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第四讲 从问题的反面考虑 分析问题的方式多种多样，可以从问题的正面考虑，也可以从问题的反面考虑。 例1 从1到1999这1999个自然数中，有多少个数与5678相加时，至少发生一次进位？(《小学生数学报》数学竞赛题) 解：先考虑与5678相加时，一次进位也没有发生过的数。这些数的个位上只能是0或1；十位上只能是0、1或2；百位上只能是0、1、2或3；千位上只能是0、1。共有2×3×4×2＝48(个)，减去多算的“0000”这个数，实际上这样的数只有47个。所以在与5678相加时，至少发生一次进位的数共有1999－47＝1952(个)。 例2 有一个算式：1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋…＋1×2×3×…×8×9。 这个算式的得数能否是某个数的平方？(“华杯赛”试题) 解：平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9，而这个算式前4项的得数是1＋2＋6＋24＝33，后面各项得数的个位数都是0，于是算式得数的个位数是3，所以，算式的得数不可能是某个数的平方。 例3 黑色、黄色、白色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求？(“华杯赛”试题) 解：从最不利的情况考虑，可能取了8根都是同一种颜色，实际上只取出了一双同一种颜色的筷子。这时还剩下另外两种颜色的筷子，当再取3根时，无论如何总会取出2根颜色相同的筷子。所以，至少要取8＋3＝11(根)才能保证达到要求。 例4 一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确得3分；回答完全错误或不回答，得0分。共有300人参加测验，至少有多少人的分数相同？(《小学生数学报》数学竞赛题) 解：根据评分标准可知，最高得分为50分。试算得出，在0分到50分之间，1分、2分、4分、7分、47分、49分这6种分数不可能出现，所以得分只有51－6＝45(种)。300÷45＝6……30，因此，至少有6＋1＝7(人)的得分相同。 练 习 四 1．在1～1999这1999个数中，有多少个数与4567相加时，至少在一个数位上发生过进位？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题) 2．已知A×15×1 3．在1到100之间，与77互质的所有奇数的和是多少？(“华杯赛”试题) 4．志强小学国庆节举办三项游艺活动，每个学生至多参加两项，至少参加一项，那么只要有多少个学生，就能保证至少有两人参加的活动完全相同？(北京市“迎春杯”数学竞赛题) 5．1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5×6这个算式的得数能否是某个数的平方？(“华杯赛”式题) 6．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小是多少？(《小学生数学报》数学竞赛题) 7．设X、Y是选自前50个自然数的两个不同的数。求 8．一个自然数，各个上数字之和是1995，这个自然数最小是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题) 9．布袋里有5种不同颜色的球，每种都有20个，最少取出多少个，才能保证其中一定有3个颜色相同的球？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题) 10．从1、2、3、…99、100中，至少取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题) 11．现在有64个乒乓球、18个乒乓球盒，每个盒子最多可以放6个乒乓球，如果把这些乒乓球全部装入盒内，不许有空盒，那么至少有多少个乒乓球盒里的乒乓球数目相同？(北京市“迎春杯”数学竞赛题) 12．能否在8行8列的方格表(如图)的每一个空格中分别填上1、2、3这三个数中的任一个数，使得每行、每列及对角线AC、BD上各个数的和互不相同？(北京市“迎春杯”数学竞赛题) A B
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从反面考虑
解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。 例1: 某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数？ 分析：最高的得分为50分，最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。 从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了。 解：最高的得分为50分，最低的得分为0分。在从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45（种）。 例2:一支队伍的人数是5的倍数，且超过1000人。若按每排4人编队，则最后差3人；若按每排3人编队，则最后差2人；若按每排2人编队，则最后差1人。问：这支队伍至少有多少人？ 分析：从条件“若按每排4人编队，则最后差3人”的反面来考虑，可理解为“若按每排4人编队，则最后多1人”。同理，按3人、2人排队都可理解为多1人。即总人数被12除余1。这样一来，原题就化为： 一个5的倍数大于1000，且它被12除余1。问：这个数最小是多少？ 解：是5的倍数且除以12余1的最小自然数是25。因为人数超过1000，[3，4，5]=60，所以最少有 25+60×17=1045（人）。 例3:在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1，2，…，8，使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13？ 解：将八边形的8个顶点上的数依次记为a1，a2，a3，…，a8，则有S=a1+a2+a3+…+a8=1+2+3+…+8=36。 假设任意3个相邻顶点上的数都大于13，因为顶点上的数都是整数，所以 a1+a2+a3≥14； a2+a3+a4≥14； …… a7+a8+a1≥14； a8+a1+a2≥14。 将以上 8个不等式相加，得3S≥112，从而 S＞ 37，这与S=36矛盾。故结论是否定的。 例4: 有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否可能是一个平方数？ 解：假设这个数为A，它是自然数a的平方。 因为A的各位数字之和888是3的倍数，所以a也应是3的倍数。于是a的平方是9的倍数，但888不是9的倍数，这样就产生了矛盾，从而A不可能是平方数。 82. 从反面考虑： 1+2+3+......+98+99+100=5050；
所有能被9整除的数字的和：9+18+27+......+90+99=(9+99)×11÷2=594； 所有不能被9整除的数字的和：5050—594=4456. 83. 从反面考虑，先求出1到100里面能被3或7整除的数的个数： 能被3整除的数：100÷3=33......1，共33个； 能被7整除的数：100÷7=14......2，共14个； 能被21整除的数：100÷21=4......16，共4个； 所以，能被3或7整除的数有33+14-4=43个。 不能被3或7整除的数：100-43=57个。 84. 六人的总分92.5×6=555（分） 排第二、第三、第四、第五的四位同学的总分：555-99-76=380（分）， 从反面考虑：欲使第三的同学尽量低分，那么应该使第二、第四、第五这3名同学尽量高分，易知排第二的同学最高排98分， 此时，排第三、第四、第五的三位同学总分为：380-98=282（分）， 由282÷3=94分，可知排第三的同学至少得95分。（理由：由于三人的得分各不相同，所以最高分者必定高于平均分） 总结：这是一道以平均数为背景的最值问题，平均数问题通常是利用平均数与总数之间互相转换来解答。 85. 最不利原则：9+8+7+......+3+2+1=45(次） 注意：这道题与第七讲的例五有所不同，例五问的是“最多要开多少次”，这道题问的是“最多要试验多少次”，以第一条钥匙为例，最多要开10次，要试9次。 86. 9+8+7+6+5+4+3+2=44（次） 上述过程是拿着一条钥匙去试不同的锁，如果先用不同钥匙去试同一把锁，那么得出的算式应为：8+8+7+6+5+4+3+2+1=44（次），答案是一样的。 87. 见后面答案，做这种题目通常都是通过反面考虑比较简便。 88. 题目应改为“李明、刘华、学友三位同学不能同时入选”，从反面考虑：（15×14×13×12×11）÷（1×2×3×4×5）-（12×11）÷2=2937（种） |
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