2013年广州小升初数学知识复习指南
--- 奥数
一、 小学奥数经典题型解题方法（完整版）
小学奥数解题方法1——分类
分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数、数个数的问题中，分类的方法是很常用的。
可分为这样几类：
(1)以A为左端点的线段共4条，分别是：
AB，AC，AD，AE;
(2)以B为左端点的线段共3条，分别是：
BC，BD，BE;
(3)以C为左端点的线段共2条，分别是：
CD，CE;
(4)以D为左端点的线段有1条，即DE。
一共有线段4+3+2+1=10(条)。
还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。
(1)只含1条基本线段的，共4条：
AB，BC，CD，DE;
(2)含有2条基本线段的，共3条：
AC，BD，CE;
(3)含有3条基本线段的，共2条：AD，BE;
(4)含有4条基本线段的，有1条，即AE。
有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(单位：厘米)的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形?
提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：
①a、b只能取1～11的自然数;
②三角形任意两边之和大于第三边。
1、11 一种
2、11 2、10 二种
3、11 3、10 3、9 三种
4、11 4、10 4、9 4、8 四种
5、11 5、10 5、9 5、8 5、7 五种
6、11 6、10 6、9 6、8 6、7 6、6 六种
7、11 7、10 7、9 7、8 7、7 五种
8、11 8、10 8、9 8、8 四种
9、11 9、10 9、9 三种
10、11 10、10 二种
11、11 一种
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种
小学奥数解题方法2——化大为小找规律
对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况(化大为小)，从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。这就是解数学题常用的一种方法，叫做归纳，我们也可以叫做“化大为小找规律”。
10条直线最多可把一个长方形分成多少块?
提示：先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条
直线能把一个长方形分成几块?
10条直线最多可把一个长方形分成多少块?
第一条直线：分成 2 块
第二条直线：分成 2+2=4 块
第三条直线：分成 2+2+3=7 块
10条直线最多可把一个长方形分成多少块?
我们发现这样的规律：
=2+(2+3+4+5+6+7+8+9+10)
=2+54
=56(块)
这就是说，10条直线可把长方形分为56块。
小学奥数解题方法3——把未知量具体化
一般情况下，题目中的未知量不可以随便假设。有时，问题中所求的未知量与其它相关的未知量具体是多少并没有关系。在这种情况下，可以把这些没有关系的未知量设为具体数。”
幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个。如果全部分给大班小朋友，那么平均每人可分10个。如果全部分给小班的小朋友，平均每人可分几个?
全部分给小班的小朋友，每人可分几个，与苹果的总个数有关系，而与人数(无论是两班人数，还是大班人数)都没有关系。
苹果总数=两班总人数×6
苹果总数=大班人数×10
所以，大班人数×10=两班总人数×6
设两班100人大班 100×6 ÷ 10=60人
小班 100-60=40人 600 ÷40=15个
小学奥数解题方法4——试 验
将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。
问剩余部分的管子最少是多少厘米?
提示：从题目的问句看，应抓住“最少”二字来思考，先考虑没有剩余，再考虑剩余1厘米、2厘米……
(1)如果把这根长管截成若干根两种不同规格的短管后没有剩余，那么374应该是4的倍数，因为两种短管的长度36厘米、24厘米都是4的倍数，但374不能被4整除，所以没有剩余不可能。
(2)如果截成若干根两种不同规格的短管后只剩下1厘米，根据36、24都是偶数，“偶数的倍数是偶数”、“偶数与偶数的和是偶数”可推知，原来铝合金管长应为奇数，这与管长374(偶数)的条件矛盾，所以，剩1厘米也不可能。
(3)如果最后剩下2厘米。这种情况有可能。374÷(36+24)=6……14。这说明两种都截6根余14厘米，这时需要调整：少截一根24厘米长的，加上14，24+14=36+2，正好合一根36厘米长的，还剩2厘米。
小学奥数解题方法5——移多补少
在“平均”二字中，“平”就是“拉平”，也就是移多补少，“均”就是相等。“平均”二字的意思，通俗地说，就是用“移多补少”的办法，使每份数量都相等。因此，移多补少是我们解答求平均数应用题的重要思考方法。
新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台?
用四天装配总台数除以4，综合算式为：
[50+(50+5)+(50×2+3)]÷4=52(台)
采用移多补少的方法，假设每天都装配50台，那么四天一共多装配5+3=8(台)，把这8台平均分成四份，8÷4=2(台)，
因此，平均每天装配50+2=52(台)
综合算式为：50+(5+3)÷4=52(台)
甲、乙、丙三人一起买了8个面包，平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出4角钱，问甲应收回多少钱?(以分为单位)
4角=40分
40× 3=120(分)
120÷ 8=15(分)
15× 5-40=35(分)
小学奥数解题方法6——等量代换
“曹冲称象”是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。解数学题，经常会用到这种思考方法。
百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?
提示：我们根据“2个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成纸箱，也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样，题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋?”可以求出每个纸箱装多少双球鞋。也就能求出一个木箱装多少双球鞋。
用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米?
5小=2大大换小：8 ÷ 2 × 5=20 (时) 小：312 ÷(20+6)=12(立方米) 大：12 × 5 ÷ 2=30(立方米)
小学奥数解题方法7——画图
在数学中，“数”与“形”就像一对形影不离的亲兄弟。几乎所有的数量关系或数学规律都可以用生动形象的示意图来反映。
A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘?
