| 让学生“亲近”数据 | |
| 发布者：孙立燕 发布时间： 2012-4-24 9:59:44 | |
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我国在义务教育阶段将 “ 统计与概率 ” 作为重要 的学习内容。 随着大家对 “ 统计与概率 ” 教学的不断探索和实践 ，逐渐认识到对于这个领域而言 ， 重要 的绝不仅仅是画统计图 、 求平均数等技能的学习。《 全 日制义务教育数学课程标准 ( 实验稿 ) 》 ( 以下简称《 标准》 ) 中将 “ 统计观念 ” 作为了核心词， 在课程标准的修订中， 又将 “ 数据分析观念 ” 作为了核心词 … 。 这是一个含糊不清的问题，用平均数、中位数、众数都不合适 。如果要身高彼此差别最小 ，那么用方差或者标准差才好。这里 的众数非常特殊，恰好其方差很小而已。
这是用折线图进行插值的估计方法 。要基于直线上升的前提， 用插值估计。
天数 3 ， 6 ， 9 ， 1 2 ， 1 5 高度 4 ， 6 ， 1 0 ， 1 6 ， 1 7 预测第 2 0 天的蒜苗高度。 这能预测吗 ? 蒜苗的生长是有限度的。预测是要有假设的。 那么， “ 统计观念 ” 或者说 “ 数据分析观念 ” 到底体现在哪些方面呢 ? 如何将 “ 数据分析观念 ” 的发展与小学数学课程内容和实际教学有效结合 ? 如何探索以 “ 数据分析观念 ” 的培养为核心的小学统计教学 ? 这些问题都亟待进一步研究 ， 对这些问题 的回答实际上也构成 了整体把握小学数学课程的重要部分。 《 标准》 (2001) 指出， “ 统计观念 ” 主要表现在：认识到统计对决策的作用．能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。不难看出，统计意识、统计过程、质疑评价是统计观念的三个方面 。 在《 “ 数据分析观念 ” 的内涵及教学建议》 一文中，将 “ 数据分析观念 ” 解释为 ： 第一，了解在现 实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断 ， 体会数据中是蕴涵着信息的。第二，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据 问题的背景选择合适的方法。第三， 通过数据分析体验 随机性。 [ l] 与《 标准》一样 , 仍将统计意识 ( 数据意识 ) 放在了首位。并且将统计过程进一步明晰为统计的两个核心特征： 通过数据分析提取信息、通过数据体会随机。 一、 把统计意识的培养作为小学 学习的重要目标 “ 统计观念 ” 的首要方面是能有意识地从统计的角度思考有关问题，当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据，即发展学生的统计意识 [ 2 ] 。 发展学生统计意识的主要方式是通过具体案例和过程 , 使学生体会到数据是蕴含信息的，也就是说统计能够帮助人们了解情况、 做出决策和预测。近几年 , 不管是教材编写还是教师教学实践，都比较重视培养学生的统计意识 ，并积累了如下的一些基本策略 。 1. 设计问题情境使学生体会需要收集数据 要使学生接受统计特有的观念，最有效的方法是让他们真正投入到产生和发展统计观念的全过程，因此，教学中应注重设计贴近学生生活的情境 ， 使他们经历收集数据 、 整理数据和分析数据的过程。 逐步形成统计意识 。 例如， 有的教师借助联欢会购买水果的情境，鼓励学生通过调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案，体会数据调查、数据分析对于决策的作用。有的教师设计了 “ 我换牙了 ” 的统计活动，以儿童自己的身体为研究对象创设了有趣的情境，使学生体会到收集整理数据能够帮助了解一些有关 自己班级的情况 ， 比如我们班同学换几颗牙的同学最多 ， 和其他班级比较的结果如何。 这样的例子在实践中还有很多。在对这些案例的讨论中，学生们一次次地积累经验， 逐渐体会到统计的作用，也就渐渐建立起了统计意识。 2. 分析数据能帮助人们解决什么问题 还可以在数据处理完毕以后 。 鼓励学生进行反思， 讨论刚刚处理完的数据能帮助人们解决什么问题。下面提供一个案例。 [ 案例 ] 老师组织学生调查全班同学的身高情况 , 并将数据进行整理和分析 最后老师提出问题： 这些身高数据能帮助我们解决什么问题呢 ? 