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计算是孩子学好数学的必备功底。无论是小学还是初中的数学，都离不开计算。但你会发现到四五年级之后，孩子们的计算能力的差距就非常明显了。从四年级开始，很多计算题会要求大家，能简算的要简算。 有些孩子到了五六年级了，按照四则运算规则来，能计算出正确答案，不过不怎么会用简便计算。这种就是平常老师说的，数感不太好。如果你看他做题，普通会比较慢，正确率相对来说要低一些。 之前我们在文章中也多次提到过，看一个小学高年级同学数感怎么样，你让他做几道计算题就能看出端倪。普遍来讲那些数感强的孩子，大多反应比较快，能迅速发现使用哪种简便方法，他们的数学成绩也要比一般的同学要高。 有人说小学阶段有三大玄学：数感、语感和开窍。语感这个和语文英语关系密切一些，一句话读过去，自己就能感觉出有没有毛病。虽然说数学题也需要阅读理解作为基础，但这不是我们今天讨论的范畴。开窍的前提领悟了本质，也不是咱们今天的主题。 我们只讲数感这个听着很玄乎的词。你说我孩子数感差，我应该怎么办呢？其实很难三言两语讲清楚。 所谓数感，如果按照大的分类可分为三个方面。第一个叫计算，第二个叫数论，第三个叫做数学公式。每一个去展开的话那内容就多了。 我们看一道计算题，数感好的孩子和数感不好的孩子呢？做题速度与效率完全不在一个级别上。 计算：0.125×4.3+5.7×1÷8 数感一般小朋友拿到这个题目，根据四则运算的规则直接就动笔算了。先用0.125乘4.3，得到的结果是个四位小数，然后再去加后面的5.7除以8的结果（又是个四位小数），最后求出和，对吧？这个方法错了吗？也不能说错，就是计算量大了点，费时费力一点，相对容易出错，检查验算会麻烦一点。只是如果五六年级的学生还这样做，就有点不大合适了。因为对自己的要求太低了。 如果数感好的孩子，能够马上就看出来这题是可以用简便方法的。其实5.7×1÷8=5.7×0.125，看出来了没有，都有相同的因数0.125，是不是可以提出来？原式就变成： 0.125×4.3+5.7×1÷8 =0.125×4.3+5.7×0.125 =0.125×（4.3+5.7） =0.125×10 =1.25 当然0.125在他眼中他除了是0.125，它还是1/8。后面的1除以8不也是1/8吗？同样是提公因数，思路是一样的，最后约分化简一下。 大家看结果是不是口算就可以搞定？所以你的孩子如果数感没有问题，那他做这道题目一定是又快又对的，可能只需要普通孩子1/5的时间。 虽然九九乘法表大家都背得滚瓜烂熟，但是你会发现，一道简单的计算题，数感好的同学，计算的优势显而易见的。 在数感不错的孩子眼中，计算题中的1/4这个数就代表着0.25，同样0.25这个数就代表着1/4，都成了一种条件反射了。 第二个数感好，叫做数论。 数论是数学中的一个重要分支。它一般以研究整数为主。可能有人会觉得这个数论这个词有点陌生。其实我们从一年级开始就接触过，相信老师也让大家背过。十进制，满十进一，借一当十，这不就是进制吗？个位上的数字是几就代表几，十位上的数字代表这个数字乘10，同理百位上的数字，所代表的就是这个数字乘100，以此类推，这不就是位值原理吗？还有我们平常说的单数双数，它不就是五年级学的奇偶性吗？这也是数论里的知识点。 数论首先它研究数与数之间的关系。第二个研究的是整个算式。比如说一个整数的除法算式，会有余数，这个余数与除数的关系。余数要比除数小？余数和被除数之间的关系。被除数里面是包含了余数的对不对，所以带余除法是不是可以通过变形，变成整除的形式？这些是研究式子之间各个部分之间的关系。 第三个非常关键：数的整除特征。 这是数论的一个非常大的基础。我们常用的一些数的整除判断公式，你知道是怎么推导出来的吗？学习了数论之后，这些你可以自己去推导。而且你会明白为什么有些整除判断公式，可以用于几个不同的数的整除判断。换句话说，一个数的整除判断有非常多，只不过我们平常所使用的，可能是最简单好记的那一种而已。 这里就是研究数与数的关系，说得直白一点就是数的性质。包括奇数、偶数、质数、合数，就是研究这些东西的。 好，我们看一下这道题和数论有关的题。 从1~1000的自然数中，有且仅有三个因数的自然数有多少个？ 以这道题为例，如果说你是没有数论基础的，你的第一反应一定是什么？如果是学渣，估计直接就放弃了。如果有耐心的同学，能想到的一定是枚举。1000以内，就写写看，用短除法分解质因数看看。把符合条件的都罗列出来，然后再做个统计，最终得出正确答案。只不过用这种方法，多久才能做得完？如果这个数再大一些，换成一万或是十万呢？