【原】高考倒计时，再读指数函数，不要错过这块必考分数

指数函数是进入高中阶段后，大家要学的第一类函数，指数函数作为高中数学当中非常重要的知识点，自然也是高考数学考查的重点内容。

我们通过对历年高考数学试卷进行分析和比较，高考对指数函数的考查，一般集中在这几个方面：比较大小，指数不等式，定义域与值域问题，指数相关最值问题，指数型方程，图像及图像变换，指数定点问题，指数与其它函数复合后的奇偶性，单调性，性质的综合应用。

因此，如果你想要在高考数学中拿下指数函数知识点和题型的分数，那么就必须从以上这几个方面去掌握此类函数。

指数函数是高中数学中非常重要的概念，它与对数、对数函数等有着密切联系，对高等数学的学习也起到帮助作用。指数函数作为高考数学必考内容之一，在实际生活中也有广泛应用。 

指数函数与对数函数是中学数学中的基本初等函数中非常重要的两种，都属于高考数学的必考内容之一。主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等，还有就是指数函数与对数函数的内容的综合应用。 

指数函数有关的高考试题分析，讲解1：

已知函数f(x)＝3－2log₂x，g(x)＝log₂x.

(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；

(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x²)·f(√x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)h(x)＝(4－2log₂x)·log₂x＝－2(log₂x－1)²＋2，

因为x∈[1,4]，所以log₂x∈[0,2]．

故函数h(x)的值域为[0,2]．

(2)由f(x²)·f(√x)>k·g(x)得

(3－4log₂x)(3－log₂x)>k·log₂x，

令t＝log₂x，因为x∈[1,4]，所以t＝log₂x∈[0,2]，

所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，

①当t＝0时，k∈R；

②当t∈(0,2]时，k<（3-4t）（3-t）/t恒成立，

即k<4t＋9/t－15恒成立，

因为4t＋9/t≥12，当且仅当4t＝9/t，

即t＝3/2时取等号，

所以4t＋9/t－15的最小值为－3，

即k∈(－∞，－3)．

指数函数有关的高考试题分析，讲解2：

若f(x)＝x²－x＋b，且f(log₂a)＝b，log₂f(a)＝2(a≠1)．

(1)求f(log₂x)的最小值及对应的x值；

(2)x取何值时，f(log₂x)>f(1)，且log₂f(x)＜f(1)．

对数式的化简与求值的常用思路：

1、先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．

2、先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．

指数函数有关的高考试题分析，讲解3：

已知f(x)＝log_a(a^x－1)(a>0且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的单调性．

解：(1)由a^x－1>0得a^x>1，当a>1时，x>0；

当0<a<1时，x<0.

∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；

当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．

(2)当a>1时，设0<x₁<x₂，则1<ax₁<ax₂，

故0<ax₁－1<ax₂－1，

∴log_a(ax₁－1)<log_a(ax₂－1)．

∴f(x₁)<f(x₂)．

故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．

方法提炼：

在运用性质log_aMⁿ＝nlog_aM时，要特别注意条件，

在无M>0的条件下应为log_aMⁿ＝nlog_a|M|(n∈N^*，且n为偶数)．

对数值取正、负值的规律：

当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，log_ab>0；

当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，log_ab<0.

对数函数的定义域及单调性：

在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝log_ax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．

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