生 1 ：我可以了解到我们班同学的身高情况 , 还可以知道我自己的身高在班内处于什么情况。 生 2 ： 我们班有 8 岁的、有 9 岁的 , 我今年 8 岁 , 看到 9 岁同学的身高就可以先预测一下我到 9 岁时的身高大概多高。 生 3 ： 学校可以根据我们班的身高情况确定我们课桌椅的高度 。 尽管学生们的回答并不一定完全准确和符合实际。但他们通过将数据与自己及周围世界的结合，从不同角度挖掘了数据的用处， 体会到了统计的作用。 3 ． 收集和积累统计应用的案例 无论是教材中提供的案例 , 或是课堂 中讨论的案例，或是在生活中遇到的案例 ， 教师应该鼓励学生将它们积累起来 ，定期进行交流 ，体会统计确实能帮助人们做不少事情。比如， 2 0 0 8 年北京奥运会结束了，奥运会里有哪些运用统计的例子 ? 教师可以鼓励学生以此为情境收集素材。又如，很多地方都会设计一些摸奖游戏，教师可以将它们做一些适当的改动，引进到课堂教学中，这不仅仅为概率的学习提供了现实的素材，还可以引导学生对生活中的一些现象建立正确的认识。 还有一点是非常重要的 ，就是教师可以适当地做一些调查，了解学生感兴趣的素材 。 北京市海淀区的五一小学曾经调查了学校各个年级学生在生活中经常遇到的统计活动，并且 鼓励学生从 中挑选 自己最感兴趣的内容 。 下面是一 、 二年级同学们提出的例子： ( 1 ) 统计爸爸一周开车次数 ； ( 2 ) 统计小区保安一小时敬礼次数 ； ( 3 ) 统计每天写作业的时间； ( 4 ) 统计作业本上小印章的数量 ； ( 5 ) 统计家里一周扔几个塑料袋： ( 6 ) 统计放学后户外活动的时间： ( 7 ) 统计一年级同学的掉牙情况； ( 8 ) 统计最爱收看的电视节目。 在此基础上， 一年级 的五个班和二年级的四个班一共 3 6 0 个学生，找出了 自己最感兴趣的活动。第一是统计最爱收看的电视节目，第二是统计作业本上小印章的数量，第三是统计爸爸一周开车次数。实际上，这个调查可以给教学带来启发。比如针对最爱收看的电视节目这个素材，教师就可以引导学生做进一步的统计：最爱收看什么样的电视节目，每天收看电视的平均时间等。总之，了解学生会为教师进行教学提供重要的依据。 4 ．开展实践活动 需要指出的是，统计意识的培养绝不能仅仅依靠课堂教学 ， 课堂教学由于时间和空间的限制，学生往往很难完整地经历统计的全过程 ，所以无论是课程还是教学都应将课 内外结合起来，适当地设计一些实践活动，体现 “ 提出问题 —— 收集数据 —— 整理数据 —— 分析数据 —— 判断和预测 ” 的过程．使学生在活动中体会到统计的应用。 二、鼓励学生尽可能地从数据中提取有用信息 对于从数据中提取信息的维度 ，近些年国外有了不少研究 ，特别是建立 了有关 的统计思维模型 ，比较有代表的是 Mo o n e y&J o n e 的统计思维框架 ( F r a m e w o r k s t h a t C h a r a c t e r i zi n g S t u d e n t s ’ S t a t i s t i c a l T h i n k i n g ) [3] 。 Mo o n e y&J o n e ( 2 0 0 2 ) 将统计思维刻画为四个维度：描述数据、整理和概括数据、表示数据、分析和解释数据。描述数据主要包括从图表等中直接读取数据， 将数据与上下文联系： 整理和概括数据主要包括尝试排序和分组原始数据 、利用有效和正确的统计量刻画数据的中心趋势和扩展意义：表示数据主要包括选择合适的图直观表示数据、 评价图的有效性； 分析和解释数据主要包括数据的局部或整体的比较、 数据的整体趋势、 基于数据的推测。 教学中应鼓励学生学习一些统计方法 ，尽可能多地从数据中提取有用的信息。 针对目前小学数学教学中的现状，特别提 出以下教学建议。 1. 鼓励学生用多种手段整理和表示数据 分类和分组是整理数据的开始。当调查了一大堆原始数据以后，看起来很杂乱 , 很自然的想法是把它分分类 , 当然怎么分类，要根据收集数据的目的。实际上，分类绝不仅仅是一个教学内容，更是一种思想，需要教师在数、图形、数据等的教学中设计好的活动，不断使学生体会分类思想。比如，教师可以将分类与统计结合在一起 ， 在分类后统计每类的数量 ， 利用分类将统计的结果进行整理。有时候，我们还可以对数据进行分组。 比如， 对于收集来的全班学生身高的原始数据 ( 如表 1 ) ， 表 1 全班学生身高的原始数据
如果不加整理，很难从中发现一些信息。此时，我们就可以先利用下面的 “ 点线图 ” ( 来自国外教材 ) 对数据进行排序 ( 如图 1 ) 。