这种方法的可行性还有多大？ 所以你知道你的时间花到哪去了吧？为什么说数感好的孩子做题又快又正确？原因就在这里。只要有一定的数论基础，学过完全平方数，那你看到三个因数，你马上想到奇数个因数，首先这些数一定是完全平方数。这样我们的范围一下子就缩小很多。接着我们再想一想，所有的完全平方数都是有且仅有三个因数吗？很明显不是。我们随便举一个反例16，它虽然是4的平方，但它的因数个数就不是3个，对不对？那么哪些数符合呢？1的平方不行，2的平方等于4，可以；3的平方等于9也可以，5的平方等于25，这个可以。6的平方等于36不行，7的平方等于49也行，写到这里，质数、合数学得不错的的孩子马上就能反应过来了。哦，只要是质数的完全平方，就一定是有且仅有三个因数。 我们可以估算一下，哪个自然数的平方比1000大，且又最接1000？是不是只要找出，比这个数小的所有质数不就行了吗？这里就不列举了。你轻而易举就把这题搞定了，你速度比别人快了好多，而且正确率还高。 当然数论远不止这些内容，比如求因数个数，一个自然数比较小，比如24，我们找它的因数，可以把它所有的因数枚举出来，但如果它变成了3600这么大的数，你知道它有多少个因数吗？如何快速快速准确地求出来呢？学了基础数论的孩子来说，这个就是个送分题，当然我更希望大家在使用公式前，自己把这个过程也去推导一遍。 这种知识点正向运用的题目太简单，一般很少遇到，但它的逆运用就比较普遍了。比如说让你求一个小于100，且恰好有8个因数的自然数是多少？你会怎么求？欢迎大家在评论区留下你的解题思路，大家一起交流。 第三个数感的包含的内容：数学公式。 小学阶段学过很多数学公式，我们要知道它的一般形式。以及它的简单变形。比如说简便计算中运用最多的，乘法分配律及其它的逆运用。 你数学公式一定要知道，在理解的基础上学会变通，把公式记住。比如说到五六年级之后，就不要还单纯的以为，计算题中的公因数只能是整数，它可以是小数、分数，还有可能是一个算式，总之它们只要是完全一样的，就可以提出来，从而实现简便计算。 你的数感组成部分，其实就是这三块，你仔细想想，是不是这三块，决定了你孩子做题的快慢？决定了你孩子的做题方法，和所谓数感好的孩子的做题方法的巧妙程度不一样？ 那么问题来了，我应该怎么培养，可概括为三个字：练、学、记。 你计算怎么培养？练呗，该练要练，多练。为了简单，高效，先练整数的综合算式的简便计算。四年级就有大量这样的题目，大家不要小瞧整数的简便计算，它也是数的整除、通分、化简、最大公因数、最小公倍数，分数小数混合计算的基础。最直接的数感养成方式，所以说这个重要性相信不用我多说吧？ 当然这个练习不是三分钟热度，不在于一天练多少，而在于一个长期的坚持，每天几题就行了。前提一定要保证对，然后再练习速度。练的过程中必要的步骤不能少，这是个习惯问题，也是为做完之后检查作准备，没有正确率一切都是空谈。坚持两个月左右就能明显看到效果。如果这一点点毅力都没有，当我没说过。 整数的计算，也可以用24点速算游戏来练习，在放松的过程中得到进步。这个游戏适合二到六年级的孩子，具体玩法大家可以网上搜索，会有详细的介绍。数感好的三年 级孩子赢六年级孩子一点不奇怪。 第二个叫数论，在课内他大面积的出现在五年级的学习中。 实际上进制、位值原理、奇数、偶数、质数、合数、公因数公倍数、完全平方数、整除特征，短除模型、因数三定律、不定方程、同余问题、余数的三大性质等等这一系列，就是小学数论的整个系统的学习。这也是为什么很多学思维的孩子到五年级开始，你会发现他一下子就上来了，为什么？因为之前数论基础的一个系统的积累。 有条件的同学，学习一点数论方面的知识。如果是走竞赛路线的孩子，数论是必备的知识点。 有兴趣的朋友可以去看看我们基础数论专栏。里面的40余篇文章全部都与数论相关，都是以通俗易懂的语言分析，加上一些相关的例题，让每一个五年级以上的孩子都能看得懂。该专栏已经完结，以后还会不定期地往里添加相关文章。
第三点，多记。 比如100以内的质数表。建议大家自己推导一遍。如果时间充裕的话背一下30以内的数的平方。有人会说这内容太多了吧，其实1~10的平方，我们在背九九乘法表的时候就已经背过了，要背的也不多。个人觉得这个，比某些老师让大家背1~20倍的π（π取3.14）有用得多。 记一些用得非常多的数的拆分。 比如：1001=7×11×13；1000=125×8；100=25×4；111=3×37。 学习是为了自己，千万不要去迷恋那些所谓的秒杀技巧。好了，方法已经告诉你了，接下来的事情就由大家自己去完成了，加油。 |
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