浅谈二次函数中的难题

浅谈二次函数中的难题

 

摘要：实践是认识事物的源泉，是发现事物规律的有效途径。

关键词：数形结合   课堂教学实践

在二次函数中有如下题型：某商店以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204.

1.写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？

这道题是一道利用求二次函数的最大值解决实践问题的试题，稍作分析不难发现：商场的利润是由每件商品的利润乘每天销售的数量所决定。在这个问题中，每件服装的利润为（x-42），而销售的件数是（-3x+204），那么就能得到一个y与x之间的函数关系，这个函数是二次函数。要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值。我以为学生解答这样的问题应该没有什么问题，但出乎我的意料的是很多同学对此束手无策，能做出来的寥寥无几。

为什么会出现这样的结果呢？经过大量的课堂教学证明：第一，学生对二次函数的图形变化没有掌握牢固，沿x轴、y轴移动后函数式到底怎样变化，弄不清楚。第二，不能把图象和具体问题联系起来。看到二次函数图形对何时取最大值、何时取最小值弄不清楚。造成学生这样的原因主要有以下几点：一是教学中教师忙于完成教学任务，让学生吃了夹生饭，学生对二次函数的概念、性质、图像没有理解；二是教学中教师未能为学生的学习创设良好的问题情境，让学生在生活中学数学；三是二次函数的应用需要学生有较强的综合能力，而教学中教师对学生综合能力的培养不够。因此，在教学中我们根据学生的心理特点和教材特点组织课堂教学。

我们所学习的知识最终是要应用到日后生活、工作中的，也就是实践，如果让学生通过实践可以进一步巩固课堂上所学的知识，也可以获得一些数学活动的经验，因为实践是认识事物的源泉，是发现事物规律的有效途径。数学是数学活动的教学，没有做就没有数学学习，因此，在进行二次函数的教学中我们应该为学生创设问题情境，加强数学与生活的联系，让学生在问题情境中做数学，培养学生运用数学解决实践问题的能力。

一、数形结合“在二次函数中的应用

数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化。数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想。近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越深，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。

（1）“以形解数”

例1：已知：点（-1，y₁）,(-3，y₂)，（2，y₃）

在y=3x²+6x+2的图像上。

 

 

则：y₁、y₂、y₃的大小关系为（     ）

A．y₁＞y₂＞y₃    B.y₂＞y₁＞y₃   C.y₂＞y₃＞y₁    D.y₃＞y₂＞y₁

分析：由y=3x²+6x+2=3（x+1）²，画出图像，由图像可以看出：

抛物线的对称轴为直线x=-1

即：x=-1时，y有最小值，故排除A、B，由图像可以看出x=2时y₃的值，比x=-3时y₂的值大，故选C。

例2：二次函数y=ax²+bx+c的图像的顶点在第三象限，且不经过第四象限，则此抛物线开口向      ，c的取值范围      ，b的取值范围      ，b²-4ac的取值范围        。

解：由题意画出图像，如右图

从而判断：a＞0，c≥0

∴对称轴：x=- ＜0

∴b＞0

图像与x轴有两个交点：∴△＞0

即b²-4ac＞0

注：以上各题是“以形解数”即将数量关系借图形表示，使其直观化，形象化，从而使问题得以解决。

（2）“以数助形”

例3：已知：二次函数y=x²-2（m-1）x-1-m的图像与x轴交于A（x₁，0）,B（x₂，0）,x₁＜0＜x₂，与y轴交于点C，且满足 。求：这个二次函数的解析式。

解：∵x₁＜0＜x₂

∴AO=-x₁   OB=x₂

∵a=1＞0

∴CO=m+1＞0

∴m＞-1

∵

CO(BO-AO)=2AO·BO

即（m+1）(x₁+x₂)=2x₁x₂

∵x₁+x₂=2(m-1)，x₁x₂=-(1+m)

∴2（m+1）(m-1)=2（1+m）解得

m=-1（舍去），m=2

∴二次函数的解析式y=x²-2x-3

注：本题是“以数助形”即将线段长度关系 转化为点的坐标，通过解方程求出m的值，从而使问题轻而易举得以解决。

（3）“以数助形”、“以形解数”例4：如下图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像过点C（0，），与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₂＜x₁），且x₁+x₂=4，x₁·x₂=-5。

求：（1）A、B两点的坐标；

（2）二次函数的解析式和顶点P的坐标；

（3）若一次函数y=kx+m过图像的顶点P，把△PAB分成两个部分，其中一部分的面积不大于△PAB的面积的 ，求m的取值范围。

解：（1）∵    x₁+ x₂=4

              x₁·x₂=-5且x₂≤x₁ x_1,=5 x₂=-1

∴A、B两点的坐标是

A（5，0），B（-1，0）

（2）由A（5，0），B（-1，0），

C（0， ），求得y=- (x-2)² +3

∴顶点P的坐标为（2，3）；

（3）由图像可知，当直线过点P（2，3）且过点M（1，0）或N（3，0）时，就把△PAB分成两部分，其中一个三角形的面积是△PAB的面积的 。

①过N（3，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9; 过点A（5，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5。又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图像与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5＜m≤9。

②过B（-1，0），P（2，3）的一次函数解析式为y=x+1;过点M（1，0），P（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≦m<1

∴m的取值范围是-3≦m<1或5<m≦9。

注：本题先由数到形，后由形到数，用运动变化的观点去进行观察分析，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答十分巧妙，充分体现了“数”、“形”结合的解题思想。

通过以上例子看出，正确地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易得以解决。

二、课堂教学实践

首先，我们从课堂教学入手，探索培养学生应用二次函数的知识和思想方法解决实践问题的能力。

案例一：

（2001年河北中考试题）

（先学生单独试做，然后一起讨论交流共同解决问题。）

师：谁愿意来做一做

生4：我愿意。（板书解题过程）

解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元

日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为单价定为〔60+2(70-x)〕千克，每千克获利（30-x）元。

所以有y=(x-30)〔60+2(70-x)〕-500=-2 +260x-6500(30≦x≦70)

(2)将（1）中二次函数配方可得：

y=-2(x-65)²+1950

顶点坐标（65，1950）二次函数的草图略

故当单价为65元时，日均获得最多是1950元。

日均获利最多时，单价为65元，日均销售60+2×（70-65）=70千克，获总得为（1950×7000）/70=195000（元）当销售单价最高时，单价为70元，日均售为（70-30）×7000-117×500=221500（元），因221500﹥195000且221500-195000=26500（元）

师：你们做得真漂亮！对于二次函数的应用你们还感到害怕吗？

生：现在不害怕了！觉得二次函数的应用挺有趣！

师：学习只要有信心，什么难题都可以解决！

因此，我们从二次函数的应用入手培养学生应用二次函数的知识人和数学思想方法解决实践问题的能力。

通过对这些实际问题的探究，懂得商品的销售中的一些发现为今后的生活实践积累一定的经验。最后对学生多方面地评价，多多鼓励学生，适当对学生加强训练同时发动学生互相检查，共同讨论交流学习先进经验，一同排除前进路上的障碍这样才能促进学生全面和谐发展，让我们感到自己能够在知识的大海上畅游，是学习的主人，是战胜困难的强者。

参考文献：北师大版《数学》第九册