两堆煤，第一堆16吨，第二堆10吨，5天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆剩下的煤正好是第二堆所剩煤的4倍。问5天中两堆煤被烧掉了多少吨?
小学奥数解题方法8——反过来想
当你按习惯思路解决问题困难时，不妨也反过来想想。反过来想，是我们解数学题的一种很好的方法。
用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛?
淘汰199人需要比赛199场
1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少?
从1至100的和中去掉9的倍数，就是不能被9整除的数的和了
1+2+3+。。。+100=5050
9 ×(1+2+3+…+11)=594
5050-594=4456
小学奥数解题方法9——分析因果关系
分析，也就是抓住结果找原因。我们解数学题，也应当学会这种顺藤摸瓜，分析因果关系的本领。
用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。一杯水和一个空瓶各重多少?
我们先把两次倒水的情况作一次比较。
从连瓶重量来看，第二次比第一次重了
“600-440=160(克)”，
怎么会多160克的呢?因为第二次比第一次多倒了“5-3=2(杯)”水。
这样，我们就容易求出每杯水的重量为：160÷2=80(克)。
空瓶重量 600- 80×5=200 (克)
这类应用题的一般思路：
(1)先比较两种情形，从数量上看出差别;(2)分析造成这种数量差别的原因;
(3)利用这种因果关系来沟通题目中已知量与未知量的关系，并求出正确答案。
兴旺养猪场，如果每间猪圈养猪8头，就还有4头猪没有猪圈养;如果每间猪圈养猪10头，将空出2间猪圈。问这个养猪场有多少间猪圈?共养了多少头猪?
(10×2+4)÷(10-8)=12(间)
8×12+4=100(头)
或 10×12-10×2=100(头)
小学奥数解题方法10——假 设
小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得 56分。小华答对了几题?
假设小华全部答对：该得4×20=80(分)，
现在实际只得了56分，相差80-56=24(分)，
因为答对一题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分(4+4=8)，
根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：24÷8=3(题)，
一共做20题，答错3题，答对的应该是：
20-3=17(题)
4×17=68(分)(答对的应得分)
4×3=12(分)(答错的应扣分)
68-12=56(分)(实际得分)
某校有100名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均得60分，女生平均得70分，那么，男生比女生多多少名?
假设100名同学都是男生，那么应得分
60×100=6000(分)
比实际少得
63×100-6000=300(分)
原因是男生平均分比女生少
70-60=10(分)
求出女生人数为
300 ÷ 10=30(名)
小学奥数解题方法11——转 化
数学题常用的也是十分重要的一种方法——转化。这种转化通常是指转化条件或问题，特别是转化题中的数量关系。
一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大53.46。这个两位小数是多少?
一个数的99倍是53.46，求这个数。
两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少?
题目中前一句话换个说法就是：被除数比除数的21倍还多3。再换个说法就是：被除数与除数的和比除数的“21+1”倍还多3。
题目中第二句话换个说法是：被除数与除数的和是225-(21+3)=201。
整个题目的意思换个说法就是：201比除数的22倍多3。从而可以先求出除数是：(201-3)÷22=9
可求出被除数是：21×9+3=192
小学奥数解题方法12——抓不变量
数学题中，常常会出现数量的增减变化，但这些量变化时，与它们相关的另外一些量却没有改变。这种“不变量”往往在分析数量关系时起到重要作用。
例一 今年小明8岁，小强14岁。几年后小明和小强岁数的和是40岁?
从年龄上不变来找解题的“突破口”
小明和小强的年龄差是：14-8=6(岁)
小明那一年是：(40-6)÷2=17(岁)
是在几年之后呢?17-8=9(年)
例二 王进和张明计算甲、乙两个自然数的积(这两个自然数都比1大)。王进把甲数的个位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。两个数的积究竟是多少?
91=7×13 =1×91 ，所以175和91的公约数是1或7，因为乙数比1大，所以乙数一定是7。
抓住：一个因数(乙数)没有变 ，乙是91和175的公约数
91÷7=13……王进看错了的甲数
175÷7=25……张明看错了的甲数。
15×7=105
小学奥数解题方法13——找隐蔽条件
应用题中的隐蔽条件，往往是分析问题的突破口或者是最关键的一步。所以，审题时如果感到缺少条件，你不妨提醒自己：有没有什么隐蔽条件?
一个家庭由丈夫、妻子、女儿和儿子组成，他们的年龄和是73岁。丈夫比妻子大3岁，女儿比儿子大2岁。4年前这个家庭成员的年龄和是58岁。请问：这个家庭成员现在的年龄各是多少岁?
隐蔽条件，可以推知：儿子今年才3岁。
由“女儿比儿子大2岁”可以算出女儿今年是：3+2=5(岁)
从而可知，丈夫与妻子现在的年龄和是：
73-(5+3)=65(岁)
由他们的年龄差是3岁，容易算出丈夫今年是：
(65+3)÷2=34(岁)
妻子今年是：65-34=31(岁)
一个等腰三角形的周长是24厘米，其中有一条边长是6厘米，求另外两条边的长。
等腰三角形的腰不能是6厘米，所以只能底是6厘米 另两条边： ( 24- 6)÷2=9(厘米)
小学奥数解题方法14——整体看问题
从整体上观察思考，全面地审题。
例一 有甲、乙、丙三种货物。如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去 3.15元;如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去 4.20元。现在买甲、乙、丙各1件，需要花多少钱?
