【本讲教育信息】
一. 教学内容：
1. 机械能守恒定律的应用
2. 功能问题的综合应用
【规律方法】
机械能守恒定律的应用
应用机械能守恒定律解题的基本步骤
（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）。
（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取零势面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能。
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列出方程，若选用了增（减）量表达式，（3）就应成为确定过程中，动能、势能在过程中的增减量或各部分机械能在过程中的增减量来列方程进行求解。
1、机械能守恒定律与圆周运动结合
物体在绳、杆、轨道约束的情况下在竖直平面内做圆周运动，往往伴随着动能，势能的相互转化，若机械能守恒，即可根据机械能守恒去求解物体在运动中经过某位置时的速度，再结合圆周运动、牛顿定律可求解相关的运动学、动力学的量。
【例1】如图所示。一根长L的细绳，固定在O点，绳另一端系一质量为m的小球。起初将小球拉至水平于A点。求（1）小球从A点由静止释放后到达最低点C时的速度。（2）小球摆到最低点时细绳的拉力。
解：（1）由机械能守恒有：mgl=1/2mvC2；
（2）在最低点，由向心力公式有T－mg=mv2/l；T=3mg
【例2】在上例中，将小球自水平向下移，使细绳与水平方向成θ=30°角，如图所示。求小球从A点由静止释放后到达最低点C时细绳的拉力。
解：
【例3】如图，长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，另一端固定在O点，在O点的正下方某处P点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面内做圆周运动，求P点的位置。
解析：设绳碰到钉子后恰能绕P点做圆周运动的半径为r，运动到最高点的速率为v，由机械能守恒定律得：
在最高点，由向心力公式有：
，
，
【例4】如图所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，物体自与水平方向成30°夹角（绳拉直）处由静止释放，问物体到达O点正下方处的动能是多少？
错解：由机械能守恒定律：l=mv2，所以最低点动能为1.5mgl
分析：小球运动过程是：先由A点自由下落至B。自B点做圆周运动，就在B处绳使其速度改变的瞬间，小球的动能减少，下面我们通过运算来说明这个问题。
正确解法：vB=，其方向竖直向下，将该速度分解如图所示
v2＝vcos30°=cos30°
由B至C的过程中机械能守恒 mv＋mg0.5l=mv
由此得mv=l
答案：l
【例5】如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3，现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。（杆的质量和摩擦不计）
解析：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功，系统机械能守恒。
; 由于B、C角速度相同，
解得：
对于C球，由动能定理得解得杆BC段对C球做功
点评：通过例4、例5两题，人们会有这种想法：为什么例 4中在速度改变瞬间（B点）有能量损失，而例5中就没有能量损失，这其中的原因是什么呢？仔细考虑可知：例5中绳的作用力与速度垂直，所以只改变了速度的方向而没有改变速度的大小，而例4中虽然速度大小发生了变化（v2＜vB）。由动量定理可知，沿半径方向绳的拉力T产生的冲量使沿绳方向的动量发生了变化，即TΔt＝mv1，因此该情况就有能量损失，也就不可用机械能守恒定律。
功能问题的综合应用
一、功能关系
1. 能是物体做功的本领。也就是说是做功的根源。功是能量转化的量度。究竟有多少能量发生了转化，用功来量度，二者有根本的区别，功是过程量，能是状态量。
2. 我们在处理问题时可以从能量变化来求功，也可以从物体做功的多少来求能量的变化。不同形式的能在转化过程中是守恒的。
3. 功和能量的转化关系
①合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。W合=Ek2－Ek1（动能定理）
②只有重力做功（或弹簧的弹力）做功，物体的动能和势能相互转化，物体的机械能守恒。
③重力功是重力势能变化的量度，即WG=－ΔEP重＝－（EP末－EP初） =EP初－EP末
④弹力功是弹性势能变化的量度，即：W弹＝－△EP弹＝－（EP末－EP初） =EP初－EP末
⑤除了重力，弹力以外的其他力做功是物体机械能变化的量度，即：W其他=E末－E初
⑥一对滑动摩擦力对系统做总功是系统机械能转化为内能的量度，即：f·S相对＝Q
⑦电场力功是电势能变化的量度，即：WE=qU=－ΔE=－（E末－E初）=E初－E末
⑧分子力功是分子势能变化的量度。
【例1】在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m，厚度为h，如将砖一块一块地叠，需要做多少功？
