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数学：中考第二轮复习——几何动态问题 一、学习目标： 了解几何动态问题的特点，学会分析变量与其他量之间的内在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法． 二、考点分析： 近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容，有点动、线动、图形运动等类型，呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性． 知识梳理 几何动态问题是指：在图形中，当某一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题．它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定，变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系．几何动态问题关心“不变量”，所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化的方法．当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时，常建立方程模型求解．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法． 典型例题 知识点一：动点问题 例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，AB＝
思路分析： 1）题意分析：本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等．
解答过程：D 解题后的思考：本题中有两个动点，在允许的范围内某一时刻四边形ANMD是固定不动的，可用含t的式子表示出面积y，再根据y与t之间的关系式确定函数图象．
直线FE交AB的延长线于G．过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N．设HM＝x，矩形AMHN的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
思路分析： 1）题意分析：本题通过点H的运动变化，综合考查四边形、线段的比、二次函数等知识． 2）解题思路：解答本题的关键是用含x的式子表示出AM，而AM＝AB＋BM＝4＋BM．BM又可看作是BG与MG的差，运用△CEF和△BEG的关系可求出BE和BG的长，运用△MHG和△BEG的关系可表示出MG．
（1）求S△ABC； （2）证明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．
思路分析： 1）题意分析：本题中动点P的位置没有给出来，根据点P的坐标特征，它应该在一条直线上，这条直线与y轴平行，在y轴的右侧，到y轴的距离是1．点P的位置随a的变化而在直线x＝1上运动． 2）解题思路：（1）因为△ABC为等腰直角三角形，所以只要求出AB即可．又因为A、B两点是已知直线与x轴、y轴的交点，所以两点坐标可求，这样OA、OB的长可求，在Rt△OAB中，利用勾股定理可求得AB．（2）求△BOP的面积可以以OB为底，点P到y轴的距离为高．底边OB不变，高为点P的横坐标1，所以S△BOP为常数．（3）注意满足条件的点P可能在第四象限，也可能在第一象限．
解题后的思考：求△ABC的面积实质是求它的两条直角边长，本题的（1）和（2）问比较容易，（3）问难度稍微大一些，应注意分情况讨论． 小结：解答动点问题要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表示出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识求解． 知识点二：动线问题 例4. 小明在研究垂直于直径的弦的性质的过程中（如图所示，直径AB⊥弦CD于E），设AE＝x，BE＝y，他用含x、y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x、y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式__________．
思路分析： 1）题意分析：关于x、y的不等式是通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系得出的，解本题的关键是找出AB与CD的某种数量关系．
解题后的思考：在这个问题中，弦CD是变化的，直径AB（即x＋y）是不变的，弦CD无论怎样变化都不会超过直径，正是根据这一点确定了本题的不等关系式． 例5. 如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d． （1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论． （2）现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．
思路分析： 1）题意分析：本题是线动平移问题，问题的结论具有开放性，需要学生有一定的类比能力和绘图能力． 2）解题思路：解答本题时可以从特殊位置开始，比如当直线l过点A时，找出a、b、c、d之间的关系式，再把它进行推广． 解答过程：（1）a＋c＝b＋d．证明：如图①所示，连结AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO1为点O到l的距离，∴OO1为直角梯形BB1D1D的中位线，∴2OO1＝DD1＋BB1＝b＋d；同理：2OO1＝AA1＋CC1＝a＋c．∴a＋c＝b＋d．
（2）不一定成立．分别有以下情况：直线l过A点时，c＝b＋d；如图②所示，直线l过A点与B点之间时，c－a＝b＋d；直线l过B点时，c－a＝d；直线l过B点与D点之间时，a－c＝b－d；直线l过D点时，a－c＝b；直线l过C点与D点之间时，a－c＝b＋d；直线l过C点时，a＝b＋d；直线l过C点上方时，a＋c＝b＋d． 解题后的思考：在本题中，直线l做上下平移运动，直线l的位置变化引起a、b、c、d的变化，不变的是它们所在图形的中位线重叠，通过这一不变性找出a、b、c、d之间的关系式． 小结：线动问题的基本特征是：在一个运动变化过程中，某些直线或线段保持一种位置关系不变，如垂直、平行，而一些线段的长度发生变化．这类问题通常用直角三角形、四边形、全等形、相似形等知识建立线段之间的数量关系，从而解决问题． 知识点三：图形运动问题 例6. 如图所示，⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为