买甲3件，乙7件，丙1件，花3.15元 ①
买甲4件，乙10件，丙1件，花4.20元 ②
要想求出买甲1件，乙1件，丙1件，共需花多少钱，必须使上述①与②中对应的“件数”相差1。
为此，可转化已知条件：
将条件①中的每个量都扩大3倍，得：
买甲9件，乙21件，丙3件，花9.45元 ③
将条件②中的每个量都扩大2倍，得：
买甲8件，乙20件，丙2件，花8.40元 ④
所以，买甲、乙、丙各一件，共需要花的钱数为
9.45-8.40=1.05(元)
例二 一条马路长2000米，老张在马路的一端，老李在马路的另一端。他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行。老张每分钟走60米，老李每分钟走40米。老张带着一条狗，狗每分钟跑120米。这条狗与老张一同出发，碰到老李时就向老张跑，碰到老张又向老李跑，……直到老张与老李相遇。问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米?
提示：不需要把狗每趟所跑的路分别算出来，只要用它的速度乘一共所跑的时间就可以了。
小学奥数解题方法15——分情况讨论
对于那些缺少条件，看上去无法回答的问题，经过全面深入的思考，分几种情况来讨论，是可以
找到问题的完整(全部)答案的。
例一 甲地到乙地的公路长400千米，两辆汽车从两地同时出发对开，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。出发几小时后两车相距80千米?
例二 在连续的49年中，最多可以有多少个闰年?最少应该有多少个闰年?
49年中有几个4年，一般就有几个闰年
在通常情况下，连续49年中有12个闰年。
49年必须是连续的。但它没有规定这49年的起止时间。
但，当第一年是闰年时，最后一年也正好是闰年
例三 把一根竹竿垂直插入水中，在竹竿上刻上一个记号表示水深;再把这根竹竿掉过头来插入水中，也刻上一个记号表示水深。已知两个记号相距10厘米，是水深的十分之一。求竹竿的长。
一种：水深：10×10=100(厘米)
竿长： 100+100+10=210 (厘米)
另一种：水深：10×10=100(厘米)
竿长：100+100-10=190 (厘米)
例四 一根铁丝可以弯成长、宽分别是4厘米、3厘米的长方形。如果用这根铁丝弯成两个相同的正方形，每个正方形面积是多少?
(4+3)×2=14(厘米)
14 ÷8=1.75(厘米)1.75 × 1.75=3.0625(平方厘米)
(4+3)×2=14(厘米)
14 ÷7=2(厘米)2 × 2=4(平方厘米)
小学奥数解题方法16——逐步调整
你可以根据题中的部分条件，找到一个与正确答案比较接近的“准答案”，然后再对它进行修改或调整。这样一步一步地逼近，最后一定会得到符合题中所有条件的正确答案的。
小学奥数解题方法17——合理变形
把算式合理变形，是我们进行简便计算最常用的方法。
99×99+199
=(100-1)x(100-1)+200-1 =100x100-100-100+1+200-1 =10000
合理的变形可以使解题过程变得简捷而灵活。怎样的变形才是“合理”的呢?
(1)题目变形之后，要使隐蔽的简算特点暴露出来;
(2)只能变“形”，而不能改变数的大小。
小学奥数解题方法18——用字母表示数
方方、圆圆、丁丁、宁宁四个小朋友共有45本书，但是不知道每人各有几本书。如果变动一下：方方的减少2本，圆圆的增加2本，丁丁的增加一倍，宁宁的减少一半，那么四个小朋友的书就一样多。问：每个小朋友原来各有几本书?
解：设一样多是x本。
X+2+X-2+X ÷ 2+2X=45
X=10
方方：10+2=12 丁丁：10 ÷ 2=5
圆圆：10-2=8 宁宁：2X=20
小学奥数解题方法19——借来还去
我国民间流传着这样一个故事，一位老人临终时决定把家里的17头牛全部分给三个儿子。其中大儿子分得二分之一，二儿子分得三分之一，小儿子分得九分之一，但不能把牛杀掉或卖掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居用“借来还去”法顺利地把17头牛分完了。
某汽水厂规定：用3个空汽水瓶可换一瓶汽水，某人买了10瓶汽水，问他总共可喝到几瓶汽水?