解析：这是一道非常典型的变质量与做功的题，很多同学不知怎样列功能关系式才能求出功的大小，我们先画清楚草图。根据功能关系可知：只要找出砖叠放起来时总增加的能量ΔE，就可得到W人＝ΔE，而ΔE＝E末－E初=nmgnh/2－nmgh/2=n（n－1）mgh/2
因此，用“功能关系”解题，关键是分清物理过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，列出这些变化了的能量即可。
答案：n（n－1）mgh/2
4. 对绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除题目特别说明，必定有机械能损失，碰撞后两物体粘在一起的过程中一定有机械能损失。
二、能的转化和守恒
能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式的能转化为另一种形式的能，或者从一个物体转移到另一个物体，能的总量保持不变。
1. 应用能量守恒定律的两条思路：
（1）某种形式的能的减少量，一定等于其他形式能的增加量。
（2）某物体能量的减少量，一定等于其他物体能量的增加量。
【例2】如图所示，一轻弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点，今将一质量为m的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能在水平面上运动到C点静止，AC距离为S；若将小物体系在弹簧上，在A由静止释放，小物体将做阻尼运动到最后静止，设小物体通过的总路程为l，则下列答案中可能正确的是（ ）
A. l=2S； B. l＝S； C. l＝0.5S； D. l＝0
解析：若物体恰好静止在B。则弹簧原来具有的弹性势能全部转化为内能，应有l＝S。若物体最后静止在B点的左侧或右侧时，弹簧仍具有一定的弹性势能，在这种情况下，物体移动的总路程就会小于S。
答案：BC
【例3】图中，容器A、B各有一个可自由移动的轻活塞，活塞下面是水，上面是大气。大气压恒定，A、B的底部由带有阀门k的管道相连，整个装置与外界绝热，原先，A中水面比B中高，打开阀门，使A中的水逐渐向B中流，最后达到平衡，在这个过程中。（ ）
A. 大气压力对水做功，水的内能增加
B. 水克服大气压力做功，水的内能减少
C. 大气压力对水做功，水的内能不变
D. 大气压力对水不做功，水的内能增加
【解析】由题设条件可知，打开阀门k，由于水的重力作用·水从A流向B中，由于水与器壁间的摩擦作用，振动一段时间最后达到平衡状态；A和B中水面静止在同一高度上，水受到重力、器壁压力和两水面上大气压力的作用，器壁压力与水流方向垂直，不做功，最后A、B中水面等高。相当于A中部分水下移到B中，重力对水做功，设A、B的横截面积分别为SA、SB，两个活塞竖直位移分别为LA、LB，大气压力对容器A中的活塞做的功为WA=P0SALA，容器B中的活塞克服大气压力做的功WB=P0SBLB，因此大气压力通过活塞对整个水做功为零，即大气压力对水不做功，根据能量守恒定律，重力势能的减少等于水的内能的增加，所以选项D是正确答案。
【评点】本题的关键是取整个水为研究对象，明确它的运动情况。正确分析它的受力，确定水受的力在水运动过程中做的功，应用能的转化和守恒定律推断能量变化关系。
2. 摩擦力做功的过程能量转化的情况
（1）静摩擦力做功的特点
①静摩擦力可以做正功，也可以做负功还可能不做功。
②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体（静摩擦力起着传送机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能量。
③相互摩擦的系统，一对静摩擦力所做功的代数和总等于零。
（2）滑动摩擦力做功的特点：
①滑动摩擦力可以做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功（如相对运动的两物体之一对地面静止，则滑动摩擦力对该物不做功）。
②在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力，对物体系统所做总功的多少与路径有关，其值是负值，等于摩擦力与相对路程的积，即Wf=f滑·S相对
表示物体系统损失机械能克服了摩擦力做功，ΔE损= f滑·S相对=Q（摩擦生热）。
③一对滑动摩擦力做功的过程，能量的转化和转移的情况：一是相互摩擦的物体通过摩擦力做功将部分机械能转移到另一个物体上，二是部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量。
【例4】水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块A由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带间的动摩擦因数为μ，如图所示，在小木块与传送带相对静止时，转化为内能的能量为
A. mv2 B. 2mv2 C. mv2 D. mv2
