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章建跃数学教育教学思想 下面这些文章，是章建跃先生几年来为《中小数学》写的编后语，代表了他对数学教学的理解、观点和思考。现汇集，相信对广大教师（应不仅是数学教师）会有启发． 1.信息技术整合与好数学教学 章建跃 本期刊登了几篇手持技术（TI N-spire CAS）环境下的数学教学设计，是我们“手持技术与高中数学教学整合”课题组的研究成果，相信对大家会有一定启发。那么，把“信息技术整合”与“好数学教学”相联系，理由是什么？ 在《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》中，对“教育信息化”已作了全面部署，要求以教育信息化促进教育内容、教学手段和方法的现代化。过不了多久，教学硬件设施、教学内容和手段、教学资源提供平台等都将采用“信息化”方式。在此条件下，提高信息技术的应用水平，更新教学观念，改进教学方法，提高教学效果等就是对教师的自然要求；同时，学生利用信息手段学习，运用信息技术分析和解决问题也就顺理成章。因此，数学教学中应用信息技术，是时代发展的必然要求，不以人的意志为转移，教师必须改变自己的教学习惯，把提高信息技术与数学教学整合水平作为专业化发展的必由之路。实际上，课标早就明确提出了数学教学中应用信息技术的要求：通过信息技术与课程内容的有机整合，使学生更好地认识数学的本质；利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术等进行探索和发现。课标还针对具体内容提出了整合要求。所以，从数学教学的发展看，好数学教学必须有“信息技术与教学内容有机整合”的成分。 当前，许多老师在谈到“整合”时就以“没有必要”为托词。的确，信息技术不能被滥用（实际上，许多老师上课时用PPT播放题目及其解答，这就是滥用。我主张老师应板书例题，并要求学生抄题，这样可防止在学生还没有读完题目时就让他们讲解题思路的错误做法）。那么，如何用好信息技术，以促使我们的教学成为好数学教学呢？我认为主要是发挥信息技术在解决学生数学学习困难上的作用： （1）数学的高度抽象性，带来数学学习对象的抽象性、数学思维的复杂性——借助技术使学习对象形象化，为概括数学概念、原理提供具体背景支持； （2）数学概念是相互联系的，联系的广泛性、复杂性与工作记忆的有限性有矛盾，由此产生数学学习困难——借助技术实现“多元联系表示”，减轻工作记忆负担，引导学生发现联系性，概括出本质特征； （3）数学定理、公式、性质等，都是“一类数学对象的共性”，是“变化中的不变性、规律性”，它们的呈现方式的静态化、抽象化，掩盖了生动的概括过程，带来理解困难——借助技术实现数学对象变化过程的“可视化”、“连续性”，以有序的变化过程帮助学生发现“不变量”、“规律性”； （4）数学推理论证必须强调逻辑的严谨性，但完整的数学学习过程包含合情推理与逻辑推理，证明方法的发现比推理过程的表述更困难——借助技术加强合情推理，使技术在发现具体例证的共同特征，归纳一般结论，推广结论，探寻证明方法等思维活动中发挥作用； （5）数学中存在复杂的数据处理、代数变换、数字运算等——让技术代替机械重复性劳动，使学生有更多时间用于数学的实质性思考； （6）用数学解决问题，特别是解决实际问题，需要经历数据收集和处理、试验解题方案、验证猜想、调试数学模型、考察特例、推广到更一般情形等过程——在技术的支持下进行尝试、探究活动，以提高效率、节约时间；等。 毋庸讳言，与发达国家比较，我们的“整合”水平差距很大。先进国家在信息技术与好的数学课程、教材、教法和学法融合一体，使信息技术成为达成数学教学目标的有力的认知工具方面已把我们抛在后头了，由此也导致我们的课程与教材的内容、教与学的方法的全面落后。信息化社会中，迅速的运算、高超的技巧已不值得炫耀了。如果还继续沉浸在双基扎实、解题能力强、考试成绩好的自我安慰中，那么结果只能是子子孙孙为别人打工，这绝不是危言耸听！ 2012-12-27人教网 2.注重整体性才是好数学教学 章建跃 数学教学必须注重数学的整体性，这是由数学的学科特点决定的。这种整体性，既体现在数学概念及其反映的数学思想方法的一体性上，又体现在各部分内容的有机联系上。从教的角度说，把握好整体性，才能有准确的教学目标，才能把数学教得本质而自然，教学行为才能“准”、“精”、“简”，才能充分发挥数学的育人功能；从学的角度看，注重整体性，才能了解知识的源头、发展和去向，才能掌握不同内容的联系性，既学到“好数学”，又学得兴趣盎然。总之，注重整体性的教学才是好数学教学。 解析几何完美地体现了数学的整体性。项武义先生指出：空间的一个重要本质是它完美的对称性和均匀性，它在坐标解析几何中的反映就是所有直角坐标系之间的互换等价性。用坐标法研究几何事物时，“一定要铭记在心，只有那种和坐标系的选取无关者才具有本质的几何内涵”。因此，解析几何教学中，只有以那些具有本质几何内涵的事物为核心，才能真正体现好整体性。 