进一步，教师可以引导学生对数据进行分组，完成表 2 。 表 2 全班学生身高的分组统计表
完成上表，学生就可以得到身高在哪段的人数最多等信息。 统计图表是表示数据的重要手段 ， 对于统计图表的学习。教师们在实践中已经积累了很多经验，这里就不赘述了，只是提出几点建议 。第一 ， 不要急于引入常规的统计图表 ， 而是鼓励学生用 自己的方式来表示数据。早期经验的多样化，有助于儿童建立乐意创造常规 图表的兴趣 。 也是未来学习的基础。 第二 ， 设计好的问题，使学生体会到引入统计图表的必要性 。比如对于条形统计图的引入，教师可以引导学生思考象形统计图是用实物表示数据，是否需要真的画出具体实物，能否用一个符号来表示一个实物。从而自然出现条形统计图。第三，在表示数据的过程中，使学生不断体会各种统计图的特点。能根据实际问题选择合适的统计图来表示数据。第四，鼓励学生尝试阅读媒体 中的统计图。 2 ． 鼓励学生从多角度分析数据 ． 从中获取信息 ( 1 ) 从统计图表中获取信息。 统计图表教学 的一个重要目标是，鼓励学生能够从统计图表中获取尽可能有用的信息。 而实际上，这个问题也是教师在教学中普遍困惑的。到底应该引导学生从哪些方面来 “ 读图 ” 呢？ C u r c i o ( 1 9 8 7 ) 把学生对数据的读取分为三个水平：（ 1 ) 数据本身的读取 ( r e a d i n g t h e d a t a ) ，包括用能够得到的信息来回答具体问题，这些问题图表中有 明显的答案； ( 2 ) 数据之间的读取 ( r e a d i n g b e t w e e n t h e d a t a ) ， 包括插入和找到图表中数据的关系，这包括做比较 ( 例如比较好、最好，最高、最小等 ) 和对数据进行操作 ( 例如加减乘除 ) ； ( 3 ) 超越数据本身的读取 ( r e a d i n g b e y o n d t h e d a t a ) ，包括通过数据来进行推断预测，并回答具体的问题 [ 4 ] 。 受此启发 , 教师可以从以下几个方面引导学生进行读图。 第一 ， 读从统计 图中能直接看到的信息 , 比如单个数据的多少 , 统计图的名称和图标 。 第二 ，读经过简单推理能得到的信息 。包括数据的比较 ( 多少、倍数、百分比等 ) 和数据的整体变化 ( 最大、最小、平均情况、化情况、偏差、极端数据 ) 。可以鼓励学生看一看极端数值，去思考极端数据可能说明什么。因为极端数据往往反映一些有意思的现象，或者有时候会提醒是不是在收集数据中出现了问题 。 第三 ， 对数据的解释和预测。数据是蕴含着信息的，光看见了还不够，还要去思考、 去解释、去判断、去预测。包括统计数据能否回答开始提出的问题、能否解决其他问题、能否进行预测。为什么数据会呈现这种情况。 第四， 对统计图的评价。进一步，还要对统计图中的指标、收集数据的方法、是否合理使用统计图、得出的结论是否有道理等进行评价 。 当然，在小学阶段主要是前三个方面，后一个方面可以根据 自己学生的情况，有意识地加以培养。 ( 2 ) 运用统计量来分析数据。 目前小学阶段要求的平均数、中位数、众数，它们都是刻画一组数据集中情况的统计量。 老师们困惑的问题是，这三个量之间到底有什么区别，什么时候该用什么统计量 ? 其实，我 们现在处理的数据大部分是对称的 ，数据符合或者近似符合正态分布。 这时候 ， 均值 ( 平均数 ) 、 中位数和众数是一样的 ( 如图 2 )
只有在数据分布偏态 ( 不对称 ) 的情况下，才会出现均值、中位数和众数有区别，这也就是我们常说的平均数容易受极端数据的影响。但是，平均数具有许多优点，与中位数和众数相比。平均数能更多地利用所有数据的信息。除此之外，在数学上还有一个原因：假设 我们得到了 2 个数据 ， 令 为平均数 ，利用中学的知识就可以证明： 是与 这 2 个数据差的平方和达到最小的实数 ， 即对任意的实数 有 。这说明了进行数据分析时经常使用平均数的理由：利用平均数代表数据，可以使二次损失 ( 误差平方和 ) 达到最小。而利用中位数代表数据， 是使一次损失 ( 误差绝对值的和 ) 最小 。而二次函数有着 良好的数学性质，于是人们都选择用平均数来代表数据 [1] 。 但是现在平均数教学中也存在着问题，其中之一是学生学习了平均数，会进行计算，但是当遇到真正的数据需要分析时，却很少想到用平均数。所 以说，义务教育阶段统计教学的关键是发展学生的数据分析观念，使他们想到用数据。 