如果3个空瓶可换1瓶汽水，那么有2个空瓶就可喝到1瓶汽水。这是因为：
有了2个空瓶，再到别人那里“借来”1个空瓶，就可换来1瓶汽水，喝完把空瓶给别人“还去”，这时不欠不余。
10瓶汽水喝完后得10个空瓶， 10个空瓶又可换来5瓶汽水，总共可喝到“ 10+5=15”瓶汽水。
二、 小学奥数6大类重要知识点总复习
小学奥数知识点众多，可分为6大类，数论、行程问题和分数应用是重点也是难点。
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计算能力 |
速算巧算、分数百分数、循环小数、分数拆分、四则混合运算等等 |
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基础知识 |
和差倍、年龄、植树、周期、鸡兔同笼、方阵、逻辑、容斥、排列组合等 |
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图形问题 |
平面图形、立体图形、几何图形、周长面积、表面积计算、阴影部分等等 |
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数论问题 |
整除、余数、奇数偶数、因数倍数、质数合数、平方数、进制等 |
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行程问题 |
行程、相遇、追及、流水、过桥过山洞、时钟、圆周、发车间隔等 |
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分数应用 |
巧设单位一、折扣、浓度、比和比列、按比例分配等 |
第一部分 计算能力
1. 运算顺序
第一级：括号：（ ）→[ ]→{ }
第二级：×÷：同一级运算可以交换运算次序
第三级：＋－：同一级运算可以交换运算次序
注意：同一级运算交换运算次序时，要带着前面的符号进行交换，然后运算。
2. 去括号：
① a＋(b＋c)=a＋b＋c a＋(b－c)=a＋b－c
② a－(b＋c)=a－b－c a－(b－c)=a－b＋c
③ a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c
④ a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c
3. 分配率
乘法：a×(b＋c)=a×b＋a×c a×(b－c)=a×b－a×c
除法：(a＋b)÷c=a÷c＋b÷c (a－b)÷c=a÷b－b÷c
4. 两个必须掌握的性质
两数之和一定，则两数越接近，乘积越大，两数相等时，乘积最大；
两数乘积一定，则两数越接近，和越小，两数相等时，和最小。
5. 速算与巧算常用基本方法：
凑整法、改变运算次序法、基准法、分组法、拆分法、倒置相加法、错位相减法、构造法等。
6. 几个常用计算公式：
等差数列：和= 公差=
首项= 末项=
项数=
平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)
完全平方公式：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2
7. 拆分列项公式（主要运用于分数的简便运算）
|
我教: |
|
【例一】：393＋404＋397＋398＋405＋401＋400＋399＋391＋402
=400－7＋400＋4＋400－3＋400－2＋400＋5＋
400＋1＋400＋400－1＋400－9＋400＋2
=400×10－7＋4－3－2＋5＋1－1－9＋2
=4000－10
=3990
【例三】：100＋99＋98－97－96－95＋…＋10＋9＋8－7－6－5＋4＋3＋2－1
=（100－97）＋（99－96）＋（98－95）＋（94－
91）＋…（10－7）＋（9－6）＋（8－5）＋（4
－1）＋3＋2
=
=150＋2
=152
巩固练习
1. 376＋385＋391＋381＋377＋389＋383＋374＋366＋378
3. 2010 ÷2010
|
【例二】：
=
=
=
=
=
=
【例四】：比较下面A，B两数的大小：A=2011×2011，B=2010×2012
法一：2011＋2011=2010＋2012=4024
根据两数之和一定，两数越接近，两数成绩越大，得：A＞B
法二：A=20112
B=（2011－1）（2011＋1）=20112－1
所以，A＞B
2. 1÷50＋2÷50＋3÷50＋…＋50÷50
4. 2010÷2010
|
【家庭作业】：
1. 2.
3. 1000减去它的一半,再减去余下的三分之一,再减去余下的四分之一,依此下去,直到余下的五百分之一,最后剩下 .
4. 5.
6. 7.
8.
9. .
10. .
第二部分 基础知识
基础知识点列表：
|
序号 |
知识点名称 |
序号 |
知识点名称 |
序号 |
知识点名称 |
|
1 |
归一归总 |
7 |
盈亏问题 |
13 |
逻辑问题 |
|
2 |
和差问题 |
8 |
周期问题 |
14 |
数字谜 |
|
3 |
和倍问题 |
9 |
鸡兔同笼问题 |
15 |
一笔画 |
|
4 |
差倍问题 |
10 |
方阵问题 |
16 |
加法乘法原理 |
|
5 |
植树问题 |
11 |
抽屉问题 |
17 |
排列组合 |
|
6 |
年龄问题 |
12 |
容斥问题 |
18 |
牛吃草问题 |
基础知识这一块总体来说比较简单，但他蕴含了小学奥数的思维基础，大部分题目都是以这些基础知识点为基础展开的，因此，希望大家在轻松之余体验小学奥数的精髓，寻找解题的灵感，为后面的重点学习做准备。
|
我教: |
你学： |
|
一、归一问题
【含义】：在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫归一问题。
【数量关系】：总量÷份数=单一量
单一量×所占份数=所求份数的量
另一总量÷单一量=所求份数
【解题思路】：先求出单一量，然后根据题目要求求所需量。
【例1】：买5支铅笔要0.6元，买同样的铅笔16支，需要多少钱？
解：（1）先求出单一量：0.6÷5=0.12（元）
（2）再求另一总量：0.12×16=1.92（元）
列成综合算式：0.6÷5×16=1.92（元）
答：需要1.92元钱。
二、归总问题
【含义】：解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】：单一量×份数=总量
总量÷单一量=份数
总量÷另一份数=另一单一量
【解题思路】：先求出总量，再根据题目要求求所需量。
【例2】：服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？
解：（1）先求出总量：3.2×791=2531.2（米）
（2）再求另一份数：2531.2÷2.8=904（套）
列成综合算式：3.2×791÷2.8=904（套）
答：现在可以做904套。
三、和差问题
【含义】：已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】：大数=（和＋差）÷2
小数=（和－差）÷2
【解题思路】：根据题目信息找出其中的和差关系，利用公式解答。
【例3】：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？
解：甲班人数：（98＋6）÷2=52（人）
乙班人数：（98－6）÷2=46（人）
答：甲班有52人，乙班有46人。