本期刊登的《抛物线焦点弦问题源与流》，陈新辉老师把课本中所有“抛物线焦点弦”问题放在起来，并将其设计成一节“探究课”。这样确实能把同类问题串联起来，有利于学生形成一种具有连续性的研究思路。但从数学整体性的要求看，由于只是以一个（或几个）题目为“源头”，没有从解析几何的学科整体上去把握，因此学生只能看到浅陋的“源”，同时也难以发现“流”向何方。现实中，以这种方式“追根溯源”的并不少见。各种杂志上，类似的文章比比皆是，备受推崇且被广泛用于教学。究其原因，主要还在于数学理解水平较低，特别是不能用高观点来看中学数学内容，致使教学视野狭窄，纠缠于细枝末节，只见树木不见森林，甚至只看到了稗草。这样的教学，浪费了学生的时间，也损害了学生对数学的认识。 那么，到底应让学生研究抛物线的哪些性质呢？ 首先，对于“与圆锥曲线焦点相关的问题”，我认为最值得研究的，应该是由焦点所反映的圆锥曲线的光学性质。“焦点”即是“光线聚焦之点”，让学生对这些光学性质进行“研究性学习”是天经地义的，这样不仅可以锻炼学生用坐标法研究问题的能力，而且还能使他们看到圆锥曲线的用处。 其他问题选什么呢？我想应该从更高的观点来把握。例如，“任意焦点弦AB，A(x1,y1)，B (x2,y2)，都有x1x2= 那么，如何才能找到体现数学整体性的教学线索呢？显然途径不唯一。其中之一，可以是刘超老师在本期《再论数学史与数学教育》中提出的，从数学的历史中得到启发，找到素材。 3.数学课要教数学 章建跃 相信读者看到标题会心生疑惑：难道我们在数学课上教的不是数学吗？的确，许多数学课教的不是数学！ 为了说明上述观点，先引用世界知名几何学家伍鸿熙教授提出的数学的五个基本原则（见注）： 原则1 原则2 原则3 原则4 原则5 这五个原则可以作为判断数学课是否教数学的基本标准。反观我们的课堂，与这些原则相悖的做法比比皆是。例如： 缺乏统领课堂的数学核心观念，在“构建前后一致的、逻辑连贯的学习过程，引导学生开展有序的推理”上缺乏思考和得力措施，致使每一堂课都变成了“从头开始”； 不重视知识的背景和基本思想，导致学生不了解为什么要引入这个概念、为什么要研究这个性质（本质上是不重视数学的连贯性）； 概念教学走过场，“精确定义”就更谈不上了，有些老师甚至对什么是“精确定义”也不甚了了； 解题教学搞“题型+技巧”，教师常常讲解各种各样的“锦囊妙计”，而对“从概念和定理出发思考和解决问题”不予重视（本质上是对逻辑推理不重视）； 例题、习题的选择标准是“新、奇、特”，使用大量缺乏相互关联的题目，目的是让学生熟练更多的技巧（本质上是缺乏方法的目的性）； 为了“加大容量”，教师往往只要求“讲思路”，而对严格的逻辑推理过程及其表达缺少示范和要求；等等。 那么，该如何改变现状呢？本期陈立军老师的《“立体几何引言课”的教学实践与反思》可以给我们一些启发。作为《立体几何》的开篇课，陈老师围绕“为什么学”“学什么”“怎么学”三个问题，从一个有智力挑战性的（数学）问题和现实需要两方面引入课题；通过类比平面几何研究的问题和过程，引出立体几何可以研究的问题和线索；最后，通过一些典型问题，引导学生从平面几何的学习中得到启发，获得解决立体几何问题的方法，并强调了解决立体几何问题的普适性思路——“把空间问题转化为平面问题”。这样的“引言课”，较好地体现了数学的连贯性、目标的明确性、概念和方法的目的性等，特别是注重与平面几何的联系，使学生意识到立体几何的学习不是“从零开始”，“空间问题平面化”是基本原则，这样的认识为立体几何学习奠定了坚实的基础。如果在具体内容的教学中，继续强调概念的精确定义，在定义的基础上展开推理，并注重推理过程的逻辑严谨性，那么我们就可以肯定地说，陈老师的立体几何课教得好。实际上，这样的教学才真正发挥了立体几何课程的力量——培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力。 总之，按上述五条原则进行数学教学，是“数学课教数学”的基本要求，这样才能使学生在学会数学的过程中，提高思维能力，培养发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力；只有这样才能真正发挥数学的内在力量，实现“数学育人”。 注：见《数学通报》2012年第4期，第10页。 4.让学生学真正的数学 章建跃 我以《数学课要教数学》为题写了第6期的“编后絮语”，并认为，以伍鸿熙提出的数学的五个基本原则进行数学教学，是“数学课教数学”的基本要求。下面我想继续这一话题，谈谈如何让学生学真正的数学。 本期刊登的《作为中小学教育任务的概率》，徐章韬老师按照“目的—知识—方法”的结构剖析了“作为中小学教育任务的概率”，实际上讨论了“怎样才是真正的让学生学概率”。概率是一个在区间[0，1]中取值的分数。以确定性数学的观点看，用到的数学知识很简单，以至于有相当多的老师认为课标设置的“必修3”中的统计和概率“与初中差不多，没什么可学的”。