选修2—1 模拟考试（一）

本讲教育信息】

一. 教学内容：

    选修2—1 模拟考试（一）

 

二. 重点、难点：

1. 考试分数：150分

2. 考试时间：120分钟

3. 考试难度：0.7

4. 考试内容：

（1）常用逻辑用语

（2）曲线与方程，轨迹问题

（3）三种圆锥曲线方程及其性质

（4）空间向量及其运算

（5）立体几何的向量方法

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 设x是实数，命题p：，命题：，则是的（    ）

A. 充分不必要条件                          B. 必要不充分条件

C. 充要条件                                     D. 既不充分也不必要条件

2. 已知命题：，命题：，，则下列命题中是真命题的是（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 已知椭圆的短轴端点在以椭圆的两焦点为直径的圆内，则k的取值范围为（    ）

    A.     B.     C.     D.

4. 函数是奇函数的充要条件是（    ）

    A.       B.     C.     D.

5. 正方体的棱长为，M，N分别为和AC上的点，=

，则MN与平面BB₁C₁C的位置关系是（    ） 

    A. 相交    B. 平行    C. 垂直    D. 不能确定

6. 已知椭圆的两个焦点是，P是椭圆上的一个动点，如果延长到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（    ）

    A. 圆    B. 椭圆    C. 双曲线的一支    D. 抛物线

7. 如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ）

    A.（0，）    B.（0，2）    C.（1，）    D.（0，1）

8. 椭圆的焦距等于2，则m的值为（    ）

    A. 5或3    B. 8    C. 5    D. 16

9. 对于抛物线上任意一点Q，点P（）满足，则的取值范围是（    ）

    A.（）    B.      C. [0，2]    D.（0，2）

10. 下列命题中不正确的命题个数是（    ）

① 若A，B，C，D是空间任意四点，则有

② 是共线的充要条件

③ 若共线，则与所在的直线平行

④ 对空间任意点O与不共线的三点，A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

11. 已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4）为三角形的三个顶点，则是（    ）

    A. 直角三角形   B. 钝角三角形    C. 锐角三角形    D. 等腰三角形

12. 如图1所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为的正方形，点P是ED的中点，则P点到平面EFB的距离为（    ）

A.     B.     C.      D.

 

二. 填空题：

13. 给出下列四个命题：① 有理数是实数；② 有些平行四边形不是菱形；③ ；④ 有一个素数含有三个正因数。

    以上命题的否定为真命题的序号是           。

14. 方程（）表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是         。

15. 已知抛物线上两点P（），Q（）关于直线：对称，若，则m的值是           。

16. 已知，若，且，则=         。

 

三. 解答题：

17. 已知，若有非空解集，则。分别写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。

18. 已知双曲线方程，求以A（2，1）为中点的双曲线的弦PQ所在的直线的方程。

19. 设为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若，，，求点M（x，y）的轨迹方程。

20. 已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设。

（1）设与共线，求c；

（2）求；

（3）若与互相垂直，求k的值。

  21. 如图2，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点。

（1）求证：EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使得FG⊥平面PCB，并证明你的结论；

（3）求BD与平面DEF所成角的正弦值。

  22. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为，直线：与轴、y轴分别交于点A，B。点M是直线与椭圆C的公共点，P是点F₁关于直线的对称点，设。

（1）证明：；

（2）若，的周长为6，写出椭圆C的方程；

（3）确定的值，使得为等腰三角形。

 

 

 

【试题答案】

一. 选择题

  1—6 BDADBA          7—12 DABCAB

  7. 提示：因为椭圆焦点在y轴上，所以标准方程为，，所以，解得。

 

二. 填空题

13. ③④   

14.     

    提示：因为表示焦点在y轴上的椭圆，所以，。所以，即，又因为，所以

15.     16. －3或1

 

三. 解答题：

17. 解：逆命题：已知，若，则有非空解集；

否命题：已知，若没有非空解集，则；

逆否命题：已知，若，则没有非空解集。

原命题、逆命题、否命题、逆否命题都为真命题。

18. 解：设P（），Q（），易知，且

两式相减得

所以直线的斜率

又因为过点A（2，1），所以直线的方程为

即，经检验所求直线满足题意。

19. 解：由

可知

即点M（x，y）满足的条件是：到定点A（－1，0）和定点B（1，0）的距离之和为常数，即

综合椭圆的定义可知：点M（x，y）的轨迹是以A（－1，0）和点B（1，0）为焦点的椭圆。

而且，所以

所以点M（x，y）的轨迹方程为

20. 解：（1）因为与共线，，所以设

所以

解得，所以或（2，1，－2）

（2），所以

（3），

因为与互相垂直，所以

即，解得或2。

21. 解：如图1，以DA，DC，DP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设，则D（0，0，0），A（），B（），C（），E（），F（），P（0，0，）

图1

（1）证明：因为，所以EF⊥CD

（2）解：因为平面PAD，故设G（x，0，z），则

要使FG⊥平面PCB，需使FG⊥CB且FG⊥CP

即，得

，得z=0

所以G点的坐标为，即G点为AD的中点

（3）解：设平面DEF的一个法向量为

由，即，即

取，则，所以

所以BD与平面DEF所成角的正弦值为

22.（1）证明：因为A，B分别是直线：与x轴、y轴的交点，所以A，B坐标分别为

由，得，所以点M的坐标是

由，得，即，解得

（2）解：当时，，所以

由的周长为6，得，所以

所以所求椭圆C的方程为

（3）解：因为，所以，故为钝角

要使为等腰三角形，则必有，即

设点F₁到的距离为，由，

得，解得，于是

即当时，为等腰三角形。