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小学奥数难题汇编5
1、 飞镖游戏
由于飞镖游戏日渐流行，一个飞镖团体决定把称作“501分”的比赛稍作修改，使得它更具有挑战性。新的规定是每一回合的总分必须是质数才能列入记录。（用三元一次方程）
每一回合，每一位参加比赛的人掷3支飞镖，每支飞镖可能得到的分数是1、2、3、…20，或是这些分数的2倍或3倍。如果飞镖射中“内圈”，可以得到25分，如果射中靶心，则得50分。如果飞镖没有射到靶盘，就算得0分。 例如某一回合的比赛，3支飞镖射中3倍20、2倍12和5分，那么总分就是89，是个质数，因此可以列入记录。如果每支飞镖都射中3倍30，虽然总分高达180，但因不是质数，所以不算。 3种可被列入记录的最高总分各是多少？ 要想达到501分，最少要经过几个回合？ 如果比赛必须掷出“2倍”分数后才能结束，那么参加比赛的人最少需投掷几支飞镖才可以获胜？ 这个游戏的另一种玩法，就是从501分开始倒推，与每一回合总分的差是质数时才列入记录(此时每一回合的总分不必是质数)。 请证明，在第九支飞镖射中一个2倍分数后，就可使差为0。 分析与解答： 3种最高的分数是： 167＝3倍20＋3倍19+靶心 157=靶心+靶心+3倍19 151＝3倍19＋3倍18+2倍20 因为501=3×167，因此最少只需3个回合就可以得到501分，当然玩的人必须是位高手。 如果飞镖射中2倍分数区后才能结束比赛，那么这一回合就不可能得到167分，因此就需要进行第五回合。如果第四回合的分数是质数，那么它一定是奇数，这样 第五回合的得分也必须是奇数；又由于在第五回合必须得一个2倍分数才能结束，因此第五回合至少要掷2支飞镖。以14支飞镖得到501分的方法之一如下： 第一回合：3倍20＋3倍19+靶心 167 第二回合：3倍20＋3倍19+靶心 167 第三回合：3倍20＋3倍20＋7 127 第四回合：20＋15＋2 37 用9支飞镖使分数差为0，且每一回合总分的差均为质数 2、步步为营的战略
由图中的左上角开始，走过一个方格到达1，再走两个方格到达2，然后再走3个方格到达3，以此类推。行进过程中不得重复经过某一方格，最后要到达右下角的8。
只能直走或横走，不得沿对角线走。 请找出这样的路线。 分析与解答： 上面的答案是当初设计题目时的依据。显然用这些数字还可以排出许多其他的路线。利用不同方格的数字可以找到其他不同的答案，只不过这些答案绝非事先安排好的！ 解这类问题的重要步骤，就是要以充分的耐心，由路线两端有系统地推敲。要自行设计出一个类似的问题并不困难，而且很值得一试。 有一坐中古世纪的修道院围绕着正方形的中庭，中庭里有一口井，僧侣们都是从这口井中汲取饮用水。这口井的位置与3个相邻顶点的距离分别是30m、40m、50m。请问这个中庭有多大？
分析与解答： 中庭的边长大约是56.54m。 这个题目其实很简单，利用勾股定理、代数运算，再加上一个计算器，就能轻易地得出答案。由图可知： x2＋(a-y)2＝900 (1) (a-x)2＋y2＝2 50 (2) x2＋y2＝1 600 (3) (1)-(3)得 a2-2ay＋700＝0 (4) (2)-(3)得 a2-2ax-900＝0 (5) 把由第(4)式和第(5)式所得的x、y代入第(3)式： a4-3 400a2+650 000=0 再把这个式子当作a2的二次方程求解。 4、巧用数字来填空
请找出下列数列的规律，把数字填满，并写出16之后的下一个数字是多少？ (1)1，-，7，-，-，16 (2)1，-，-， 7，-，16 (3) 1，-，-，-，7，16 还有哪些规则，可以在1与16之间填入4个数字？ 分析与解答： 理论上会有无限多种可能，这个题目的目的是要强调有许多方式可以完成一个数列。 (1)1，4，7，10，13，16，19。每次加3。 (2)1，2，4，7，11，16，22。每次加的数比上次多1。 (3)1，6，3，10，7，16，13。前后项的差有两种：加上5、7、9、…，与减去3。 1与16的差是15，因此有一种产生数列的方法是找到某种形式的5个差，其差的总和为15。例如，1，6，1，6，1的总和是15，故可产生如下的数列： 1，2，8，9，15，16 再如，7，-3，7，-3，7的总和也是15，因此可以产生下面的数列： 1，8，5，12，9，16。 5、 红宝石婚纪念日