四、和倍问题
【含义】：已知两个数量的和即他们的倍数关系（大数是小数的几倍或小数是大数的几分之几），求这两个数量各是多少，这类应用题叫和倍问题。
【数量关系】：总和÷（倍数＋1）=小数
总和－小数=大数
小数×倍数=大数
【解题思路】：根据题目信息找出其中的和倍关系，利用公式解答。
【例4】：果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵树是杏树的3倍，求杏树、桃树各是多少棵？
解：杏树：248÷（3＋1）=62（棵）
桃树：62×3=186（棵）
答：杏树有62棵，桃树有186棵。
五、差倍问题
【含义】：已知两个数量的差即他们的倍数关系（大数是小数的几倍或小数是大数的几分之几），求这两个数量各是多少，这类应用题叫差倍问题。
【数量关系】：差÷（倍数－1）=小数
差＋小数=大数
小数×倍数=大数
【解题思路】：根据题目信息找出其中的差倍关系，利用公式解答。
【例5】：果园里桃树的棵树是杏树的3倍，且桃树比杏树多124。求杏树、桃树各是多少棵？
解：杏树：124÷（3－1）=62（棵）
桃树：62×3=186（棵）
答：杏树有62棵，桃树有186棵。
六、植树问题
【含义】：在直线或者曲线上等距离植树（或设路灯、插彩旗等），求棵树的一类问题，叫植树问题。
【数量关系】：
①、在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树，基本公式：
棵数=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长
②、在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树，基本公式：
棵数=段数－1；棵距（段长）×段数=总长
③、在封闭曲线上植树，两端只取其中一端，基本公式：
棵数=段数；棵距（段长）×段数=总长
【解题思路】：具体分析题意，确定题目所属类型，从而确定棵树与段数的关系。
【例6】：一条河堤长136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵垂柳？
解：136÷2＋1=69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
七、年龄问题
【含义】：这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
【数量关系】：年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路】：抓住“年龄差不变”这个特点解题。年龄总和则是几个人每年就增长几岁。
【例7】：爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢?
解：35÷5=7（倍）
（35＋1）÷（5＋1）=6（倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
八、盈亏问题
【含义】：根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】：一般都说，在两次分配中：
一盈一亏：总人数=（盈＋亏）÷分配差
双盈：总人数=（大盈－小盈）÷分配差
双亏：总人数=（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路】：先确定盈亏情况，再进行计算。
【例8】：给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？
解：（11＋1）÷（4－3）=12（人）
3×12＋11=47（个）
答：有12个小朋友，有47个苹果。
九、周期问题
【含义】：事物在变化过程中，某些特征有规律的循环出现，成为周期现象，重复出现的部分称为周期部分。
【解题思路】：仔细审题，找出其中规律，利用除法算式求余数，根据余数得到在周期中的位置，确定答案。如果除得没有余数，则是周期中的最后一个。
【例9】：甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取牛奶是星期一，那么他第100次取牛奶是星期几？
解：21天内，每人取牛奶7次，甲第8次取牛奶又是星期一，因此将21天（甲取牛奶7次）看做一个周期：
100÷7=14……2（第二次是星期四）
答：他第100次取牛奶是星期四。
十、鸡兔同笼
【含义】：这是古典的算术问题，已知笼子里鸡、兔共有多少只和共有多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题，已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少只的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【解题思路】：解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。另外，在解决鸡兔同笼问题的时候，还可以使用“站立法”、“捆绑法”。
【例10】：一个农户有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，鸡、兔各有多少只？
解：（140－50×2）÷（4－2）=20（只）
50－20=30（只）
答：有鸡30只，有兔20只。
十一、方阵问题
【含义】：将若干人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】：
①.方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数=（每边人数－1）×4
每边人数=四周人数÷4＋1
②.方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数=每边人数×每边人数
内边人数=外边人数－层数差×2
③若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数=（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路】：方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
【例11】：在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？
解：22×22=484（人）
答：参加体操表演的同学一共有484人。
十二、抽屉原理
【含义】：把3只苹果放进两个抽屉，会出现哪些结果呢？会发现，无论怎么放，一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉问题。
【数量关系】：基本的抽屉原则：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素，那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。通俗的说，如果元素的个数是抽屉个数若干倍多一些，那么至少有一个抽屉要放比倍数还多一个或者更多的元素。
【解题思路】：①. 改造抽屉，指出元素；
②. 把元素放入（或取出）抽屉；
③.说明理由，得出结论。
【例12】：育才小学有367个2000年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的?
