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历年中考数学“例析一次函数开放型问题”
在解有关一次函数的开放型题时，要充分利用一次函数的概念、图象及性质，同时还要选择恰当的解题策略，并注意分类讨论等方法的使用。下面以中考试题为例，归类介绍有关的开放型问题，供同学们学习时参考。 1. 条件开放类（根据一次函数增减性补充条件） 例1. 已知关于x的一次函数y=kx+2，请你补充一个条件：_______________________，使y随x的增大而减小。 解析：根据一次函数y=kx+b的性质有：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。此题要使“y随x的增大而减小”，因此k<0。所以k为任意负数时均能满足题意，例如可填 点评：这是一道补充条件的开放型题，类似的问题还有“已知关于x的一次函数 2. 结论开放类（根据一次函数图象的性质求解析式） 例2. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的解析式可以为__________（填一个即可）。 解析：画出满足条件的函数图象，利用图象的性质找出函数解析式。 根据已知条件可画出一次函数的图象，如图1所示。
图1 设一次函数的解析式为 点评：此题中，一次函数解析式是不唯一的，只要根据条件分别赋予k、b一个值，就可以确定出一个一次函数。 3. 条件、结论全开放类（根据一次函数图象编题） 例3. 观察函数图象（如图2所示），根据所获得的信息解答问题。 （1）若折线OAB表示某个函数的图象，请你编写一种符合图象意义的实际情景。 （2）根据你所给出的实际情景，分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标。 （3）求出线段AB所表示的函数关系的解析式，并注明x的取值范围。
图2 解析：本题条件、结论均开放。现举两例： 1. （1）一容器深8m，往里注满水用去5min，接着打开底部的排水管放完全部的水，用去10min。 （2）x轴表示时间（单位：min），y轴表示容器里面水面的高（单位：m），A（5，8），B（15，0）。 （3）设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（5，8），B（15，0）代入，解得 2. （1）小冬从家跑步到离家800m的学校，用了5min；接着步行回家，用了10min。 （2）x轴表示时间（单位：min），y轴表示小冬离家的距离（单位：m），A（5，800），B（15，0）。 （3）设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（5，800），B（15，0）代入，解得 点评：此题要求先依据函数图象编写符合图象意义的实际情景，再解决与其有关的问题。这种提出问题的方式具有一定的开放性，可谓条件、结论全开放。此题既体现了新课标中“能举出函数的实例”的要求，又灵活考查了学生的创新能力和实践能力。 ——关于《与一次函数有关的面积问题》 “抛砖引玉”为抛出砖去，引回玉来。比喻用自己不成熟的意见或作品引出别人更好的意见或好作品。本人认为在教学中“抛砖引玉”，是一种教学手段，“抛砖”作为对解决问题的铺垫与引入, “引玉”是一节课的中心亮点。在教学中，相信如果充分有效地利用这一教学策略，相信课堂效果会比较好。 《一次函数》是北京市义务教育课程改革实验教材第十五章的内容。本章的教学在初中的教学体系中有其重要的地位，是数形结合思想的体现，又是综合知识的一个载体，同样也是初三《二次函数》学习的一个铺垫。本节课我所讲的内容是《与一次函数有关的面积问题》，教学目标是：掌握求一次函数图像与坐标轴形成的图形面积基本方法；以及坐标系中点与线段之间的转化。通过问题的解决培养学生数形结合的数学思想；通过问题的解决，感受知识之间的普遍联系。 抛砖 抛砖一： 师：通过多媒体展示习题。 1、求一次函数解析式及与坐标轴的交点坐标。 (1)已知一次函数y=kx-3的图像过点（2，－1）， ①则k__________ ②与x轴、y轴的交点坐标分别是A____________、B____________， ③直线与两坐标轴围成的三角形面积是______________。 师问：有哪位同学解答这个问题？ 生A：k=1 师问：你是怎样解答的？ 生A：因为一次函数y=kx-3的图像过点（2，－1），所以点（2，－1）满足解析式，将其代入构造成关于k的一元一次方程，求得k=1。 师：很好!那你能解决后面的两个问题吗？ 生A：可以，与x轴、y轴的交点坐标分别是A(3,0)、B（0，-3），求与x轴的交点，首先设y=0，求得x=3，与y轴交点，设x=0，求得y=-3。所以写成坐标的形式为A(3,0)、B（0，-3）；第三问中的直线与两坐标轴围成的三角形面积实质是上问中所求的直线与两坐标轴的交点A、B和原点O组成的三角形ABC，由三角形的面积公式得出面积为4.5。 师：很好，作为老师没什么送给你的，就给你点掌声吧！