愿意用数据， 能从数据中提取一些信息。我们来看下面的一个案例，学生在学习了平均数以后，师生共同讨论了三条信息， 来体会平均数的意义和价值。 【案例】 体会平均数的意义。 1 ． 利用节约用水信息深入理解平均数 的意义 师： 我这儿也有一条信息，我们一起看看。 ( 1 ) 出示节约用水图。 师 ： 为什么要节约用水 ? ( 学生的回答 ： 我们国家的水少。 ) 那我们来看看我们国家的淡水情况。 ( 2) 出示 ： 我 国淡水资源总量 为 28000 亿 , 立方米，仅次于巴西、 俄罗斯和加拿大， 居世界第四位。 师 ( 先找一名同学读一读 ) ： 看到这条信息你有什么感觉 ? ( 学生的回答 ： 水并不少呀 ， 世界 1 0 0 多个国家． 我们排第四名呢 。） ( 3 ) 我们再来看看下面这条信息： 我国人均水资源只有 2 3 0 0 立方米，在世界上名列第 1 2 1 位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一 。 师 ：请大家静静地读一读这条信息，你发现了什么 ? ( 学生的回答：本来水挺多，每个人平均下来就少了。 ) 师总结：言之有理，看来同学们对平均数的理解越来越深刻了，光比总量是不够的，还要看人均水资源。好 ，那对于我们国家来说 ，就更应该去节约用水了。 2 . 出示 “ 儿童乘车免票线 ‘ 长个 ’ 了 ” 的标题 。 师 ： 你知道什 么叫儿童乘车免票线吗 ? 没错 ， 就是这条线。我们来看看这则消息： 经过市发改委与相关部门研究决定，将北京市儿童 1.1 米 乘车免票线提高到了 1.2 米 。 师：为什么要提高 ? ( 学生的回答：孩子们都长高了。 ) 师： 我们是怎么去确定这个标准的呢 ? ( 学生的回答 ：我们可以调查一下。 ) 师：调查谁 ? 如何处理调查得来的数据呢 ? ( 学生的回答：调查一些儿童的身高，调查完了需要计算平均数 ) 师总结 ：同学们真了不起，既能准确理解平均数的意义，叉能想到可操作的办法。那么我们一起看看实际是怎样做的：据统计． 目前我市 6 岁男童身高的平均值为 119.3 厘米． 女童身高的平均值为 118.7 厘米。和你们想的一样，市发改委就是参照了我市 6 岁儿童的平均身高，才确定了免票线的高度。 3. 利用平均数帮助老师解决问题。 师：据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过中关村一号桥的车辆为 1756 辆，需要通过西苑桥的车辆为 965 辆。通过这条信息你可以知道什么？老师回家要走四环路，这两条路都可以上四环。你们觉得我走哪条好 ? 我那么走一定快吗 ? 为什么 ? ( 学生的回答 ： 走平均每小时通过车辆 少的西苑桥 。但不一定快． 比如那条路上正好有学校开家长会。 但事先不知道的前提下还是要走西苑桥 。 ) 师总结：同学们理解得很好，平均数是可以用来作参考的 ， 但是它反映的只是一般情况， 并不能反映某种特殊情况。 理解平均数有三个角度：算法理解、概念理解、统计理解。对于统计教学，概念理解和统计理解是非常重要的。在上面的案例中， 第一个信息， 学生体会到在水资源这个问题上光看总量不够，还要看人均水资源，从而体会了平均数的意义。第二个信息，不但能够使学生再次体会平均数的价，而且通过确定免票线高度的方法，还可以使学生讨，认识到平均数是可以用来作参考的，但它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。 三、帮助学生体会数据的随机性 数据的随机性主要有两层涵义 ：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不 同的 ：另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。举一个例子，袋中装有若干个红 球和白球 ， 一方面， 每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定； 另一方面， 有放回地重复摸多次 ( 摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸 ) ，从摸到的球的颜色的数据 中就可能发现一些规律，比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。