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2014-02-22 17:21:08 归档在 我的博文 | 浏览 97 次 | 评论 0 条 一、二次函数常以集合为载体，考查二次方程的解集、有关二次函数的定义域、值域等． 例：若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解 (1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x，∴∴ 因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 分析：二次函数、二次方程与二次不等式它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是命题的热点． 二、幂函数重点在其定义和性质的应用。 例：已知幂函数f(x)的图象过点(，2)，幂函数g(x)的图象过点. (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)． 解 (1)设f(x)＝xα，∵其图象过点(，2)，故2＝()α， 解得α＝2，∴f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ，∵其图象过点， ∴＝2β，解得β＝－2， ∴g(x)＝x－2. 由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； ②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)． 分析：求幂函数解析式的步骤：(1)设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)；(2)根据已知条件求出α的值；(3)写出幂函数的解析式． 三、指数函数常图象、性质和恒过定点问题为重点．考查指数函数与其它基本初等函数图象的交点和方程的解之间的关系问题． 例：设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解 令t＝ax(a＞0且a≠1)， 则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)． ①当0＜a＜1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈， 此时f(t)在上为增函数． 所以f(t)max＝f＝2－2＝14. 所以2＝16，所以a＝－或a＝. 又因为a＞0，所以a＝. ②当a＞1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈， 此时f(t)在上是增函数． 所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3(a＝－5舍去)． 综上得a＝或3. 分析：指数函数作为中学阶段的基本函数，其图象和性质是重要的考查热点．其中利用数形结合思想判断方程解的个数、与不等式相结合考查代数式的最值或参数的取值范围等是重点 四、对数函数重点内容是函数的图象、性质和恒过定点问题．多以比较大小、求对数函数在给定区间上的最值或值域等形式的题型出现，特别是对数函数的单调性、有关对数函数图象的交点或方程的解(或个数)问题也是出考题的重要地方． 例：已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)若a>1时，求使f(x)>0的x的解集． 解 (1)由于f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)， 则解得－1<x<1. 故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}． (2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}， 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． (3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0?>1，解得0<x<1. 所以使f(x)>0的x的解集是{x|0<x<1}. 分析：对数函数的题型主要有比较函数值的大小，求函数定义域、值域，求函数最值，解不等式等． |
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