（因为这个学生的基础相对较差，能有如此表现，我很高兴） 对于这个问题的解决，班级的大部分学生解决起来没有难度，在这里设计这个问题，一个是让学生熟悉解决问题的基本方法，再一个是让学生体会一次函数与一元一次方程之间的联系：方程是刻画现实世界中的等量关系，一次函数是刻画现实世界中的变量关系，当函数中的一个变量确定时，就可以用方程确定另外一个值。 抛砖二： 师：通过多媒体展示习题。 2、两直线的交点坐标问题 (2)在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-5的图象， 并根据图象回答下列问题： ①写出直线y1=-x+1与y2=2x-5的交点P的坐标． ②求两直线与x轴围成的三角形的面积 因为本题的做题思想与上题的思想比较类似，加上再已有认知能力的基础上学生解决起来不是很困难。所以我直接拿了一个在巡视过程中有点问题的同学的学案，在投影仪上进行展示，并更正错误。这样做的目的是让全体学生体会书写过程中容易出现的错误，再一个就是让他们规范书写，养成一个良好的解题习惯。 另外本题的核心目的是让同学们体会一次函数与二元一次方程组之间的联系。 抛砖三： 3、距离与坐标的互化问题 (3)已知：点A在x轴上且到原点距离是3，则点A坐标________。 (4)已知：点A（0,3），点B（-4,0）， ①计算AB＝_____ ②若点C在y轴上，△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则点C的坐标_______。 对于本题，学生很容易能解决，但对于这个题的设计我很清楚，学生虽然可以解决，但是能否形成方法是我本节课所要答到的目标。在这里主要是体现出平面直角坐标系与几何图形的综合，通过学生的回答结合我的引导，让他们充分的体会到勾股定理是在坐标系中求线段长的基本工具，并且对于等腰三角形的形成过程我们可以从利用作圆的思想进行解决。 对于以上三个问题：即求一次函数解析式及与坐标轴的交点坐标、两直线的交点坐标问题、距离与坐标的互化问题就是我本节课给同学们抛的“砖”，就是想在这几个问题的理论基础之上进一步研究有关的综合性问题，从而答到抛砖引玉的效果。从以上几个问题的解决来看，同学们表现的很精彩，我想我要实现的目标已经完成了一半，就看后面的问题解决了。在以往同学们的学习中经常会出现这种情况，即使把问题的解决方法教给他们，但是在解决复杂问题时很难把学过的方法应用到问题的解决当中。这也是我很担心的地方，他们还是像以往一样吗？我只能期望着会好一点。 引玉 引玉一： 例1、已知：在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（2，3），点B在x轴负半轴上， △ABO的面积是3 （1） 求B点坐标 （2） 求直线AB的解析式及与y轴交点C的坐标。 （3） 点A作直线AN交坐标轴于N，且使AN=OA，求N点坐标及△ABN的面积 师问：哪位同学可以解答第一问？ 生B：这个问题和我们前面解决的问题比较类似，首先从△ABO的面积是3出发，由题意可知，可以先求出线段OB的长，这样把线段的长转换成坐标系中的点。所以S=1/2*3*OB，所以OB=2，则B点的坐标为（0，-2）。 师：很好，请坐。刚才生B对于这个问题的解决很好，说明我们在前面做的铺垫已经有了很好的理解。那在学生B解决问题得基础上，哪位同学可以解答第二个问题？ 生 C：求直线AB的解析式我们需要直线上的两个点的坐标，A（2，3）B（-2，0）。这样利用待定系数法求的直线的解析式为y=3/4x+3/2，点C是直线与y轴的交点，所以令x=0，得出y=3/2，则C点坐标为（0，3/2）。 师：好，非常好，请坐。现在哪位同学可以解决第三问呢？（无声，持续10多秒钟）看来同学们对这个问题的解决有点难度，我们大家不要泄气，想一想我们在前面的问题解决当中是用什么样的方法。大家也可以小组商量一下。（在同学们的讨论中，我也在不断地巡视着，看着他们解决问题的方法，心中有成功的喜悦，但同时也有一种失落感，还有一部分同学解决不了这个问题。这也正常，每个同学的学习能力不同，基础不一样，形成的结果肯定也是不一样的，这可能也是我们老师一直想突破的难题，让每个同学都把知识学会。我想我只能做到让每个同学学有所得。）在生D的解答下，我们很顺利的解决了这个问题。到这里我很高兴，从同学们的表现来看我这节课的设计似乎很完美，把上面的“砖”理解的比较透彻。虽然这块“玉”有一点瑕疵，但是我的心里也是热乎乎的。