解：2000年是润年，共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个学生看作“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。这说明至少有2个学生的生日是同一天。
十三、容斥原理
【解题思路】：
公式法：直接应用包含与排除的概念和公式进行求解
容斥原理一：C=A＋B－AB，利用这一公式可计算出两个集合圈的有关问题。
容斥原理二：可计算三个集合圈的有关问题。
D=A＋ B＋C－AB－AC－BC＋ABC
图像法：不是利用容斥原理的公式计算，而是画图，借助图形帮助分析，逐块地计算出各个部分，从而解答问题。
【例13】：某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都得优的有12人。全班得优共有多少人？
解：15＋24－12=27（人）
答：全班得优27人。
十四、逻辑推理
【解题思路】：逻辑推理需要遵循逻辑思维的基本规律——同一律，矛盾律和排中律。
①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。
②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假。
③“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。
【例14】：甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：“甲是2号，乙是3号。”
钱说：“丙是4号，乙是2号。”
孙说：“丁是2号，丙是3号。”
李说：“丁是4号，甲是1号。”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几号？
解：假设赵说的前半句为真，即甲是2号。则李的后半句错误，所以丁是4号；于是孙的前半句错误，所以丙是3号；再有钱的前半句错误，所以乙是2号，与甲是2号矛盾，假设错误。因此，赵的后半句为真，乙是3号，则丙是4号，丁是2号，甲是1号。
十五、数字谜
【含义】：数字谜语是一种有趣的数学问题。它的特点是给出运算式子，但式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字。
【解题思路】：步骤：
1、先确定明显部分的数字
2、寻找突破口，缩小范围
3、分情况讨论
【例15】：下题中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，当他们各代表什么数字时，算式成立？
解：一个四位数乘以9仍得一个四位数，所以“我”只能是1，而“学”只能是9，进一步推算，可以得到，“我”=1，“爱”=0，“数”=8，“学”=9。
十六、一笔画
【解题思路】：一笔画性质：
①.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点位终点画完此图；
②.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
③.其它情况的图一般都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。）
【例16】：下图是一个公园的道路平面图，要使乘客走遍每条路且不重复，问出入口应设在哪里？
解：因为此图只有两个奇点（E点和I点），根据一笔画性质2，可得出入口应分别设在E点和I点。
十七、加法乘法原理
【解题思路】：加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
【例17】：下图中的“我爱数学杯”有几种不同的读法？
解：2×2×2×2=16（种）
十八、牛吃草问题
【含义】：牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】：草总量=原有草量＋草每天生长量×天数
【解题思路】：解答这类问题的关键是求出草每天的生长量。
【例18】：一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解：（10×20－15×10）÷（20－10）=5
10×20－5×20=100
（100＋5×5）÷5=25（头）
答；需要25头牛。
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1. 3台拖拉机3天耕地90公顷，5台拖拉机6天耕地多少公顷？
【家庭作业】：5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？
2. 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？
【家庭作业】：食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天吃完。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？
3.①. 已知一个长方形的长比宽多2厘米，周长是36厘米，求长方形的面积。
3.②. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
【家庭作业】：甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？
4.①. 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？
4.②. 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
【家庭作业】：甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
5.①. 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子的4倍，求父子二人今年各是多少岁？
5.②. 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，这两月盈利各是多少万元？
【家庭作业】：粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各10吨，多少天后，玉米是小麦的12倍？
6.①. 甲乙丙三人锯同样粗细的钢条，分别领取1.6米，2米，1.2米长的钢条，要求按0.4米规格锯开，劳动结束后，甲乙丙分别锯了24段，25段，27段，谁锯钢条的速度最快？
6.②. 某一淡水湖的周长是1350米，在湖边每隔9米种柳树一株，在两株柳树中间种植2株夹枝桃，可栽柳树多少株？可栽夹枝桃多少株？两株夹枝桃之间相距多少米？
【家庭作业】：一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?
7.①爸爸今年37岁，女儿7岁，几年后爸爸年龄是女儿的4倍？
7.②. 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年各是多少岁？
【家庭作业】：甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁。”求甲乙现在的岁数各是多少？
8. 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？
【家庭作业】：学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？
9.①. 2012年的6月1日是星期五，那么2013年的6月1日是星期几？
9.②. 果园里要种100棵果树，要求每六棵为一组。第一棵种苹果树，第二、三棵种梨树，后面三棵种桃树。那么最后一棵应种什么树？在这100棵树种，有苹果树、梨树、桃树各多少棵？
【家庭作业】：小明把收集起来的硬币按四个1分，三个2分，两个5分这样的顺序往下排。那么，他排的第111个硬币是几分硬币，这111个硬币共多少元？
10.①. 鸡兔同笼，共有足248只，兔比鸡少52只，那么兔有多少只，鸡有多少只？
10.②. 班主任张老师带四年级甲班50名同学栽树，张老师一人载5棵，男生一人载3棵，女生一人载2棵，总共栽树120棵。共有几名男生，几名女生？