为了庆祝红宝石婚纪念日，威廉和露西与全家人一起举行聚会。威廉回想起这段漫长的婚姻生活，追忆当年在学校因与“年轻的露西”同桌而坠入情网。环顾周围的家人，威廉又想到不知等到金婚纪念时，所有的家人是否还能聚在一起。就在这样的思绪起伏中，他突然发现他的年龄的平方与露西年龄平方的差，正好等于他们子女数目的平方。
请问当年威廉和露西结婚时，两人各是几岁？他们共有几个子女？ 在西方，结婚40周年纪念日被称为红宝石婚纪念日。另外，在英国，法定结婚年龄为16岁。 分析与解答：
这个问题的数学基础是毕氏三元数组。由于是红宝石婚，所以威廉和露西的年纪应该在56岁以上。而且他们曾在学校同桌，两人的年纪差应该不会超过1岁。因此，综合已知的资料，可以说题目是要找出两个相差1的数字，其平方差是另一个数字的平方。 现在试试 612-602=112 852-842＝132 两组答案看来都有可能。不过，第二组答案应该剔除，因为根据这组答案，威廉和露西40多岁结婚之后生了13个小孩。因此，威廉和“年轻的露西”结婚时，两人应为21岁和20岁，他们生育了11个子女。
6、巧记π的近似值
Sir，I bear a rhyme excelling
In mystic force and magic spelling Celestial sprites elucidate All my own striving can’t relate. 这两段韵文都是为了相同的目的而作的。你知道究竟其目的何在？ 分析与解答：
这两段韵文都可以帮助记忆π的近似值。计算一下每个单词的字母数目… π＝3.141 592 653 589 793 238 46… 7、小矮人与巨人之战
这是两个人玩的游戏。可以在纸上画出如下图的棋盘，也可以在木板上钻孔，用图钉作棋子，或是在木板上挖出凹洞，用小石头作棋子。
用3个棋子代表小矮人(D)，还要一个不同颜色或大小的棋子代表巨人(G)。开始时，各棋子的位置如图所示。小矮人先走，可以向下或向旁边移动到任何空 位。例如在开局时，最左边的小矮人可以向下移动到2号圆圈，或斜向移动到1号圆圈。巨人的走法与小矮人相似，不过它还可以往上走。 这个游戏的目标是要使小矮人包围巨人，让它无法移动。 想想看，是否有致胜的策略？ 如果你将开局时棋子的位置作不同的安排，结果会如何？ 分析与解答：
由图上所示的位置开始，小矮人必须将巨人困在5号圆圈才能获胜，但只要走错一步，巨人就能闪身而过。 如果由其他位置开始，对巨人会比较有利。例如，小矮人的位置仍然如图所示，但巨人却从1号圆圈开始，那么巨人将会获胜。 看看你能否发现从哪些位置开始可以保证小矮人会赢(只考虑正确的走法)，而哪些位置对巨人有利。 8、平方数25的特性 (1)平方数25有种特性，把它的每位数都加 1之后成为36，还是一个平方数。只有一个四位数的平方数具有相同的特性，请问它是多少？ (2)一个二位数ab，它的平方与ba的平方的差也是一个平方数。请问这个数字是多少？ (3)两个平方数的和与另两个平方数和的乘积，一定是两个平方数的和。例如： (12＋22)×(22＋32)＝65＝42＋72 请问这个叙述是否正确？ 分析与解答： (1)2 025＝452 3 136＝562 2 025＋1 111＝3 136，而且45＋11=56 (2)652-562＝332 (3)这个平方数的关系可用下式表示： (a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac+bd)2＋(ad-bc)2 或是 (a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac-bd)2＋(ad＋bc)2 如果你了解复数的观念，那么就可以知道这些等式是由下面的式子推算出来的： (a＋ib)(c+id)＝(ac-bd)＋(ad＋bc)i (a-ib)(c+id)＝(ac＋bd)＋(ad-bc)i
9、 可能性的深入了解 请将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字排列成某种次序，使得：
