的取值范围.

7.函数的图象

（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x”而言，如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移1/2个单位，即把x变成x-1/2.

（2）当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确性进行求解，解题过程中要注重数形结合思想的运用.

8.函数与方程

（1）函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)=0的根，也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.

（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

9.函数模型及其应用

（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.

（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

10.导数的概念及运算

（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.

（2）求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.

（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个.

11.导数与函数的单调性、极值、最值

（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.

（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.

（3）解题时要注意区别求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x)=0时的情况;区分极值点和导数为0的点.

12.导数的综合应用

（1）若函数f(x)在某个区间内单调递增，则f ′(x)≥0，而不是f ′(x)>0(f ′(x)=0在有限个点处取到).

（2）利用导数解决实际生活中的优化问题时，要注意问题的实际意义.