【家庭作业】：有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对，（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？
11.①. 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
11.②. 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？
【家庭作业】：一堆棋子，排列成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？
12.①. 有四种颜色的小旗，任意取出三个排成一排表示各种信号，在200个信号中至少有多少个信号相同？
12.②. 书法竞赛的奖品是笔、墨、纸、砚四种，每位获奖者可任选其中两种奖品。问至少应有多少名获奖同学，才能保证其中必有4个同学得到的奖品完全相同？
【家庭作业】：一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个，某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少取出多少个球，长能保证至少有4个球颜色相同？
13. 某班共50人，参加课外兴趣小组学书法的32人，学绘画的28人，其中两种都学的15人，这个班级还有多少人没参加兴趣小组？
【家庭作业】：从1到100的自然数中，
（1）不能被6和10整除的数有多少个？
（2）至少能被2，3，5中一个数整除的数有多少个？
14. 甲、乙、丙三名教师分别来自浙江、江苏、福建，分别教数学、语文、英语。根据下面的已知条件：
（1）甲不是浙江人，乙不是江苏人；（2）浙江的教师不教英语；（3）江苏的教师教数学；（4）乙不教语文。则丙教什么学科？
【家庭作业】：执行一项任务，要派A、B、C、D、E五人中的一些人去，受下述条件约束：（1）若A去，B必须去；（2）D、E两人至少去1人；（3）B、C两人只能去1人；（4）C、D两人都去或都不去；（5）若E去，A、D两人也必须去。问应派哪些人去？
15.①. 每个汉字代表的数字是多少？
15.②. 下边的算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，如果巧＋解＋数＋字＋谜=30，那么“巧解数字谜”所代表的五位数是多少？
【家庭作业】：A、B各代表什么数字？
16. 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁会先到邮局？
【家庭作业】：邮递员从邮局出发送信，走过如图的所有道路后再回到邮局。图中各横道、竖道之间的道路是平行的，邮递员要走遍所有的邮路至少要走多少千米？
17.①. 有红、黄、蓝、绿、黑五种颜色的彩笔，每两种颜色的彩笔为一组，最多可以配成不重复的几组？
17.②. 有6张卡片，分别写着2，3，4，5，6，7，现在从中取出3张卡片，并排放在一起，形成一个三位数，
那么共有多少个不同的三位奇数？
【家庭作业】：从1、2、3、4、5中任意选两个数组成一个真分数，能组成多少个真分数？
18.①. 有一块草场，可供15头牛吃8天，或可供8头牛吃20天。如果一群牛14天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头？
18.②. 有一条船因触礁破了一个洞，海水均匀地进入船内，发现船漏时，船已经进了一些水。如果12个人淘水则3小时可以把水淘完；如果5个人淘水则10小时把水淘完，如果需要2小时内淘完水，需要多少人？
【家庭作业】：自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩子每分钟走20级梯级，女孩子每分钟走15级梯级。结果男孩子用5分钟到达楼上，女孩子用6分钟到达楼上，该扶梯共有多少级？
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第三部分 数论知识
数论知识点列表：
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序号 |
知识点名称 |
序号 |
知识点名称 |
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1 |
定义新运算 |
5 |
奇数偶数 |
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2 |
数的整除 |
6 |
平均数 |
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3 |
因数倍数 |
7 |
整数进制 |
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4 |
质数合数 |
8 |
余数与同余 |
数论由于比较抽象，是小学数学的重点也是难点，而且小学数论与中学的代数有着密切的联系，因此我们必须高度重视。
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我教: |
你学： |
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一、定义新运算
【含义】：定义一种新的运算符号，这个心的运算符号包含有多重基本（混合）运算。严格按照新定义的运算规则，把一指的数带入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。正常理解定义的运算符号的意义。注意事项：
①．新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②．每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
【例1】：规定a※b= ，则2※2※10的值是多少？
解：（1）2※2= =1
（2）1※10= =
二、数的整除
【含义】：常见的数的整除特征有：
1. 能被2整除：个位是0，2，4，6，8的数（一切偶数）；
2. 能被5整除：个位是0或5的数；
3. 能被3整除：各数位上的数字之和能被3整除。
4. 能被9整除：各数位上的数字之和能被9整除。
5. 能被4（25）整除：末两位能被4（25）整除
6. 能被8（125）整除：末三位能被8（125）整除
7. 被11整除的数特征：奇数位上的数字和雨偶数位上的数字和作差（大数减小数），所得的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
8. 能被7（或11、13）整除：一个自然数末三位数字所组成的数与末三位以左的数字所组成的数相减（大数减小数）所得的差，能被7（或11、13）整除，那么这个数也能被7（或11、13）整除。
【例2】：一个六位数 能被105整除，求这个六位数。
解：105=3×5×7，所以这个数要同时被3、5、7整除，被5整除，则
①y=0， ，2＋3＋x的和是3的倍数，x=1或4或7，分别代入，只有当x=4的时候，340－200=140，是7的倍数，所以是200340；
②y=5， ，2＋3＋x＋5的和是3的倍数，x=2或5或8，分别代入，没有满足条件的数。
因此，这个六位数是200340。
三、因数与倍数
【含义】：因数倍数：若整数a能被b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。
公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公倍数。
最大公因数的性质：
1.几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。
2.几个数的最大公因数都是这几个数的因数。
3.几个数的公因数都是这几个数最大公因数的因数。
4.几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以m。
求最大公因数的基本方法：
1.分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2.短除法：先找公有的因数，然后连乘。