前两位数可被2整除 前三位数可被3整除 前四位数可被4整除 以此类推，直到9为止。 排成 123 654 987看来好像有希望，因为 12可被 2整除 123可被3整除 1236可被4整除 12 365可被5整除 123 654可被6整除 但可惜，1236 549无法被7整除。再试一次吧！ 分析与解答： 这个题目能使你增进对数字“可除性”(divisibility)的了解。例 如，5一定是在中间位置，因为利用1、2、…9所构成的数字的前五位数，没有其他方式可以被5除尽。因为所有数字的总和是45，所以无论这些数字如何排 列，都可被9除尽。因为前六位数要被6整除，所以前面6位数字的和必须可被3除尽，而且第六位数必须是偶数。同时，还必须使偶数作间隔排列，如此才能被 2、4、6、8所整除。 上述的分析很有帮助，不过要找到能被7整除的数，还是需要试误演算。 唯一的答案是：381 654 729。 但是在这里要提醒你，不要太依赖计算器。因为如果你的计算器只能显示8位数，那么963 258 147看起来就会像是一个答案，因为计算器上会显示出96 325 814可被8整除；但这是不可能的，因为814不能被8整除。 你是否能找出一组数字，当乘上9时，所得的乘积与原来的数字正好顺序相反。
等你找到这组数字所具有的共同形式之后，再试试看你是否能找到乘以4之后会顺序相反的数字。 分析与解答： 如果 abc…k×9＝k…cba，那么很容易就可以看出 a＝1，k＝9，因为任何其他的a都会产生进位，使乘积比原来的数字多一位。 但是19×9≠91，因为个位数9乘上9时会有进8的情形。 考虑1b9×9，显然由于会进位，所以结果不会等于9b1。 再考虑 1bc9×9＝9cb1 可以发现当b＝0，c＝8时，能够符合题目的条件。 1 089×9＝9801 这是四位数中唯一的答案。 接着的3组答案是： 10 989 五位数 109 989 六位数 1 099 989 七位数 此时数字的形式已呼之欲出。八位数的答案则有两种： 10 999 989和10 891089 九位数的答案有： T109 999 989和108 901089 十位数有3种答案： 1 099 999 989 1 089 001 089 1 098 910989 这些数字都是从已知的答案而来，任何位数的数字都可以依照以上的规则找出答案。 乘以4之后会顺序相反的数字，与上述这些数字的关系非常密切。事实上，就是上列数字的两倍。 1 089×2＝2 178 而 2 178×4＝8712 10 989×2＝21 978 而 21 978×4＝87919 以此类推。 11、趣味的井字游戏
这个游戏类似井字游戏，在设计时可以针对各种不同的运算方式，以及不同的难易程度作灵活运用。
如图的这个例子是4×4的数字方阵，其中的16个数字是由A＝(23，42，19，36)与B＝(17，28，5，12)中各挑出一个数字相乘的乘积所构成。由于填入的方式并不规则，因此这是随机的排列。 玩的人轮流从A及B集合中各挑出一个数字，用计算器算出这两个数字的乘积，然后在写有答案的方格上画上记号。先使3个记号连成一直线的人赢。 为了节省重新写上这些数字的时间，可以准备一张画好4×4空格的纸，以○或×的符号标记计算出的乘积的位置。 12、收藏毛毯的木箱
彼得到木材行买合成板，打算做一个长方体的木箱收藏毛毯。如果要切一块完整的合成 板，价钱很贵，但如果买已经裁切下来的剩余材料就很便宜。彼得在剩余材料堆中用心寻找，终于找到3块合成板正好符合他的要求。其中一块正好做箱底与一个长 侧面；另一块裁成两块正好做一个长侧面和一个短侧面；第三块可以做盖子和剩下的一个短侧面。木材行的老板丈量这3块合成板的面积(以便计算价钱)，分别 是：
6048cm2，4563cm2，4995cm2 合成板的厚度不计，请问这个木箱的尺寸是多少？ 分析与解答： 木箱的尺寸可以用试误法求得，也可以通过下列系统的分析求出。 假设木箱尺寸如图所示为a、b、c，并假设3块合成板的面积分别是X、Y和Z， 13、重修一座早已倾颓的古庙
一群历史学家在经过多年的资料收集与研究之后，有意重修一座早已倾颓的古庙。他们知道其中一 个大厅较长的那面墙贴的是橡木壁板，面对房门的墙面挂着来自法国的织锦，地板上则铺着名贵的波斯地毯。他们知道这些装演的设计细节与颜色，也知道橡木壁 板、织锦和地毯的面积分别是648m2、388m2和1296m2。可是他们查遍资料，就是找不到这个大厅的尺寸。你能帮帮他们吗？