思路分析： 1）题意分析：这两个圆是等圆，只能形成外切，但应注意外切有两种状态． 2）解题思路：相切的两种情况是：点A在点B左边时，这两个圆各移动了
解题后的思考：本题有两种解题策略：①确定两圆相切时⊙A和⊙B的移动距离，再求运动时间；②设⊙A运动t秒时，两圆相切．点A和点B重合以前，⊙A和⊙B相切一次，此时AB＝4－2t－2t＝4－4t；点A和点B重合以后，⊙A和⊙B相切一次，此时AB＝2t＋2t－4＝4t－4．两圆相切时AB＝2，即4－4t＝2
例7. 如图①所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S’表示矩形NFQC的面积． （1）S与S’相等吗？请说明理由． （2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？ （3）如图②所示，连结BE，当AE为何值时，△ABE是等腰三角形．
思路分析： 1）题意分析：本题的运动过程比较简单，矩形EFGH沿AC平移，考查的知识点有：矩形、平移、函数、等腰三角形等． 2）解题思路：（1）S与S’的关系可通过矩形EFGH中各三角形面积的和差关系确定；（2）在△EPC和△CGM中用含x的式子表示出PC和CM，S＝PC·CM，注意AE＝CG可由平移的性质得出；（3）注意△ABE是等腰三角形可能有多种情况． 解答过程：（1）相等．理由是：∵四边形ABCD、EFGH是矩形，∴S△EGH＝S△EGF，S△ECN＝S△ECP，S△CGQ＝S△CGM，∴S△EGH－S△ECP－S△CGM＝S△EGF－S△ECN－S△CGQ，即：S＝S’．
解题后的思考：函数是刻画图形运动问题的最佳数学模型，解决这类问题时，要从观察入手，抓住图形运动时各量之间的关系，避免找不准图形运动过程中的关键图形而导致出错． 小结：图形运动问题一般与图形变换结合，图形在运动过程中只是位置发生变化，大小、形状一般不变．所以解答这类问题往往可运用平移、旋转、对称、平行、全等、等腰三角形等知识． 提分技巧 解答几何动态问题大致可分为三步：（1）审清题意，明确研究对象．（2）明确运动过程，抓住关键时刻的动点，如起点，终点．（3）将运动元素看作静止元素，运用数学知识解决问题． 同步练习（答题时间：60分钟） 一、选择题． 1. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°．动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝100°，设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
2. 如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C＝∠F＝90°，AB＝2、DE＝4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿AE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B、D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则下列能准确反映y与x之间对应关系的图象是（ ）
二、填空题． 3. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM＝1，N为对角线AC上任意一点，则DN＋MN的最小值为__________．
*4. 锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x＝__________时，公共部分面积y最大，y最大值＝__________．
三、解答题． *5. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝ （1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？ （2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
**6、如图（1），在矩形ABCD中，AB＝ （1）t为何值时，四边形APQD为矩形？ （2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是
**7、如图①所示，矩形ABCD中，AB＝ （1）点M在CD上运动的速度为__________cm/s；点M改变速度后的速度为__________cm/s； （2）求y关于运动时间t的函数关系式及P、M相遇的时间，M、Q相遇的时间； （3）求当0≤t≤8时，△PQM的面积S关于运动时间t的函数关系式及当S＝ （4）当PM＝QM时，此时的时间为__________s．
试题答案 一、选择题： 1. A 解析：∵∠BAC＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠PAB＋∠P＝80°，∠ABP＝∠ACQ＝100°．∵∠PAQ＝100°，
6. 解：（1）根据题意，当AP＝DQ时，由AP∥DQ，∠A＝90o，得四边形APQD为矩形．此时，4t＝20－t．解得t＝4（s）．∴t为4 s时，四边形APQD为矩形．（2）当PQ＝4时，⊙P与⊙Q外切．①如果点P在AB上运动，只有当四边形APQD为矩形时，PQ＝4．由（1），得t＝4（s）．②如果点P在BC上运动，此时，t≥5．则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离．③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ＝t，CP＝4t－24．当CQ－CP＝4时，⊙P与⊙Q外切．此时，t－（4t－24）＝4．解得t＝（s）．④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP－CQ＝4时，⊙P与⊙Q外切，此时，
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