1．映射
: A
B的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。比如：
（1）设
是集合
到
的映射，下列说法正确的是 A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象 C、中每一个元素在
中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A）；
（2）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点________（答：（2，－1））；
（3）若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个（答：81,64,81）；
（4）设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有____个（答：12）；
（5）设是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则一定是_____（答：或{1}）。
2．函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。比如：
（1）已知函数，，那么集合中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；
（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝ （答：2）
3． 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。
如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）
4． 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。比如：
①函数的定义域是____(答：)；
②若函数的定义域为R，则_______(答：)；
③函数的定义域是，，则函数的定义域是__________(答：)；
④设函数，Ⅰ．若的定义域是R，求实数的取值范围；Ⅱ．若的值域是R，求实数的取值范围（答：Ⅰ．；Ⅱ．）
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3）复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。比如：
①若函数的定义域为，则的定义域为__________（答：）；
②若函数的定义域为，则函数的定义域为________（答：[1,5]）．
5．求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），比如：
①求函数的值域（答：[4,8]）；
②当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___（答：）；
③已知的图象过点（2,1），则的值域为______（答：[2, 5]）
（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，比如：
①的值域为_____（答：）；
②的值域为_____（答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；
③的值域为____（答：）；（4）的值域为____（答：）；
（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，
如求函数，，的值域（答： 、（0,1）、）；
（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，
如求，，的值域为______（答：、、）；
（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，比如：
①已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；
②求函数的值域（答：）；
③求函数及的值域（答：、）
注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。
（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
①型，可直接用不等式性质，
如求的值域（答：）
②型，先化简，再用均值不等式，
如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：）
③型，通常用判别式法；
如已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求常数的值（答：）
④型，可用判别式法或均值不等式法，
如求的值域（答：）
（7）不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________。（答：）。
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数。
如求函数，的最小值。（答：－48）
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
6．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。比如：
（1）设函数，则使得的自变量的取值范围是__________（答：）；
（2）已知，则不等式的解集是________（答：）
7．求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。
如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（答：）
（2）代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。比如：
①已知求的解析式（答：）；
②若，则函数=_____（答：）；
③若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________（答：）。 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。
（3）方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。比如：
①已知，求的解析式（答：）；
②已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= __（答：）。
8．反函数：
（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有
有反函数；周期函数一定不存在反函数。
如函数
在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、
B、
C、
D、
（答：D）
（2）求反函数的步骤：①反求
；②互换 、
；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数
的反函数不是
，而是
。
如设
。求
的反函数
（答：
）．
（3）反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。
如单调递增函数
满足条件
= x ，其中
≠ 0 ，若的反函数
的定义域为
，则的定义域是____________（答：[4,7]）。
②函数
的图象与其反函数
的图象关于直线
对称，注意函数的图象与
的图象相同。
如（1）已知函数的图象过点(1,1),那么
的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；（2）已知函数
，若函数
与
的图象关于直线
对称，求
的值（答：
）；
③
。
如（1）已知函数
，则方程
的解
______（答：1）；（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数
，f (4)＝0，则
＝ （答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。
如已知
是
上的增函数，点
在它的图象上，
是它的反函数，那么不等式
的解集为________（答：（2,8））；
⑤设的定义域为A，值域为B，则有
，
，但
。
9．函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。
如若函数
，
为奇函数，其中
，则
的值是 （答：0）；
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：
如判断函数
的奇偶性____（答：奇函数）。
②利用函数奇偶性定义的等价形式：
或
（
）。
如判断
的奇偶性___。（答：偶函数）
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。
（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。
③若为偶函数，则
。
如若定义在R上的偶函数在
上是减函数，且
=2，则不等式
的解集为______。（答：
）
④若奇函数定义域中含有0，则必有
。故是
为奇函数的既不充分也不必要条件。
如若
为奇函数，则实数＝____（答：1）。
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。
如设是定义域为R的任一函数， 
，
。①判断
与
的奇偶性； ②若将函数
，表示成一个奇函数
和一个偶函数
之和，则＝____（答：①为偶函数，为奇函数；②＝
）
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。
⑦既奇又偶函数有无穷多个（
，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。