引玉二： 例2、如图，已知直线经过点与点，另一条直线经过 点，且与轴相交于点.（1）求直线的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求的值.（3）若直线l2与轴交点P的坐标是（3,0），在直 线l1上是否存在一点C,使得若存在，求出点C坐标， 不存在，说明理由。 对于这块玉的雕饰真是费了很大的劲，特别是在第三问中，很多同学不能看出这个问题实质性的东西在哪，找不到解决问题的切入点，没有答到我抛给他们的“砖”的目的，所以我感觉到这块“玉”的雕饰真的不完美，我又想，世上有完美的“玉”吗？换句话说，作为教师把知识教给学生，让每个学生都会，我们能够答到这个理想的状态吗？很显然这是不可能的。所以说“抛砖”一定能“引玉”吗？我想我不敢肯定的去答这个问题，但针对我这节课而言，我想我的“抛砖引玉”这个教学策略实施的不是完美，与我之前所想的有很大的差距，这也是作为教师的我应该着重思考的问题。 教师的教学方式要适应学生的学习，应更多地从学生的角度来思考“教什么”和“怎样教”。充分体现学生是学习的主体。对于这节课，虽然结果不是让我很满意，但对于我来说也是一种收获，一种启发。我采用从“抛砖”到“引玉”这种教学手段是否适合学生对知识的理解和应用，还需要一个较长时间地摸索与验证。学生是学习的主体，怎样使他们学而所获，又学而所乐呢？我想就是让他们知道自己，了解自己，体会学习过程给自己带来的快乐。给自己一个展示个性、享受成功的机会。学生的学习很可能存在困难，降低自己学习的自信心，这就需要教师适时鼓励，及时在方法上进行引导和指导，既要“抛砖”还要“引玉”，使学生领会思想，掌握方法，享受到成功的喜悦。
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3．已知直线y=kx+b经过点（k，3）和（1，k），则k的值为（ ） A、√3 B、±√3 C、√2 D、±√2 正确答案：B 分析：运用待定系数法求一次函数解析式，代入后求出k，b的值即可．：∵直线y=kx+b经过点（k，3）和（1，k），∴将（k，3）和（1，k），代入解析式得：3=k2+b；k=k+b。解得：k=±√3，b=0，故选B． 4．将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（ ） A、y=2x-1 B、y=2x-2 C、y=2x+1 D、y=2x+2 正确答案：B 分析：直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为y=2（x-1），即y=2x-2．故选B． 5．已知一次函数y=mx+n-2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（ ） A、m＞0，n＜2 B、m＞0，n＞2 C、m＜0，n＜2 D、m＜0，n＞2 正确答案：D 分析：先根据一次函数的图象经过二、四象限可知m＜0，再根据函数图象与y轴交于正半轴可知n-2＞0，进而可得出结论．∵一次函数y=mx+n-2的图象过二、四象限，∴m＜0，∵函数图象与y轴交于正半轴，∴n-2＞0，∴n＞2．故选D． 6．如图的坐标平面上，有一条通过点（-3，-2）的直线L．若四点（-2，a）、（0，b）、（c，0）、（d，-1）在L上，则下列数值的判断，正确的是（ ） A、a=3 B、b＞-2 C、c＜-3 D、d=2 正确答案：C 分析：由题意得：此函数为减函数，A、-2＞-3，故a＜-2，故错误；B、-3＜0，故-2＞b，故错误；C、0＞-2，故c＜-3，故正确；D、-1＞-2，故b＜-3，故错误．故选C． 7．在平面直角坐标系中，已知直线y=-3/4x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ） A、（0，3/4） B、（0，4/3） C、（0，3） D、（0，4）
则DB=5-4=1，BC=3-n，在RtBCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=-3/4x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4，∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴AB=5，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=3-n，∴DA=OA=4，∴DB=5-4=1，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2， 疯豆网的老师为同学们整理了一些关于一次函数的经典例题及其详解，希望对同学们的学习有所帮助！∴n2+12=（3-n）2，解得n=4/3，∴点C的坐标为（0，4/3）．故选B．
[ 初二 ] [ 数学 ] 一次函数  提问时间：2012-02-23 15:48:29 [ 初二 ] [ 数学 ] 一次函数 提问时间：2012-02-23 14:44:06 疯豆网的老师为同学们整理了一些关于一次函数的经典例题及其详解，希望对同学们的学习有所帮助！ 一次函数：一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点。它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右。解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法。 1.
