【文数】高中文科数学必修一知识点总结：集合与函数

第一章  集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。

（2）常用数集及其记法

N表示自然数集，N*或表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集。

（3）集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是，或者，两者必居其一。

（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集

②含有无限个元素的集合叫做无限集

③不含有任何元素的集合叫做空集()

 

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A有n（n≥1）个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有个非空真子集。

 

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合A中任何一个数x，在集合中都有唯一确定的数(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则）叫做集合A到B的一个函数，记作:A→B。

②函数的三要素：定义域、值域和对应法则。

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数

②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数

③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1

⑤中，

⑥零（负）指数幂的底数不能为零

⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为[a，b]，其复合函数的定义域应由不等式解出a≤g(x)≤b。

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义

（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同。

求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值。

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值。

③判别式法：若函数可以化成一个系数含有y的关于的二次方程，则在a(y)≠0时，由于x、y为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值。

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值。

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题。

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值。

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值。

⑧函数的单调性法。

 

【1.2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种。

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系。

（6）映射的概念

①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则）叫做集合A到B的映射，记作:A→B。

②给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。

〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数。

（3）最大（小）值定义

【1.3.2】奇偶性

（4）函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数为奇函数，且在x=0处有定义，则。

③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反。

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

 

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

◆利用描点法作图：

①确定函数的定义域；

②化解函数解析式；

③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；

④画出函数的图象。

◆利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换

②伸缩变换

③对称变换

（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系。

（3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

第二章基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：.0的正分数指数幂等于0.

②正数的负分数指数幂的意义是：。0的负分数指数幂没有意义。注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性。

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

 

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若，则x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做底数，N叫做真数。

②负数和零没有对数。

③对数式与指数式的互化：

（2）几个重要的对数恒等式

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即；

自然对数：lnN，即（其中e=2.71828...）。

（4）对数的运算性质

如果，那么：

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

（6）反函数的概念

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；

②从原函数式中反解出；

③将改写成，并注明反函数的定义域。

（8）反函数的性质

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数。

（2）幂函数的图象

 

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象。幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限。

②过定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都通过点（1,1）。

③单调性：如果a＞0，则幂函数的图象过原点，并且在[0，+∞）上为增函数。如果a＜0，则幂函数的图象在（0，+∞）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴。

④奇偶性：当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数。当（其中q、p互质，q和p∈Z），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若p和q为奇数为偶数时，则是偶函数，若为p偶数q为奇数时，则是非奇非偶函数。

⑤图象特征：幂函数，当a＞0时，若0＜x＜1，其图象在直线y=x下方，若x＞1，其图象在直线y=x上方；当a＜1时，若0＜x＜1，其图象在直线y=x上方，若x＞1，其图象在直线y=x下方。

 

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式；

②顶点式；

③两根式；

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式。

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式。

③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便。

（3）二次函数图象的性质

①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是。

③二次函数当时，图象与x轴有两个交点。

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布。

①k＜x1≤x2→

②x1≤x2＜k→

③x1＜k＜x2af(k)＜0→

 

 

④k1＜x1≤x2＜k2→

⑤有且仅有一个根x₁（或x₂）满足k₁＜x₁（或x₂）＜k_2→f(k₁)f(k₂)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

⑥此结论可直接由⑤推出。

（5）二次函数在闭区间[p，q]上的最值

（Ⅰ）当a＞0时（开口向上）

(Ⅱ)当a＜0时(开口向下)

知识点较细，若有误欢迎留言指正

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