【原】快乐课堂学数学-多余老师趣讲“函数”-中考数学专题

快乐课堂学数学-多余老师趣讲“函数”-中考数学专题

本讲义，由1305刘奕霄（中考个性化全面指导学生）在听课后起草，多余老师修改并点评。

整个初中学习了三种函数：一次函数，反比例函数，二次函数。函数部分是整个初中的精华，最起码也是之一，历年中考，最后一道大题必有函数，所以，它也被各所学校的数学老师所重视，而想要在中考中拿个好成绩，函数是必须拿下的一关。

[点评：函数是“数形结合”的典范，学好函数必须从“代数特征”和“几何特征”两方面进行学习，并将二者一一对应，做到“数形结合”，则函数无忧也。]

一、一次函数

一次函数是正规函数最基础的部分[没有“正规函数”一说，应为“基本函数”，只是该词在高中时才出现，现在想怎么说随意。]，包括正比例函数和非正比例[一次]函数[数学语言要求严谨完整、无懈可击]，通常一次函数的一般形式写为：Y=KX+B，其中K、B为常数，X为自变量，Y为变量（或因变量）[Y为X的函数，或叫因变量]，而正比例函数则是一次函数的特殊形式，即当B=0时，此时，解析式为Y=KX。而在两种形式中K均不为0。

在一次函数中，K控制了函数图像的倾斜程度和方向，K为正数时，图像向上，K为负数时反之。而B则控制图像与Y轴的交点（简称Y点），当B=0时，也就是正比例比例函数时，图像过原点。二种形式图像均为直线。

[  Y=KX+B（K不为0）——解析式为一次整式——倾斜的直线（简称“斜直线”）；

   B为常数项——————当X=0时，Y=B————Y点（0，B）；

说明：只要解析式为整式，则当X=0时，Y=常数项——Y点（0，常数项）；

  由Y=KX得K=Y/X————K为正XY同号————过一、三，升调，

                         K为负XY异号————过二、四，降调，

                         |K|越大———————倾斜程度越大。]

二、反比例函数

反比例函数图像为双曲线，且双曲线均无过原点的可能，每个曲线图像在同一个象限之内，而另一个则在与之相反的象限内，其解析式一般形式为Y=K/X，其中K、X均不为0。

反比例函数图象中的双曲线是关于原点对称的。

反比例函数Y=K/X可化简为K=XY，即该图像上一点横坐标与纵坐标的积为K值，而在几何中，就是该点与X轴、Y轴的距离所构成的矩形的面积为K值。故K在反比例函数图像中控制的是其双曲线所在象限及其与X或Y轴的距离。

[Y=K/X（K不为0）————解析式为-1次分式——关于原点成中心对称的双曲线；

 K=XY——————————K为正XY同号——————图像在一、三，各自降，

                         K为负XY异号——————图像在二、四，各自升，

                         |K|=|X|*|Y|——————矩形面积=K，三角形面积=K/2。]

三、二次函数

二次函数是初中函数中最重要的一部分，其解析式为Y=AX方+BX+C，其中A、B、C为常数，且A不等于0。其图像为一抛物线形状。

在Y=AX方+BX+C中，A控制图像的开口方向，A为正数，则开口向上，A为负数则反之。

Y=AX方+BX+C的特殊形式[并不特殊，应称“顶点式”]为Y=A（X+H）方+B，其中的A、H、B为常数，该形式的解析式是由Y=AX方+BX+C化简而来[不是化简，是“配方变形”]。

二次函数图像是一个轴对称图形，其对称轴为X=-B/2A，其对称轴与图像交点为抛物线顶点（-B/2A，（4AC-B方）/4A）。

在Y=AX方+BX+C中，B与C同时控制抛物线开口大小[开口大小与B、C无关，由A控制]，而C控制抛物线与Y轴的交点，而其与X轴的交点为（（-B+-根号（B方-4AC））/2A，0），其中B方-4AC大于0时，图像与X轴有两个交点[与X轴交点简称“X点”]，等于0时，只有一个交点，小于0时则没有交点。

[Y=AX方+BX+C（A不为0）————解析式为二次整式————抛物线（轴对称图形）；

常数项C————————————X=0时，Y=C————————Y点（0，C）； 

二次项系数A统领大局，由Y=AX方知——A为正|X|越大Y越大——开口向上，

                                     A为负|X|越大Y越小——开口向下，

                                |A|越大Y的变化越明显——|A|大开口小|A|小开口大；

由Y=A（X+B/2A）方+负判别式/4A——当X=-B/2A时Y有最值——对称轴X=-B/2A，

                                  AB同号X小于0————对称轴在右，

                                  AB异号X大于0————对称轴在左；

当Y=0时，解析式变成一元二次方程——判别式大于0————过X轴，两X点，

                                    判别式=0——————与X轴相切，一X点

                                    判别式小于0————不过X轴，无X点。]

在各个函数之外，还有三角函数，即SIN、COS、TAN、COT，指特殊角[应为“锐角”]的对边、邻边或斜边与其它某一边的比值，只出现在直角三角形中，常与勾股定理合用。

[正为对，余为邻，弦为斜，切是两直角边相比。

三角函数就是三边比，知道一个就全知道。

特殊角的三角函数值不用记，只要记得三边比。

30度、60度，1、2、根号3；45度，1、1、根号2。]

函数在初中只不过学了个皮毛而已，但其重要性却早已不言而喻，这点从数学老师在讲这几部分时，所用去的时间即可看出一二。所以，函数的学习是极为重要的。

[函数是否掌握的好，不仅直接决定中考数学能否得高分，还将决定你的高中数学成绩。]