分析：小物块刚放在带子上时处于静止状态，与带子有相对滑动，受向前的滑动摩擦力，使物块加速，最终与带子速度相同均为v。
由于题目要求出转化为内能的能量，必须求出滑动摩擦力对系统做的总功，再由
ΔE= f滑·S相对求解
【解析】物块所受的滑动摩擦力为： f＝μmg，
物块加速度a=f/m=μg。
加速至v的时间 t＝v/a=v/μg。
物块对地面运动的位移
这段时间内带子向前的位移 S带=Vt＝v2/μg
则物块相对于带子向后滑动的路程
s相对=s带—sA= v2/2μg
根据能量守恒定律
ΔE内＝f·s相对=μmg·v2/2μg=m v2
点评：进一步分析，在题设过程中，传送带克服摩擦力做的功 W＝f·S带＝μmg·v2/μg=m v2，只有一部分传给了物块使其动能增加为mv2，另一部分转化为内能，所以此题也可以这样求解。ΔE内＝w－mv2＝mv2－mv2=mv2
通过解答此题一定要理解“摩擦生热”指的是滑动摩擦生热，在相对滑动的过程中，通过摩擦力对系统做功来求解必须求出摩擦力在相对路程上做的功。
【例5】如图所示，木块A放在木块B上左端，用力F将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功为W1，生热为Q1；第二次让B可以在光滑地面上自由滑动，这次F做的功为W2，生热为Q2，则应有
A. W1＜W2， Q1= Q2 B. W1= W2， Q1＝Q2
C. W1＜W2， Q1＜Q2 D. W1＝W2， Q1＜Q2
解析：设B的长度为d，则系统损失的机械能转化为内能的数量Q1＝Q2=μmAgd，所以C、D都错。
在两种情况下用恒力F将A拉至B的右端的过程中。第二种情况下A对地的位移要大于第一种情况下A对地的位移，所以 W2＞W1，B错
答案：A
3. 用能量守恒定律解题的步骤
①确定研究的对象和范围，分析在研究的过程中有多少种不同形式的能（包括动能、势能、内能、电能等）发生变化。
②找出减少的能并求总的减少量ΔE减，找出增加的能并求总的增加量ΔE增
③由能量守恒列式，ΔE减=ΔE增。
④代入已知条件求解。
【例6】如图所示，边长为am的正方体木箱的质量为100kg，一人采用翻滚木箱的方法将其移动10 m远，则人对木箱做的功至少要多少J？（g取 10m／s2）
解析：人翻滚木箱，若要做功最小，则需要缓慢（或匀速）翻转木箱，不使木箱动能增大，即ΔEk=0，因此，人对木箱做功，仅需要克服木箱的重力做功（木箱在翻滚一次过程中重心升高一次），而且翻转木箱的外力F必须最小，即外力作用点应取在A点，并使外力方向与正方体木箱纵截面的对角线相垂直，外力对转轴O的力臂最大，外力F的力矩始终与木箱重力G的力矩平衡。
在木箱翻转前一半过程中，重力G的力臂逐渐减小，外力F的力臂不变，因此，外力F逐渐减小，方向也在不断改变，此过程属变力做功过程。这种情况下求外力F的功等于物体重力势能的增加。
将木箱翻滚一次，木箱向前移动am，若将木箱向前移动10 m远，需要翻转的次数为n=10/a，W合=mgh， WF—WG=0； WF—[mg（a－）]×=0
所以WF =5mg（－1）=5×100×10（－1）＝5000（－1）J
答案：5000（－1）J
【例7】一货车车厢匀速前进时，砂子从车厢上方的漏斗落进车厢，在t秒内落进车厢内的砂子的质量为m，为维持车厢以速度v匀速前进，需加一水平推力，问该推力的功率为多少？
解析：将上述过程分段讨论如图，B表示以速度v匀速运动的货车，A表示落于车上的砂子，设经过时间t后，AB相对静止，此过程中A的位移为S1，B的位移为S2。显然，S1=vt/2，S2=vt，故S1/S2=1/2 。
摩擦力对A做功W1=f·S1=mv2，功率为P1=mv2/t
因B匀速运动，故F=f，外力对B做功为W2=FS2=fs2=mv2，
功率为P2= mv2/t
【模拟试题】
1. 如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球。支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是
A. A球到达最低点时速度为零
B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C. B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D. 当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
2. 如图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A 。求男演员落地点C 与O 点的水平距离s。已知男演员质量m1，和女演员质量m2之比=2，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C 点比O 点低5R。
3. 人们在工作、学习和劳动时都需要能量，食物在人体内经消化过程转化为葡萄糖，葡萄糖的分子式为C6H12O6，葡萄糖在体内又转化为CO2和H2O，同时产生能量E=2.80×106
J/mol。一个质量为60kg的短跑运动员起跑时以1/6s的时间冲出1m远，他在这一瞬间消耗体内储存的葡萄糖多少克？