3.辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。
4.更相减损术：可半者半之，然后大数减小数，再用差和减数作差，直到减数和差相等，即为最小公倍数。
最小公倍数的性质：
1.两个数的任意公倍数都是他们最小公倍数的倍数。
2.两数之积等于他们的最大公因数与最小公倍数的乘积。ab=（a，b）×[a，b]
求最小公倍数基本方法：
1.短除法求最小公倍数
2.分解质因数的方法
【例3】：和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？
解：分解质因数，1111=11×101
假设这个最大公因数为a，根据最大公因数性质1，这几个自然数除以a之后所得的四个数互质，他们的和最小为10，因此，取1＋2＋3＋5=11，他们的最大公因数最大能够是101。
四、奇数与偶数
【含义】：所有自然数按能否被2整除分类，被分成奇数和偶数两类。最小的奇数为1，最小的偶数为0。
奇数和偶数的一般计算性质：
1.奇数±奇数=偶数 2.偶数±偶数=偶数
3.奇数±偶数=奇数 4.偶数±奇数=奇数
5.奇数×奇数=奇数 6.偶数×偶数=偶数
7.奇数×偶数=偶数 8.奇数÷奇数=奇数
9.奇数的连乘积永远是奇数，若干个整数连乘，如果其中有一个是偶数，那么乘积一定为偶数。
10.相邻两个自然数的和必为奇数，相邻两个自然数的乘积必为偶数。
11.两个整数之和与他们的差有着相同的奇偶性。
12.奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数。
13.一般，奇数用2a＋1表示，偶数用2a表示。
【例4】：10个不同的自然数之和等于80，在这10个自然数中，最多有多少个奇数？
解：80是偶数，因此这10个数中奇数的个数必为偶数，首先考虑10个奇数，发现即使是最小的连续10个奇数，他们的和也大于80，因此考虑8个奇数，，个最小的连续奇数的平均数正好是8，只要再找两个平均数是8的偶数即可。因此最多有8个奇数。
五、质数与合数
【含义】：质数：因数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。
合数：除了1和它本身，还有其他因数的数叫做合数。
质因数：如果某个质数是一个数的因数，那么这个质数是这个数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。
【数量关系】：分解质因数的标准表示形式：
N=2a×3b×5c×7d×11e…（其中a、b、c、d、e表示各个质数的个数，可以为0）
求一个数的因数个数公式：
P=（a＋1）（b＋1）（c＋1）（d＋1）（e＋1）…
（P为某个数的因数的个数）
【例5】：已知两个质数的和是40，这两个数的积最大是多少？
解：40=17＋23
17×23=391
答：这两个质数的积最大是391。
六、平均数
【基本公式】：①平均数=总数量÷总分数；
总数量=平均数×总份数；
总份数=总数量÷平均数。
②平均数=基准数＋差的平均数
【基本思路】：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算；
②利用基准数法进行计算：从给出的数中，确定一个数作为基准数，一般选与所有数都比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求出所有给出数与基准数的差，再求出所有差的和，然后求出这些差的平均数，最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数。
【关键问题】：确定总量与份数分别是多少，以及几个总量之间的关系。
【例6】：有五个数，平均数是9，如果把其中一个数改为1，这五个数的平均数为8，这个改动的数原来是多少？
解：9×5-8×5＋1=6
答：这个改动的数原来是6。
七、整数进制
【含义】：我们所学的计数都是十进制的，但事实上，还有其他进制计数方法。
【数量关系】：
①、其它进制化十进制：基加权
②、十进制化其它进制：短除法
③、非十进制间的互化：用十进制做桥梁
【例7】：将（10001）2化成十进制。
解：1×24＋1=17
八、同余问题
【含义】：所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。
【数量关系】：
1、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。（60后面的“n”请见4，下同）
2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即上面1、2、3中的60n）都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
【基本思路】：同余问题的一个主要特性：若几个数除以某个自然数a，所得的余数都相同，那么自然数a能整除其中任两个数的差。
【例8】：求 的余数是多少？
解：根据倍7整除的特征，没6个1都能被7整除。
2012÷6=335…2
11÷7=1…4
答：余数是4。
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1.①. 对于任意正整数，定义：n!=1×2×3×…×n。例如：5!=1×2×3×4×5=120。那么1!＋2!＋3!＋…＋2012!和的个位数字是几？
1.②. 对于任意的自然数a，b，定义：
f(a)=a×a－1，g(b)=b÷2＋1。
（1）求f(g(6))－g(f(3))；
（2）已知f(g(x))=8，求x的值。
【家庭作业】：若用ψ(a)表示a的所有因数的个数，例如ψ(4)=3，求ψ(ψ(18))的值是多少？
2.①. 书法兴趣小组的72名同学每人都买了一本相同的字帖，共计A85.B元，你能算出每本字帖多少钱吗？
2.②. 七位数12MNMNM能被6整除，这样的七位数有多少个？
【家庭作业】：从0、1、3、5这四个数字中任选3个组成没有重复数字且同时能被2、3、5整除的三位数共有多少？
3.①. 李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种树一样多，则这个班共有学生多少人？
3.②. 有一根180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？
3.③. 自然数360有多少个因数？
【家庭作业】：定义一种新运算＃满足：
a＃b=（a，b）＋[a，b]
求：①14＃4 ；②6＃x=33
4.①. 任意取1996个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
4.②. 已知a、b、c有一个为5，有一个为6，有一个为7，那么：（a－1）（b－2）（c－3）的积是奇数还是偶数？
【家庭作业】：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？
5.①. A、B、C为三个质数，它们的和为30，且A＜B＜C，求：当它们的乘积最大时，这三个数分别是多少？
5.②. 已知pq－1=x，其中q、p是质数且均小于1000，x是奇数，求x的最大值。
【家庭作业】：有五个同学的年龄恰好一个比一个大一岁，五个人的年龄乘积是95040，问这五个同学的年龄各是多少？
6.①. A、B、C、D四个数的平均数是75，A与B的平均数比C与D的平均数多2，A是90，B是多少？
6.②. 某校有100名学生参加第四届小学“希望杯”数学竞赛，平均分是63分，其中参赛男同学平均分是60人，女同学平均分是70分，那么该校参赛男同学和女同学各多少人？
【家庭作业】：某人上山速度为4千米每小时，下山速度为6千米每小时，求此人上下山的平均速度。
7.①. 将（821）9化成十进制。
7.②. 将（147）10化成七进制。
【家庭作业】：将（2761）8化成五进制。
8.①. 求 的余数是多少？
8.②. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？
【家庭作业】：有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几？
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