高三数学第二轮专题复习二 函数

高三数学第二轮专题复习二  函数

 

【高考要求】

（1）了解映射的概念，理解函数的概念.

（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程.

（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数.

（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图像和性质.

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图像和性质.

（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

 

【热点分析】

    函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。

    考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、函数的图象。②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。

 

【复习建议】

1. 认真落实本专题的每个知识点，注意揭示概念的数学本质

①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；

②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数、幂函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；

③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；

④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等；

⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；

2. 以函数知识为依托，渗透基本数学思想和方法

①数形结合的思想，即要利用函数的图象解决问题；

②建模方法，要能在实际问题中引进变量，建立函数模型，进而提高解决应用题的能力，培养函数的应用意识。

3. 深刻理解函数的概念，加强与各章知识的横向联系

    要与时俱进地认识本专题内容的“双基”，准确、深刻地理解函数的概念，才能正确、灵活地加以运用，养成自觉地运用函数观点思考和处理问题的习惯；导数可用来证明函数的单调性，求函数的最大值和最小值，并启发学生建构更加完整的函数知识结构。

所谓函数思想，实质上是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理代数式、方程、不等式、数列、曲线等问题。

 

【典型例题】

例1. 已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）|y=f（x），x∈F}∩{（x，y）|x=1｝中所含元素的个数是. （    ）

A. 0                            B. 1                             C. 0或1                     D. 1或2

分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言. 从函数观点看，问题是求函数y=f（x），x∈F的图象与直线x=1的交点个数（这是一次数到形的转化），不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的. 这里给出了函数y=f（x）的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C.

 

例2. 已知函数定义域为（0，2），求下列函数的定义域：

（1）；（2）。

分析：x的函数f（x）是由u=x与f（u）这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量. 由于f（x），f（u）是同一个函数，故（1）为已知0＜u＜2，即0＜x＜2. 求x的取值范围.

解：（1）由0＜x＜2，  得

说明：本例（1）是求函数定义域的第二种类型，即不给出f（x）的解析式，由f（x）的定义域求函数f[g（x）]的定义域. 关键在于理解复合函数的意义，用好换元法. （2）是二种类型的综合. 求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域。

 

例3. 已知xy＜0，并且4x-9y=36. 由此能否确定一个函数关系y=f（x）？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由.

分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f（x），但加上条件xy＜0呢？

解：

所以

因此能确定一个函数关系y=f（x）. 其定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞）. 且不难得到其值域为（-∞，0）∪（0，＋∞）.

说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系. 任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式. 求函数解析式还有求常见函数的解析式. 由于常见函数（一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数）的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式.

 

例4. 已知函数是奇函数，又，求的解析式。

解：由，又由，从而可得a=b=1；c=0

 

例5. 已知在上的最小值为；试写出的解析式。

解：（讨论抛物线的对称轴）

 

例6. 若y=log（2-ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（  ）

A. （0，1）                B. （1，2）                C. （0，2）                      D. [2，+∞]

分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log（2-ax）有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0. ②使log（2-ax）在[0，1]上是x的减函数. 由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log（2-ax）定义域的子集.

解法一：因为f（x）在［0，1］上是x的减函数，所以f（0）＞f（1），

即log2＞log（2-a）.

解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令

故排除D，选B.

说明：本题为1995年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确.

 

例7. 作出下列函数的图象（1）y=|x-2|（x＋1）；（2）y=10|lgx|.

分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.

解：（1）当x≥2时，即x-2≥0时，

当x＜2时，即x-2＜0时，

这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出（见图6）

（2）当x≥1时，lgx≥0，y==10^lgx=x；

当0＜x＜1时，lgx＜0，

所以

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出. （见图7）

说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围. 因此必须熟记基本函数的图象. 例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数的图象. 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.

 

例8. 设是R上的偶函数，且在区间上递增，若成立，求a的取值范围。

解：

故为所求。

 

例9. 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，.

（1）试求的值；

（2）判断的单调性并证明你的结论；

（3）设，若，试确定的取值范围.

