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多余老师趣讲数学思维1——有关三角形比例线段的问题 此讲问题，适用于小学四年级以上，初中生，高中生。 三角形ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连接CD和BE交于M，连接AM并延长交BC于F。 问： 1、AM是MF的几倍？CM是DM的几倍？BM是ME的几倍？（四年级的问题） 2、AM是AF的几分之几？CM是CD的几分之几？BM是BE的几分之几？（五年级的问题） 3、AM：MF、CM：MD、BM：ME的比值是多少？（六年级及初中生的问题） 4、以AB为基准向量a，AC为基准向量b，表示向量AM。（高中生问题） 此题表达的是数学中的一个重要定理——中线定理。 该定理的证明方法有很多多种，多余老师在此结合小学生、初中生、高中生所学课本知识，给予不同的证明，让学生体会数学思维的美妙。 1、用小学知识解答 此类问题，可以用“三角形面积”的有关知识进行解答。 三角形面积=底*高/2（*为乘号，/为除号）。由因数和积的关系可知： 两三角形等底等高，则面积相等。 两三角形若高相等，则三角形面积的倍数=底的倍数。 两三角形若底相等，则三角形面积的倍数=高的倍数。 用这些结论，就可得出，在题目中所出现的六个小三角形的面积全部都是相等的， 从而可得出： AM是MF的2倍，CM是DM的2倍，BM是ME的2倍。 AM是AF的2/3（三分之二），CM是CD的2/3，BM是BE的2/3。 AM：MF=CM：DM=BM：EM=2 2、用初中知识解答 此类问题，可以用“平行线转移比例线段”进行解答。 作DP平行AE交AC于P，则AP=EP，CM：DM=CE：EP=1：1/2=2 同理可证明其他的比例线段。 3、用高中知识解答 用两个基准向量来表示某一个向量，都可用“待定系数法”，设定系数后，用“共线或垂直”建立关于“系数”的方程组，解之得出。 设向量AM=ma+nb，则 向量EM=ma+nb-b/2=ma+（n-1/2）b， 向量MB=a-（ma+nb）=（1-m）a-nb 由此二向量共线得m/（n-1/2）=（1-m）/（-n），化简后得m+2n=1 同理，由向量CM和向量MD共线得m/（n-1）=（1/2-m）/（-n），得2m+n=1 解关于m、n的方程组得，m=n=1/3 即向量AM=a/3+b/3 用向量解决问题，属于代数方法，思维简化，但计算却更加复杂。 对于高中生，此题还可用“解析几何”的方法。 以A为原点，AB为X轴正方向，AC为Y轴正方向，用AB=AC=1，建立坐标系。 则E（0，1/2），D（1/2，0） 得直线CD：Y=-2X+1，直线BE：Y=-X/2+1/2 得两直线交点M（1/3，1/3） 即向量AM=a/3+b/3 除了以上相应的课本知识解决途径之外，多余老师在此再提供一种非常简单的方法： 以A、B、C三点为“1”，得D、E、F三点为“1+1=2”，得M点为“1+2=3”。 得AM：MF=CM：MD=BM：ME=3-1：3-2=2：1=2 只是此方法的理论不是学生能掌握的，所以选择初中生、高中生可用此方法解答选择题或填空题，对于解答则可用于快速检验。 多余老师通过此题，告诉高中生、初中生，你们解决的很多问题，其实是小学问题。只不过用了新的术语和方式进行的再包装而已。 数学是思维的艺术，学习数学，不掌握思维方法，就会导致感觉数学难学，也是很大一部分学生到了初中数学成绩下滑，还有很大一部分学生到了高中，数学成绩严重下滑的根本原因。 最后，把问题中的一个条件稍微改变一下，看你是否还会解答。 将E是AC的中点，改为“E在AC上，CE=2AE”，问题不变。 多余老师先用最简单的方法告诉答案： 以C点为1，A、B两点为2，则E、F两点为1+2=3，D点为2+2=4， 得M点为4+1=2+3=5 则AM：MF=BM：ME=5-2：5-3=3：2，CM：MD=5-1：5-4=4：1 向量AM=3a/5+b/5 |
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