再举一个案例，学生记录自己在一个星期内每天上学途中需要的时间，如果把记录时间精确到分， 可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的， 可以让学生感悟数据的随机性； 更进一步 ， 让学生感悟虽然数据是随机 的， 但数据较多时具有某种稳定性， 可以从中得到很多信息： 比如， 通过一个星期的调查可以知道 “ 大概 ” 需要多少时间 ： 可以知道上学途 中所需要 的最长时间和最短时问等。 不少老师有这样一个困惑 ， 概率也是研究 随机现象的， 在概率教学 中教师也组织学生做 了很多摸球 、 掷硬币等游戏。 那么为什么又提出数据的随机性呢 ? 下面是课程标准修订组组长史宁中教授的回答 [1] 。 我听了一些课 , 老师们经常这样处理 ： 比如对于掷一枚均匀的硬币， 先得到出现正面或反面的概率是 ， 然后让学生通过反复掷硬币去验证这个结果 。这里有两个问题。第一，一个硬币， 先假定它出现正面和反面的可能性是 ， 。这个是通过概率的定义得到的，不是依靠掷硬币验证出来的。实际上，学生做了很多次实验也得不到 ， 反而更加糊涂了。 第二，运用定义的方式教学随机，不能很好地培养学生的随机观念。 ’ 需要指出的是，我们赞成做实验，赞成运用统计的思想来做实验。统计是通过数据来获取一些信息，来帮助人们做出一些判断。同样是掷硬币的问题。在统计上就会这样设计实验：先让学生多次掷硬币，计算出现正面的比例 ( 频率 ) ，然后用频率来估计一下出现正面的可能性是多大。如果这个可能性接近 的话，就推断这个硬币大概是均匀的，这是统计的思想。 对于先给出定义，教师往往比较习惯，而对于 “ 逆过来 ” 通过数据来进行推断，教师往往比较陌生 …… 我并不是反对前一种教法本身。而是说如果这么教，蕴含的随机思想并不强， 学生也不感兴趣，都知道了概率为什么还要做实验。而后来的这种教法，学生体会到每一次的结果事先都不知道，但是实验次数多了能够帮助我们做一些判断。这样一来， 学生既体会了随机，又感受到了数据中蕴含着信息，我想这种类似于 “ 猜谜 ” 的活动学生也许会很有兴趣 从上面的一段话可以看 出，并不是简单地赞成或反对做实验，而是做实验的目的：不提倡通过实验去验证概率是多少，或者通过计算去体会随机；而是通过实验，从数据中获取信息进行推断， 或者通过数据来体会随机性。 我国著名概率学家陈希孺先生曾经说过这样一句话 ： 习惯于从统计规律看问题的人， 在思想上不拘执一端，他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律， 也承认例外 [5] 。 这段话把数据随机性的意义和价值揭示得非常深刻。 总之，无论是统计课程设计还是教学，都要抓住一个核心 —— 数据分析观念， 即如何对数据进行分析， 以此来对所要研究的问题进行了解。实际上，统计与学生的生活联系很紧密， 我们的教学就是使学生产生对数据的亲切感， 愿意去分析数据提取信息， 遇到问题时愿意去收集数据来帮助解决问题。当然 ，有关统计教学的核心目标及达成目标的途径仍然是值得去进一步研究和实践的问题。 2 0 0 2 年 7 月在南非召开的第六届统计学教学国际大会 ( ICOTS6 ) 的主题就是 “ 形成一个具有统计素养的社会 ” ， 希望与会者共同思考与探讨什么是一个公民所需要的统计的素养，如何帮助社会全体成员提高统计素养 [6] 。 参考文献 1 ．史宁中、张丹、赵迪．“数据分析观念”的内涵及教学建议．课程·教材·教法． 2 0 0 8 ( 6)． 2 ．张丹、吕建生、张春莉．统计观念的发展和培养．数学教育学报． 2002(2)． 3 ． E d w a r d S ． Mo o n e y ． A F r a me wo r k f o r Ch a r a c t e r i z i n g Mi d d l e S c h o o l S t u de n t s ’S t a t i s t i c a l Th i n k i n g ． Ma t h e ma t i c a l Thi nk i n g a n d L e a r ni ng ． 2 0 02 ， 4 ( 1 ) ． 4 ．巴桑卓玛．中小学生对统计的认知水平研究． 长春 ： 东北师范大学 ． 2006． 5 ．陈希孺．机会的数学．北京：清华大学出版社、暨南大学出版社． 2000． 6 ．李俊．关注统计教育．数学教学． 2002(5)． | |
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