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一、基本初等函数 1、幂函数 一般地，函数 y = x^a (a 为常数，a∈Q) 叫做幂函数 . 幂函数 y = x^a (a∈Q) 的性质： ① 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1,1）. ② 若 a > 0 , 幂函数图象都经过点 （0 , 0）和（1 ，1）在第一象限内递增； 若 a < 0 , 幂函数图象只经过点 （1,1），在第一象限内递减 . ③ 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限； 如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 . ④ 画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在根据函数的奇偶性完成整个图象 . ⑤ 常见幂函数的图象  常见幂函数的图象 2、指数函数 一般地，函数 y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数，自变量 x 叫指数，a 叫底数 . 指数函数的定义域是 R . 指数运算法则：  指数运算法则 指数函数 y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 的图象 ：  指数函数图象（分两种情况） 指数函数的主要性质： ① 指数函数 y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 定义域为 R ，值域 （0，+∞）； ② 函数 y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上递增，函数 y = a^x ( 0 < x < 1 ) 在 R 上递减 ； ③ 指数函数的图象经过点 （0 , 1）. 3、反函数 一般地，对于函数 y = f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A， 如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y = f(x) , 这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 y = f(x) 的反函数，记作 x = f-1(y) , 习惯上自变量常用 x 来表示，而函数用 y 来表示，所以把它改写为 y = f-1(x) (x∈A) . (1) 反函数的判定： ① 反函数存在的条件是原函数为一一对应函数； ② 定义域上的单调函数必有反函数； ③ 周期函数不存在反函数； ④ 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数 . (2) 反函数的性质： ① 函数 y = f(x) 与 函数 y = f-1(x) 互为反函数 ； 原函数 y = f(x) 和反函数 y = f-1(x) 的图象关于直线 y = x 对称； ② 若点（a , b）在原函数 y = f(x) 上，则点 （b , a）必在其反函数 y = f-1(x) 上； ③ 原函数 y = f(x) 的定义域是它反函数 y = f-1(x) 的值域； 原函数 y = f(x) 的值域是它反函数 y = f-1(x) 的定义域， ④ 原函数与反函数具有对应相同的单调性； ⑤ 奇函数的反函数还是奇函数 . (3) 求反函数的步骤： ① 用 y 表示 x ，即先求出 x = f-1(y) ； ② x , y 互换，即写出 y = f-1(x)； ③ 确定反函数的定义域 . 注： 若函数 f(ax + b) 存在反函数，则其反函数为 y = 1/a [ f-1(x) - b ] , 而不是 y = f-1(ax + b) , 函数 y = f-1(ax + b) 是 y = 1/a [ f(x) - b ] 的反函数 . 4、对数函数 一般地，对数函数  对数函数 就是指数函数  指数函数 的反函数 . 对数函数  的性质： ① 对数函数 y = logax 的图象都在 y 轴的右侧，定义域（0，+∞），值域 R ； ② 对数函数 y = logax 的图象都经过点 （1 , 0）； ③ 对数函数 y = logax （a > 1）: 当 x > 1 时，y > 0 ; 当 0 < x < 1 时，y < 0 ; 对数函数 y = logax （0 < a < 1）: 当 x > 1 时，y < 0 ; 当 0 < x < 1 时，y > 0 . ④ 对数函数 y = logax （a > 1）在 （0，+∞）上是增函数， 对数函数 y = logax （0 < a < 1）在 （0，+∞）上是减函数 . 二、习题检测 【习题1】用定义证明：函数 f(x) = x + 1/x 在 x∈[1 , +∞) 上是增函数 . 【解析】  【习题2】已知函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 在区间 [0 , 1] 有最大值 2，求实数 a 的值 . 【解析】 解：函数 f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 的对称轴为 x = a , ① 当 a < 0 时， [0 , 1] 是函数 f(x) 的递减区间，f(x) max = f(0) = 1 -a = 2 , 解得 a = -1 ; ② 当 a > 1 时， [0 , 1] 是函数 f(x) 的递增区间，f(x) max = f(1) = a = 2 , 解得 a = 2 ; ③ 当 0 ≤ a ≤ 1 时，  综上所述，a = -1 或 2 . 【习题3】已知 2^x ≤ 256 , log2x ≥ 1/2 , 求函数  的最大值和最小值 . 【解析】  【习题4】已知 a > 0 且 a ≠ 1 , 求使方程  有解时的 k 的取值范围 . 【解析】 ∴ 0 < k < 1 或 k < -1 . 【习题5】某商品进货单价为 40 元，若销售价为 50 元，可卖出 50 个，如果销售单价每涨 1 元，销售量就减少 1 个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少元 . 【解析】 解：设最佳售价为 （50 + x ) 元，最大利润为 y 元， y = (50 + x)(50 - x) - (50 -x)×40 = -x^2 + 40x + 500 当 x = 20 时，y 取得最大值， ∴ 应定价为 70 元 . |
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