参考答案：A 解题摘要：本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，是一个基础题，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
2.
参考答案：A 解题摘要：先求出直线L与y轴的交点，然后根据直线L′与直线L的交点在第二象限可得a的取值范围，再结合选项解答
3.
参考答案：D 解题摘要：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小。解答时根据一次函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
4.
参考答案：D 解题摘要：此题考查的是两条直线相交问题，关键要由已知列出不等式，注意象限和符号．首先由已知得出y1=x或y1=-x又相交于（-1，1），（2，2）两点，根据y1＞y2列出不等式求出x的取值范围．
5.
参考答案：A 解题摘要：此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限．
6.
参考答案：B 解题摘要：本题是对一次函数的综合考查，根据直线的解析式求出点E、F的坐标是解题的关键，同时也考查了矩形的性质，难度不大．根据直线解析式分别求出点E、F的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．
7.
参考答案：y=x-1 解题摘要：此题考查了待定系数法求函数解析式，从图象所在坐标系找出关键点是列方程组的必要步骤．解答时从图象上找到直线所过的两个点的坐标，利用待定系数法求解即可．
8.
参考答案：k=1/2;k<0 解题摘要：一次函数经过原点，那么将原点O（0,0）代入，可求得k解。若y随x增大而减小，那么是斜率为负数的函数，所以可以求得k的范围
9.
参考答案：（0.5，-0.5） 解题摘要：题中给出A点坐标，Q在直线y=-x上运动，那么AQ最短距离应该是由A向y=-x做垂线，交点为Q的线段AQ长，这里可以利用几何关系求出Q的坐标
10.
参考答案：x≧a 解题摘要：这道题首先要会读图，直线l1和直线l2相交于P（a.2），那么 x+1≥mx+n的解集应该在P点右侧的区域内
参考答案：（1）y=0.7x-30 （2）小明家5月用电210度。 解题摘要：（1）0≤x≤200时，电费y=0.55×相应度数； x＞200时，电费y=0.55×200+超过200的度数×0.7； （2）把117代入x＞200得到的函数求解即可．
12.
参考答案：（1）20km/h；0.5h （2）小明出发1.75小时被妈妈追上，此时离家25km （3）从家到乙地的路程为30km 解题摘要：（1）用路程除以时间即可得到速度；在甲地游玩的时间是1-0.5=0.5小时． （2）求得线段BC所在直线的解析式和DE所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得北妈妈追上的时间． （3）设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），根据妈妈比小明早到10分钟列出有关n的方程，求得n值即可． 一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。轻松掌握一次函数——一次函数图像及性质归纳主要考察内容：①会画一次函数的图像，并掌握其性质。②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。③能用一次函数解决实际问题。④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。突破方法：①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。③掌握用待定系数法求一次函数解析式。④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。 一，函数性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）， 因为当x增加m时，Y=k（x+m)+b=y+km ,km/m=k。 2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中： 当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=kX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数 二，图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤： （1）列表。 （2）描点： 一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。 （3）连线： 可以作出一次函数的图象即一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是（0，b）和（-b/k，0）。 三，函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 四，k，b与函数图像所在象限： 1.y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。 2.y=kx+b时： 当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限； 当b>0时，直线必通过第一、二象限； 当b<0时，直线必通过第三、四象限。 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。 当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 五，特殊位置关系： 1.当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 2.当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） 3.点斜式 y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点） 4.两点式 (y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点） 5.截距式 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距） 6.实用型 （由实际问题来做） 六，公式 1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 3.求与x轴平行线段的长度：|x1-x2| 4.求与y轴平行线段的长度：|y1-y2| 5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2] 7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (其中分母为0，则分子为0) 8.若两条直线y1=k1x+b1平行y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2 9.如两条直线y1=k1x+b1垂直y2=k2x+b2，那么k1*k2= -1 一次函数它的图形是直线10. y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位 当知道直线上的一个点（x0,y0）， 解题摘要：1. 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应。表示函数通常有三种方法：解析法；列表法；图像法。2.求实际问题中的解析式，实质是建立两个变量间的等量关系，注意自变量的取值范围要使实际问题有意义。 解题摘要：一次函数：根据题意构造函数方程。由于点E既在直线AB上，又在直线CD上，所以可以把两直线的解析式联立，构成二元一次方程组，通过解方程组求得。 |
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