数学高考常见递推数列解题策略 20120502

数学高考常见递推数列解题策略 上 日期：2012-04-25 作者：朱兆和 来源：新民晚报

数列是高中数学中的一个重要知识点，也是高考中的重点内容之一，考纲中对于递推数列的要求则是达到了探究性理解水平。 　　递推数列一般指根据数列中项与它的前一项（或前相邻几项）之间的关系来确定的数列，这个关系式也称为递推公式。广言之，根据数列的前几项，利用相关关系式（项与项之间关系、项与前n项和关系等）确定的数列皆为递推数列。我们所熟悉的等差数列、等比数列可以说是最简单的递推数列。等差数列的递推表示：

格致中学 数学高级教师 朱兆和

2012-05-02 新民晚报
数学高考常见递推数列解题策略 下
简单混合型

　　由数列 $中的项an与其前n项和Sn的关系式所确定的递推数列称为混合型递推关系。这种递推数列常用的解题方法是利用Sn-Sn- 1=an(n≥2)化“混合型”为“单一型”。

　　【例5】数列 $中，a1=2，且an=Sn-1(n≥2,n∈N)，求数列 $的通项an。

　　解法一：因为an=Sn-1(n≥2)，则an-1=Sn-2(n≥3)。两式相减得：an-an- 1=an-1，所以an=2an-1(n≥3)，由a1=2，得a2=S1=2。则数列 $从第二项起成等比数列，则n≥2时an=2n-1。a1=2不满足此式，所以an=2n=1 2 n-1n≥2。

　　解法二：因为an=Sn-Sn-1(n≥2)，所以Sn-Sn-1=Sn-1→Sn=2Sn-1(n≥2)。又S1=2，所以数列 $是以S1=2为首项，2为公比的等比数列。所以Sn=2·2n-1=2n。当n≥2时an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，a1=2不满足此式，所以an=2n=1 2 n-1n≥2。

　　【例6】数列 $前n项和Sn=4-an-1 2n-2.（1）求an+1与an的关系；（2）求通项公式an。

　　解：（1）由Sn=4-an-12n-2得：Sn+1=4-an+1-1 2n-1于是

　　Sn+1-Sn=(an-an+1)+(12n-2-12n-1)，所以an+1=an-an+1+1 2n-1→an+1=12an+1 2 n。

　　（2）上式两边同乘以2n+1得：2n+1an+1=2nan+2，令bn=2nan，则bn+1=bn+2，由a1=S1=4-a1-1 21-2→a1=1。则b1=2，于是数列 $是以2为首项，2为公差的等差数列，所以bn=2+2(n-1)=2n→an=n 2n-1。

　　【例7】设数列 $的前n项和为Sn，a1=a,an+1=Sn+3n（n∈N*）。若数列 $是单调递增数列，求首项a的取值范围。

　　解：由an+1=Sn+3n得，Sn+1-Sn=Sn+3n→Sn+1=2Sn+3n→Sn+1-3n+1=2(Sn3n)，所以Sn-3n=(S1-3)×2n-1，又S1=a1=a，则Sn=3n+(a-3)×2n-1。当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2×3n-1+(a-3)×2n-2，a1=a不满足此式。则an=a n=12×3 n-1+(a-3)×2n-2n≥2，当n≥2时an+1-an=2n-2×[12·(32)n2+a-3]，若 $是单调递增数列，则an+1>an，所以2n-2×[12·(32)n-2+a-3]>0对于n≥2恒成立，即12·(32)n2+a-3>0对于n≥2恒成立，而f(n)=12·(32)n-2+a-3是单调递增，所以f(2)>0即可，即a>-9。又a2=a+3>a=a1，综上知a的取值范围为(-9,+∞)。

　　递推数列的形式很多，一般地都可以通过适当的转化化归为等差、等比数列来进行求解。对于某些特殊的递推数列虽然从形式上看似难以转化成等差、等比数列，但可以通过递推公式求出数列的前几项归纳出通项公式后再证明即可。

　　格致中学 数学高级教师 朱兆和