分析与解答：
答案为 54m×24m×12m。 假设这个大厅的长、宽、高分别是a、b和c，那么 ac＝648 bc＝288 ab=1296 14、安妮的圣诞礼物
安妮的圣诞礼物是一盒积木。每块积木都是边长5cm的立方体，所有的积木装满一个也是立方体的盒子。就像其他小孩一样，安妮对堆积木很感兴趣。 她把积木倒出来，先搭起一个大的立方体，然后在它的上面再搭了一个较小的立方体，接着又搭了一个更小的立方体。安妮站起来，发现这个塔还是没她高，这令她 有点失望，不过，她因为能把所有的积木都用掉而感到很得意。
这个塔有多高？ 分析与解答： 安妮把堆成一个大立方体的积木，重新堆成3个立方体，唯一可能的情况是，3个立方体的每边分别为5块积木、4块积木和3块积木，装积木的盒子则是每边为6块积木。这是因为 33＋43＋53＝63 没有其他合理的数字能符合这个条件。 因此塔高应该是12块积木的高度，也就是60cm。 15、应付多少钱的邮费？
秘书小姐在下班前为一大堆邮件贴上邮票。她有许多邮票，但是面额只有两种，她不知道是否能正确组合这些邮票而得到应付的邮资。不过经验告诉她，虽然以这些邮票无法组合出39元的邮资，但是却可以组合出其他较高额的邮资。假设邮票的面额都是整数，请问面额可能是多少？
分析与解答： 这个题目与“可能达到的分数”有异曲同工之处。 令 mn-m-n＝39 则 (m-1)(n-1)＝40 所以 (m-1)(n-1)＝1×40或2×20或4×10或5×8故可能的m、n组合为： (m，n)＝(2，41)或(3，21)或(5，11) 或(6，9) 其中(3，21)和(6，9)很显然是不正确的，因为可以组合出39。 然而，无论是以面额2元及41元，或是5元及11元的邮票，在无法组合出的邮资中，金额最高的都是39元。因此这两组答案都是正确的。 16、共有多少个是质数
产生包含1、2、3、…9且每个数字只出现一次的数，是很有趣的一件事。可是由于大多数的计算器只能显示八位数，因此在计算下面这些题目时，恐怕不是光靠按键就可以完成的。
请完成下列计算： 118262＝ 193772＝ 125432= 196292= 156812＝ 231782＝ 180722＝ 290342= 事实上有83个数字的平方包含1、2、3、…9且每个数字只出现一次。如果你会使用电脑，也许你可以设计程序找出它们。 现在试着完成下列计算： 11 1132-2002＝ 31 1112-2002＝ 11 1152-2942＝ 191 1612-188 5602= 用 1、2、3、…9且每个数字只用一次，可以产生362 880个不同的数字，其中有多少个是质数？ 解答与分析： 11 8262＝139 854 276 9 3772＝375 468129 12 5432＝157 326 849 9 6292＝385 297641 15 6812＝245 893 761 23 1782＝537 219684 18 0722＝326 597 184 9 0342＝842 973156 将这些数字平方，在你的计算器上可能只会正确显示出前面七位数。再平方最后两位数，就能得出乘积的最后两位数。 用同样的方法计算平方数的差，或利用a2-b2＝(a＋b)(a-b)。 11 1132- 002＝123 458769 11 1152 942＝123 456789 31 1112- 002＝967 854321 191 1612-188 5602＝987 654321 因为1＋2＋3＋4＋…＋9＝45，而45可被3整除，因此所有的这些数字都是3的倍数，所以它们没有一个是质数。 17、狐狸和乌鸦的游戏
这是两人玩的游戏，十字架形的棋盘。你需要17个筹码代表鹅，摆在图上标有G的位置。还要有一个不同颜色或大小的筹码代表狐狸，摆在中央标有F的方格。
鹅每次可以移动一格，向左、向右、向下都可以，但不能走对角线，也不能向上。 狐狸每次移动一格，上下左右都可以。如果有一只鹅在它面前，而这只鹅旁边的方格是空的，那么狐狸就可以跳过鹅，并把这只鹅吃掉。 鹅要想办法把狐狸困住，使它无法移动；而狐狸则要尽量吃掉鹅，并避免被困住。 游戏开始时，由鹅先走。 请试着找出致胜的策略。 |
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