匈牙利数学家厄多斯说过一句话，上帝自己一定保存着一本书。在那本书中，有许多重要的数学定理以及这些定理最简单的证明。这句话带点柏拉图世界的味道，所谓柏拉图世界，就是一个纯粹的抽象概念的世界，其中，数学是主要部分。
学过勾股定理的人一定知道勾股定理的很多证明，最简单的就是利用相似三角形的比例公式。我不知道这是否是勾股定理最简单的证明，但我感觉它不会在上帝之书里。最简单的证明留给读者去思考，一旦你想出来，你肯定会一拍大腿，太妙了。
厄多斯举的一个例子是对于根号2是无理数的证明，这个证明毕达哥拉斯学派应该已经知道。还有一个残酷的传说，据说毕达哥拉斯本人认为只有有理数是存在的，所以，这个学派将证明根号2为无理数的人处死了。
另一个例子是欧几里德关于存在无限多个素数的证明，厄多斯认为这个证明应该被收在上帝的书中。为了说明这个定理，也为了解释华人数学家张益唐最近在证明孪生素数猜想上取得的重大进展，让我们先从素数谈起。
在数学中，任何一个大于1 的自然数如果只能为1和其自身整除，叫素数。例如，2只能被1和2整除，所以2是素数，3和5也是素数，但4不是素数，因为4可以被2整除。当然，6也不是素数，它既能被2整除也能被3整除。
这样，我们很快可以列出由小到大排列的前面的素数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31……
我们可以一直排列下去。现在我们问，这个排列是不会结束的吗？也就是说，存在无限多个素数吗？用简单的排列法你是无法证明的，因为谁也没有无限多的时间一个一个来检验（给你一个整数，你从2开始用所有小于它的素数去除就是了。这里也有一个偷懒的办法，就是不试所有小于这个整数的素数，而只试小于该整数平方根的素数，但这也是一个很烦人的办法）。
欧几里德的证明很简单，他用的是反证法。假如素数的排列会结束，比如说结束在某个最大素数p的地方，现在，你将这个排列中所有的素数都乘起来，这样你就得到一个比p大的整数，这个整数当然不是素数。但是，在这个整数上在加1，新得到的整数根据定义就是素数了，但这个结论与假设p是最大素数矛盾。这个简单的证明被厄多斯认为是上帝之书中收藏了的证明。
那么，什么是孪生素数猜想。我们再看一眼前面给出的比较小的素数数列：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31…… 你看到没有，除了2以外，所有素数都是奇数，而且，素数3和5中间只隔一个自然数4，同样，11和13之间只隔一个自然数12，17和19也是，29和31也是，中间只隔一个偶数的一对素数叫孪生素数，名字起得让人能顾其名，思其义。
（注：编辑配图，图片来源于网络）
我们能够像欧几里德那样很简单地证明素数有无限多个。现在我们问，存在无限多对孪生素数吗？
这个问题貌似比欧几里德的问题稍微难些，看上去难得不多。你错了，难度大了无限多倍，因为至今还没有人能够证明这个猜想。如果你能证出来，我代表广大的数学爱好者奖励你一块钱。
孪生素数猜想是谁最先想到的？百度百科说是希尔伯特在1900年的著名的希尔伯特23个问题里就提出来了。作为百度百科的顾问，我必须说这个说法太成问题了。它确实出现在第八问题中，作为若干子问题的一个（另外的问题是黎曼猜想，哥德巴赫猜想，等等）。我不知道这个问题的具体历史，我相信不短于几百年。1849年，法国数学家阿尔方·波利尼亚克提出更加一般的猜想，存在无数个素数对，每一对素数之间的间隔是一个固定的偶数（2是特例）。
2013年4月17号，在美国新罕布什尔大学任讲师的张益唐证明了比孪生素数猜想弱得多的定理：存在无数个素数对，其中每一个素数对的差小于七千万。看上去，这距离孪生素数猜想的证明还有很大距离。他的论文被数学年刊接受了，所以应该是通过了同行评审，至于到底是否正确，恐怕还要等上一段时间。
要知道，七千万远远大于2，所以这个证明当然不在上帝之书中，但也是一个进展。要知道这个进展有多大，我们先看一下厄多斯本人在1940年证明的一个定理，他说，存在无限多个素数对，其中每一个素数对之差不大于较小那个素数的对数，看起来挺好，但当素数变大时，这个差越来越大，趋于无穷。
我没有看到过张益唐的证明，但想到厄多斯本人的定理以及后来的其他相关定理，这个证明不会简单。
讲到张益唐本人，还有很多有意思的故事。首先，他是我在北京大学的同届同学，78年入学的。后来，他在北大获得硕士学位后去了美国普渡大学，博士论文证明了雅克比猜想，后来被证明是错误的，因此没有找到工作。多年后他找到了讲师工作。他的经历毫无疑问是个非常好的励志故事。补充一点，他今年58岁了，也有人说60了。根据我在北大的经验，78级理科生现在不会超过60。还有人在天涯上猜测，他就是失踪多年的网上著名写手图雅——这人可曾经是我的偶像。
最后，人们确知的最大孪生素数对是多大呢？2003663613 · 2195000 ± 1。
（责任编辑：张小金）
