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提到小学奥数相信大多数人都不陌生，都是知道它比课内的知识要难，属于深度拓展部分。不少考试的附加题，可能就是源自于简单的奥数题，大多数孩子这类题是拿不到满分的。 一般来说小学奥数是有六大模块。其中有一个模块，大家一直在用相关的知识，但课本上只是一带而过。包括不少初中生也没怎么接触过。它就是数论，那么小学奥数中的数论到底学什么？它虽然是基础数论知识，但对于计算还是有相当大的帮助。其中的位值原理与进制，就是我们平常计算的基石。为什么我们在平常的计算中，都是满十进一，借一当十？原因就在于我们使用的是十进制。那你知道为什么我们说的数字，是0~9这十个数字吗？其实也是因数十进制的原因。 假如说换成了七进制，那你知道它各个数位上的数字，所代表的值是多少吗？而且这些数位上的数字最小是多少，最大是多少吗？当然学了进制与位值原理，随便是哪个进制，一点就通。这里面学的是一般形式。当你会一般形式了，特殊情况，直接往里面代入就行了。其实说白了，我们用得最多的十进制，只不过是众多进制中，一种大家使用频率最高的一种进制而已。
大家在做整数的除法时，是不是有一条规定：余数最小可以是0，但不能大于除数。想像一下，这个和进制是否也能建立联系？此时的除数是不是相当于进制？余数是不是相当末位数字？无论何种进制下，数位上的数字必定要比进制要小，最大是该进制减一。比如说是N进制，那么数位上的数字最小是0（当然最高位不能为0），数位上最大的数字是（N-1)。
像校内在学习分数计算的时候，约分要用到最大公约数。通分要求最小公倍数，这些其实都是属于数论的内容。又比如奇偶性，课本上也学了，但犹如蜻蜓点水一样，一带而过，相关的练习不多，也出得简单。其实奇偶性的作用还是挺大的，尤其是在分类讨论，排除推理过程中，用得非常多。可有效减少大家的运算量，少做无用功。 数论模块的学习，大致也分为了四个板块：整除、余数、质数、合数、约数、倍数。 数论原理，第一个模块整除。它会把整除的性质，和一些常见的数的整除判定进行讲解。利用位值原理进行推导。比如说像尾数系、和系、差系、分段求和、分段做差，以及一些杂合系的整除判断等等。这些推导过程具有一般性，比单纯的用数字去验证更具说服力。大多数没接触过数论知识的同学，只是记住结论，但不知道那些整除判断，为什么是那样。而学习数论知识，就是让大家知其然知其所以然。 这部分内容，是后面学习余数、质数、合数、因数、倍数学习的基础。虽然难度不大，但是特别的重要。
第二模块是余数的学习。它包括了带有余数的除法算式以及应用。余数的三大定理（余数具有可加性；可减性；以及可乘性，当然由可乘性也能推导出，余数具有可乘方性），同余问题和同余定理，物不知数和中国剩余定理等等，在校内带余除法的基础上，会进行更加深入的讲解。 第三模块质、合、约、倍。包括了质数与合数，因数与倍数，公因数与公倍数、最大公因数与最小公倍数。完全平方数的性质、特征和应用等等。 这部分也是和校内数学联系最紧密的部分，我们前面说的分数的应用。用到的知识其实都在这里了。分解质因数，求最大公因数，最小公倍数。另外学习数论过程中，对于大于100的四位自然数怎么判断它是质数还是合数，也是需要掌握的。这个在求两个较大自然数的最大公因数时用得上。 这里给大家推荐一本《质数的孤独》，有兴趣的朋友可以去读一读。 分解质因数后，大家记得将质因数进行由小到大排序，并写成质因数指数相乘的形式。求最大公因数、最小公倍数时，一目了然。而且求因数个数时，也是可以口算。它所使用的就是乘法原理：步步相乘。 因为一个数的因数，其实是由每个质因数的选择个数来决定的。有几个不同的质因数，那么就要分几步。有一点特别要注意，因为不选择也是一种选择。所以因数个数是：质因数的各个指数加1连乘。比如12分解质因数是：2的2次方乘3。它包含质因数2和3，所以需要两步完成，2有（2+1)=3种选择，质因数3的指数是1，所以它有1+1=2种选择。因此12的因数个数有：（2+1）*（1+1)=3*2=6个。 像这种数比较小，因数个数不多的数，好像看不出因数个数定理有什么作用？和枚举法相比，也没看出有什么优势。但如果数比较大，比如问你36000有多少个因数？那这个优势可就大了。用枚举法，做这一题会累趴下，关键很容易出错。掌握方法1分钟不到，可出完全正确答案。不仅快而且准确。 因数个数定理，也可以作为我们的一种工具来使用。
当然我们学习知识，正向的要学会并使用，当然逆运用也要学会灵活运用 ，这才是真正掌握。 第四模块是数论原理。像位值原理，进制问题等等都会在这个模块进行讲解，它也是其他模块学习的理论基础。这个就好比学习乘法与除法的：九九乘法表，一样重要。 有人说数论学得好的孩子，数学成绩不一定好，但数学学得好的孩子，数论方面一定学得扎实。数论知识也是竞赛的必备知识，数论题往往题目非常短，题干是数字非常少，甚至没有具体的数，但又要大家去求具体的数。不少同学不知道，从何下手，而且往往需要分类讨论，这也是很多同学害怕的原因之一。 如果你觉得图文理解起来比较费劲，也可以购买视频版的，共24讲，其中能掌握前16讲，已经能满足绝大多数初三以内学生的要求了。有需要的可以私信我。 你家孩子有没有学过一些基础的数论知识？你认为这部分知识有用吗？欢迎大家在评论中各抒己见。 |
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