线段的定比分点与图形平移、解斜三角形及其应用

线段的定比分点与图形平移、解斜三角形及其应用

 

二. 教学重、难点：

1. 掌握线段的定比分点，中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式

2.（1）理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式。

（2）会运用正、余弦定理解决三角形中的计算和证明问题。

（3）能利用三角公式及三角形知识解决有关三角形的问题以及有关的实际问题。

 

【典型例题】

[例1] 已知抛物线

（1）求抛物线顶点的坐标；

（2）求将这条抛物线的顶点平移到点（2，）时的函数解析式；

（3）将此抛物线按怎样的向量平移，能使平移后曲线的函数解析式为。

解：

（1）将配方，得

故抛物线顶点坐标为（）

（2）将点平移到点（）时，设平移向量，则

   即点的平移公式为

于是    ∵ 点（）在抛物线上

∴ 将平移公式代入可得

化简得

即平移后函数的解析式为

（3）方法一：按平移公式  即

代入原抛物线的解析式

得

化简得

与平移后曲线的解析式比较可得

解得    ∴ 所求平移向量为

方法二：由配方得，即

作平移，使   则方程化为，即

此时平移向量

 

[例2] 已知曲线按向量平移后得到曲线C。

（1）求曲线C的方程；

（2）过点D（0，2）的直线与曲线C交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设，试求实数的取值范围。

解：（1）原曲线即为，则平移后的曲线为，即

（2）设M（），N（），则

由于点M、N在上，则

即

消去，得

即    ∵     ∴

又 ∵ ，故     ∴ 的取值范围是

 

[例3] 如图，椭圆，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于R，点Q在OP上，且有，当点P在直线上移动时，求点Q的轨迹方程。

解：设Q（），（为正参数），则P（），R（）

∵     即     ∴

∴     ∴     ①    ∵ P、R分别在直线与椭圆上

        ∴  ②    ③

将②③代入①，得

化简，得（不同时为0）

 

[例4] 在中，分别为角A、B、C的对边，S为的面积，且

。

（1）求角B的度数；

（2）若，S=，求的值。

解：（1）由，

得

即

∴      ∵     ∴ 或

（2）∵     ∴

即    ∴  

由余弦定理得

或

   ∴  

[例5] 在中，角A、B、C所对的边分别为，且。

（1）求的值；

（2）若，求的最大值。

解：（1）

（2）∵

∴     ∴

又 ∵    ∴ ，当且仅当时，，故的最大值是。

 

[例6] 在中，已知，试判断该三角形的形状。

解：方法一：已知即

∴

由正弦定理，即

∴

∴ ，由

得或

即是等腰三角形或直角三角形

方法二：同上可得

由正、余弦定理，即得

∴

即

∴ 或

故三角形为等腰三角形或直角三角形

 

[例7] 在中，已知，AC边上的中线BD=，求的值。

解：方法一：设E为BC的中点，连结DE。则DE//AB，且

设   在中利用余弦定理可得：

，即

解之，得（舍去）

故，从而

即    又，故，即

方法二：以B为坐标原点，为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限

由，则

设，则

由条件得，从而（舍去）

故   于是

∴

方法三：如图，过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连结AP、PC。

过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=AB，

BN=

而   ∴ BC=

   故由正弦定理得

即

 

[例8] 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求，BC长度大于1，且AC比AB长，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少？且当AC最短时，BC长度为多少？

解：设，

则在中，

将代入，得，化简得

∵     ∴   

当且仅当，即时，有最小值

∴ 最短为，此时，BC长为

 

【模拟试题】

一. 选择：

1. 若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，那么（    ）

A. 只能是

B. 只能是

C. 只能是或

D. 只能是

2. 把点（3，4）按向量平移后的坐标为（），则的图象按向量平移后的图象的函数表达式为（    ）

A.                          B.

C.                          D.

3. 把函数的图象按向量平移，得的图象，且，，，则等于（    ）

    A.     B.     C.      D.

4. 已知点和（1，7），直线与线段的交点M分有向线段的比为，则的值为（    ）

A.     B.     C.     D. 4

5. 设A是最小内角，则的取值范围是（    ）

    A.     B.     C.     D.

6. 若中，，则的形状为（    ）

A. 直角三角形                   B. 等边三角形

C. 等腰三角形                   D. 等腰直角三角形

7. ，如果，则的形状是（    ）

    A. 等边三角形    B. 直角三角形    C. 等腰三角形    D. 等腰直角三角形

8. 在中，设命题：，命题：是等边三角形，那么命题是命题的（    ）

A. 充分不必要条件         B. 必要不充分条件   

C. 充分必要条件             D. 既不充分又不必要条件

 

二. 解答题：

1. 已知

（1）设A、B、C为内角，当取得最小值时，求；

（2）当且时，的图象通过向量平移得到函数

的图象，求向量。

2. 若将函数的图象按向量平移后得到的解析式是，这样的平移向量是否唯一确定？若唯一，求出这一向量；若不唯一，指出它们之间的关系。

3. 我舰在敌岛A南偏西相离12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/时的速度航行，问我舰需以多大速度，沿什么方向航行能用2小时追上敌舰？

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. D

2. A

    解析：由题意知，故将按平移后的解析式为

3. B

4. D

解析：由的方程为，与联立，得

∴ ，解得     ∴

5. D

解析：∵ ，又，故

∴    ∴

又 ∵

∴

6. C

解析：

又由

又，故，即

7. B

解析：∵    ∴     ∴     

∴ C  ∵     ∴

∴    ∴ ，即

化简得    ∴ ，故选B

8. C

解析：

由正弦定理   ∴

∴

 

二.

1. 解析：

（1）

当且仅当时，

此时或

故或

（2）当A+B=时，2A+2B=，

即  ①

此函数图象平移，则

∴ 代入①   

此函数应与相同

∴ 即所求

2. 解：设，上任意一点坐标为（），平移前上对应点的坐标为，则有即

又，则，即

又的解析式是，则，可见平移向量不唯一，向量的坐标满足即可。

3. 解：设敌舰位置为C，在中，∵ AB=12，AC=20，

由余弦定理，得

∴ BC=28    ∴ 我舰的追击速度应为海里/时，即14海里/时

在中，由正弦定理，得

即

∴

故我舰航行的方向为北偏东