4. 如图半径分别为R和r的甲、乙两圆形轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，现有一小球从斜面上高为3R处的A点由静止释放，要使小球能滑上乙轨道并避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，试设计CD段可取的长度。小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑。
5. 如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B一个水平初速度v0，方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。求：
（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度。
（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度。
（3）运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ。
（4）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小。
【试题答案】
1. 解析：因A处小球质量大，所处的位置高，图中三角形框架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动。摆动过程中只有小球受的重力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确，D选项也正确。A球到达最低点时，若设支架边长是L。A球下落的高度便是L/2，有2mg·（L/2）的重力势能转化为支架的动能，因而此时A球速度不为零，选项A错。当A球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续左摆，B球仍要继续上升，因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高，C选项也正确。选B、C、D。
2. 解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v0，由机械能守恒定律
（m1+m2）gR=（m1+m2）v02
设刚分离时男演员速度的大小为v1，方向与v0相同；女演员速度的大小为v2，方向与v0相反，由动量守恒，
（m1+m2）v0=m1v1－m2v2
分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的
时间为t ，根据题给条件，由运动学规律4R=gt2 s=v1t
根据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律，m2gR=m2v22
已知m1/m2=2，由以上各式可得 s=8R
3. 解：运动员在起跑时做变加速度运动，由于时间很短，为解决问题的方便，我们可以认为在1/6s内运动员做初速为零的匀加速运动。由S=（v0+vt）/2·t得运动员冲出1m时的末速度为vt=2S/t=（2×1）÷1/6=12m/s。运动员在1/6s内增加的动能ΔEk=mvt2－mv02=
×60×122=4320J。消耗的葡萄糖的质量为：Δm=ΔEk/E×180g=0.28g.
4. 解析：有两种情况，一种是小球恰过乙轨道最高点，在乙轨道最高点的mg=mv2/r，从开始运动到乙轨道最高点，由动能定理得
mg（3R－2r）－μmgCD=mv2－0联立解得
CD=（6R－5r）/2μ，故应用CD＜（6R－5r）/2μ。
另一种是小球在乙轨道上运动圆周时，速度变为零，
由mg（3R－r）=μmgCD解出CD=（3R－r）/μ，故应有CD＞（3R－r）/μ
5. 解析：（1）设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为，考虑到对称性及绳的不可伸长特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为，由动量守恒定律，得
由此解得
（2）当三个小球再次处在同一直线上时，则由动量守恒定律和机械能守恒定律，得
，
解得
（三球再次处于同一直线），（初始状态，舍去）
所以，三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度为（负号表明与初速度反向）
（3）当小球A的动能最大时，小球B的速度为零。设此时小球A、C的速度大小为，两根绳间的夹角为θ（如图），则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得
另外，
由此可解得，小球A的最大动能为，此时两根绳间夹角为
（4）小球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动，当三个小球处在同一直线上时，以小球B为参考系（小球B的加速度为0，为惯性参考系），小球A（C）相对于小球B的速度均为所以，此时绳中拉力大小为。
