高考数学常考知识点之不等式

不等式

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．
数学探索?版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索?版权所有www.delve.cn（1）理解不等式的性质及其证明．
数学探索?版权所有www.delve.cn（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
数学探索?版权所有www.delve.cn（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
数学探索?版权所有www.delve.cn（4）掌握简单不等式的解法．
数学探索?版权所有www.delve.cn（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 

§06. 不 等 式  知识要点

1. 不等式的基本概念

（1） 不等（等）号的定义：

（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

（3） 同向不等式与异向不等式.

（4） 同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）（对称性）

（2）（传递性）

（3）（加法单调性）

（4）（同向不等式相加）

（5）（异向不等式相减）

（6）

（7）（乘法单调性）

（8）（同向不等式相乘）

（异向不等式相除）

（倒数关系）

（11）（平方法则）

（12）（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）

（2）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）

极值定理：若则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；  

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.

     利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 

（当仅当a=b=c时取等号）

（当仅当a=b时取等号）

（7）

4.几个著名不等式

 （1）平均不等式：   如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

特别地，（当a = b时，）

幂平均不等式：

注：例如：.

常用不等式的放缩法：①

②

（2）柯西不等式： 

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有

则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

  比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

  步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

    1

 2    3

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；     2应用数形思想；

3应用化归思想等价转化

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

①        

②

类似于，③