（4）试举出一个满足条件的函数.

解：（1）在中，令. 得：

.

因为，所以，.

（2）要判断的单调性，可任取，且设.

在已知条件中，若取，则已知条件可化为：_.

由于，所以.

为比较的大小，只需考虑的正负即可.

在中，令，，则得.

∵当时，，

∴ 当时，.

又，所以，综上，可知，对于任意，均有.

∴ .

∴ 函数在R上单调递减.

（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子.

，

，即.

由，所以，直线与圆面无公共点. 所以，

.

解得：.

（4）如.

 

例10. 已知函数

（1）函数在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值.

解：（1）

.

因此函数在区间（0，+∞）上是减函数.

（2）（方法1）当时，恒成立，令有

又为正整数. 的最大值不大于3.

下面证明当恒成立.

即证当时，恒成立.

令

当

取得最小值

时，恒成立.

因此正整数的最大值为3.

（方法2）当时，恒成立，

即恒成立.

即的最小值大于

上连续递增，

又

存在唯一实根，且满足：

由知：

的最小值为

因此正整数的最大值为3.

 

【模拟试题】

一、选择题

1. 已知四个函数：①y=10^x    ②y=log_0.1x    ③y=lg（-x）    ④y=0.1^x，则图象关于原点成中心对称的是：（  ）

A. 仅为③和④           B. 仅为①和④           C. 仅为③和②            D. 仅为②和④

2. 若函数在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（   ）

       A.                      B.                    C.                   D. 

3. 将函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数的解析式为（   ）

    A.                                          B.

       C.                                           D.

4. 二次函数中，且，对任意，都有，设，则（ ）

       A.                                                        B.

       C.                                                        D. 的大小关系不确定

5. 函数的值域为（   ）

       A.                    B.                  C.                    D. R

6. 已知在上是x的减函数，则a的值取范围是（   ）

       A. （0，1）                B. （1，2）                C. （0，2）                D.

7. 函数y=|log₂x|的图象是                                                           （  ）

8. 设函数的定义域为，有下列三个命题：

（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；

（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；

（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值.

这些命题中，真命题的个数是    （  ）

       A. 0个                     B. 1个                      C. 2个                     D. 3个

9. 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是         （  ）

 

       A.                                         B.

       C.                                 D.

10. 是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是         （  ）

       A. 2                          B. 3                          C. 4                          D. 5

11. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L₁=5.06x－0.15 x ²和L₂=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为                                    （   ）

       A. 45.606                  B. 45.6                     C. 45.56                   D. 45.51

12. 在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则            （  ）

       A.          B.            C.        D.

 

二、填空题

1. 函数的单调递增区间是                           

2. 函数的定义域是                                          

3. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 

4.对于函数定义域中任意的，有如下结论：

       ①；             ②；

       ③                            ④

    当时，上述结论中正确结论的序号是               .

5. 已知a，b为常数，若，，则_________。

 

三、解答题

1. 设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N. 求：

（I）集合M，N；

（II）集合，.

2. 已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x²＋2x.

    （Ⅰ）求函数g（x）的解析式；

    （Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）－|x－1|；

    （Ⅲ）若h（x）＝g（x）－f（x）＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围.

3. 已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.

    （I）若方程有两个相等的根，求的解析式；

    （II）若的最大值为正数，求a的取值范围.

 

【试题答案】

一、选择题CBCBBB                  ACDDBC

 

二、填空题1.                    2.             3.              4. ②③

5. 2

 

三、解答题

1. 本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力. 

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

.

2. 解：（Ⅰ）设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

（Ⅱ）由

当时，，此时不等式无解

当时，，解得

因此，原不等式的解集为

（Ⅲ）（文20）

①

②

ⅰ）

ⅱ）

3. 本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.

解：（Ⅰ）

因而①

由方程    ②

因为方程②有两个相等的根，所以，

即 

由于代入①得的解析式

（Ⅱ）由

及

由解得

故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是