快乐课堂学数学

快乐课堂学数学-高中数学必修1-多余老师趣讲“对数”

快乐课堂学数学-高中数学必修1-多余老师趣讲“对数”

 

如果本贴中的数学格式不正常，请看该处：

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一、“真”“对”到底是什么？

学习对数一定要牢记-“对数来源于指数”

对于ab=N，则有logaN=b

所以，在实际使用时，可记住-“对数就是指数”，“真数就是幂”。

 

二、为什么真数大于0？对数的底数要大于0且不等于1？

 

根据“对数来源于指数”，“对数就是指数”，“真数就是幂”，研究一下指数的限制：

1. 由于0不能做分母，所以当底数为0时，其指数不能为负数。

2. 由于负数不能开偶次方，所以当底数为负数时，其指数中的分母不能为偶数。

由于以上两点对指数有限制，同时，由于1的任何次方都仍等于1，

所以，在指数函数中规定了的底数大于0且不等于1。

顺理成章地，在对数中，也规定了底数大于且不等于1。

 

由于底数大于0，则幂也一定大于0。

所以，在对数中，真数大于0，即负数和0没有对数。

 

三、对数运算和变形的巧记忆

    

根据“对数来源于指数”，“对数就是指数”，“真数就是幂”，

所以，对数的运算就来源于幂的运算：

1、根据“同底数幂（真数）相乘，指数（对数）相加。”

   可得出-“同底对数（指数）相加，真数（幂）相乘”。

2、根据“同底数幂（真数）相除，指数（对数）相减。”

   可得出-“同底对数（指数）相减，真数（幂）相除”。

提示：对数的加、减运算，只能在同底时进行。如果不同底，则不能进行运算。

 

3、根据“幂的乘方，指数相乘”。

   可得出-“真数(幂)带指数,指数相乘(即幂的指数乘对数)”。

4、根据“开方，统一为乘方形式，指数为倒数”。

   可得出-“底数带指数,指数变倒数后相乘”。

        如:log(23)8=log28

        其证明过程为:

        令(23)x=8

        即(2x)3=8,2x=81/3

        改成对数形式即为x=log(23)8=log281/3=log28

    

既然是研究对数的运算，上面已经说过同底对数的加、减运算，那么同底对数如何进行乘、除运算呢？

    这就要说到“换底公式”:对数可变换成同底对数相除.

    logAB=logNB/logNA

    其证明过程为:

    令logAB=x

    即Ax=B

    则logNAx=logNB

    xlogNA=logNB

    从而得出logAB=X=logNB/logNA

这样，根据换底公式，“同底对数相除，同底消失，变成对数。”

 

根据换底公式，解决了同底对数相除，可同底对数相乘，又如何呢？

结果是，同底对数相乘，不能进行运算。

但为了弥补同底对数相乘不能运算的遗憾，换底公式又给我们提供了一种特殊情况下的对数相乘的运算。

    如:log23×log32=1

    这种情况可总结为:对数“互倒”,相乘得1.

当然，当对数存在有隐藏“互倒”关系时，也能进行相乘。

 

研究完了对数的四则运算，我们再从上面的3和4两项开始，再研究一下指数的变化问题。

在对数中，真数带有指数、底数带有指数，都可进行变形。那么，对数带有指数，又如何呢？

如：log252，对数带有指数，其实就是，同底对数相乘，不能进行运算。

当计算时，出现对数带有指数的情况，只有想办法把这个指数消掉。

对数带指数，因式分解，消次后再计算。

 

可是，数学很奇妙！

对数带指数，不能运算。

但如果对数自己做为指数，却会出现一种相当有趣而简单的变形：

    乘方中指数是同底对数,底数抵消,就剩真数.

    如:2log25=5

    其证明过程为:

    令log25=x

    即2x=5

    所以2log25=5

    对于AlogAB=B,其理由就是因为AX=B,所以AX=B.

 

• 几句多余的话

1、课程标准对于对数这个知识点的要求是：理解对数的概念，掌握对数的基本运算。

学习对数，主要是为学习对数函数，做必要的铺垫。对数函数才是重点。

而且，在高考时，基本见不到对数运算的题目。

所以，多余老师建议，对于文科生，只要记住上面的重点（粗体字），对于其来源和证明过程，可不做研究。

而对于理科生，一定要知其然，更要知其所以然，这对于培养理科思维，大有益处。

 

2、高考时，基本见不到对数运算的题目，可是在学习对数时，学校为什么会出那么多各种情况的计算题呢？

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的学科。

即数学研究“数”与“形”，在学习解析几何时，对此的理解会更深刻一些。

所以，数学中的“数”，指的是数量关系，

但是，在中国的数学史上，“数学”这个词出现得很晚。我们在历史上，称之为“算学”。

甚至，在稍早前的中小学学科中，就没有数学。

小学叫“算术”，中学则分为“代数”和“几何”。

我们从小学一年级的数学开始，就离不开大量的计算。到了高中，好不容易出现了对数计算，老师们还不把学生玩晕、玩死呀。

对数计算前面，虽已出现指数计算，但指数计算太简单，没玩头。还是对数计算，好玩。

 

言归正传，多余老师还是要告诉理科生们，在中国这块土地上，计算不过关，理科别想拿高分。

而且，在学校学习到计算内容时，题目往往是把已学过的所有计算进行汇总。

也就是说，在每学到一项新的计算时，都会对以前的计算进行复习。

当你感觉解决题目困难时，要么是相关概念不清、理解不透彻，要么是以前的某些内容没掌握好。

 

• 两道题

1分半内做出，优秀；3分钟内做出，良好；5分钟内做出，合格。

 

1. 已知log5[log1/5（log5z）]=log3[log1/3（log3y）]=log2[log1/2（log2x）]=0，则下列关系中成立的是（    ）

A.x<y<z        B.y<z<x        C.z<x<y        D.z<y<x

 

1. 设a、b、c都是正数，且3a=4b=6c，那么（    ）

A.1/c=1/a+1/b    B.2/c=2/a+1/b   C.1/c=2/a+2/b    D.2/c=1/a+2/b

 

提示:

1. 直接求出x、y、z的值，再进行指数比大小。

2. 在已知中a、b、c都是指数，用对数进行表示；在答案选项中a、b、c都在分母，因此需根据换底公式，变倒数