但统计与概率的学习，焦点并不在计算上，而是在“体会用样本估计总体及其特征的思想”，“体会统计思维与确定性思维的差异”，“注意到统计结果的随机性，统计推断的可误性”，“加深对随机现象的理解，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性”。显然，这些学习内容就不是那么简单了。可以借用史宁中的例子加以说明： 袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回地重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。 一个袋子里有5个球，4个白球、1个红球。如果让学生通过摸来验证出现白球、红球的可能性分别是4/5和1/5，这不是统计。统计是这样的：告诉学生袋子里有很多白球和红球，让学生去摸，摸到一定程度时，学生发现摸出白球的次数比红球的次数多，由此推断袋子里白球可能比红球多。进一步地，能推断出袋子里白球和红球的比例大概是多少。再告诉球的总数，能够估计出来几个白球和几个红球。这才是统计的过程。 上述过程学生学到了什么呢？我想大概就是史教授提到的“数据分析观念”的三个方面：第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴含着信息的；第二，了解对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；第三，通过数据分析体验随机性。数据的随机性主要有两层涵义：一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。 可以这样说，凡是涉及思想性、观念性的东西，都是需要长期的、潜移默化的过程才能真正有所领悟的。有些老师认为“必修3”没什么好教的，实在是自己没有体会到“到底该让学生学什么”！ 5.如何理解“解题教学” 章建跃 每期我们都要刊登一些“解题教学”的文章，本期也不例外。但正如王钦敏在《数学课堂三原色》中指出的，数学课堂中“大部分时间都在解题，除了严重侵占学生必须的运动、游玩、读书思考和创新实践的时间，还会将数学教学异化为解题教学。” 事实上，我国中学数学课堂教学的主旋律就是解题教学，而且其“异化”途径往往是“数学教学=解题教学=题型教学=刺激-反应训练”。 关于解题教学的局限，王老师引用数学大师们的论述已说得比较清楚，特别是丘成桐先生指出的“做研究与做题目没有太多关系……全国为了考试而努力，是个灾难性的问题”，应引起我们警觉；对课堂教学异化为解题教学的危害，王老师已作了分析，我也赞同。但客观地说，在当今极端功利化的社会环境下，政府追求“教育GDP”，高考指标层层分解，家长也是“考上大学才是硬道理”，老师头上都悬着“升学率”之剑，只能“怎么有利于高考就怎么做”。因为高考就是解题，所以把“解题教学”作为主旋律是政府的要求、家长的需求，理所当然。 许多老师都在为解题教学作强力辩护，并力求从权威那里找答案。例如：哈尔莫斯说，“数学的真正组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏”；波利亚说，“掌握数学就意味着善于解题”；罗增儒说，“数学学习中发生数学的地方都一无例外地充满着数学解题活动”……这些论述都对，而且不仅数学教育要“以解题为中心”，任何学习都要“以解题为中心”——有“问题”才需学习，解题过程就是学习新知、发展智力、提高能力的过程，当然也是“学会解题”的过程。 问题是，哈尔莫斯们所指的“题”到底是什么？难道是充斥于各种资料中的那些人为制造的“数学题”吗？他们所说的“解题活动”又应该是什么？进一步地，解题教学中，师生各自应扮演什么角色？到底应该是谁在解题？老师解学生看，再让学生模仿训练而达到熟练，这是解题教学吗？能实现波利亚“善于解题”的目标吗？ 我认为，只有把这些问题想清楚，把握好解题教学的目标、内容、素材、过程和方法，才能使解题教学为“数学育人”服务，也才能使“高考高分”成为必然（而不是撞大运）。 什么叫解题教学，希望大家讨论。这里我想对它的载体——题，谈一点看法。我认为，“题”是指如下具有一定层次的问题： 对那些有数学天赋的学生，从培养创新人才出发，应紧紧围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这四条主线，让他们有机会体会和认识一些数学本源性问题。例如，引发某个数学分支创立的基本问题，创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想，以及从定性到精确定量的基本过程等。如数系的发展中，0、负数、无理数、复数取得“合法”地位，都经历了漫长而曲折的过程，让学生返璞归真地择要经历，并解决其中的关键问题，对他们理解数学、感受数学研究的“味道”很有好处。 在日常教学中，应以新知识为载体，让学生解决一些知识发展中的基本问题。例如，在三角函数中，让学生思考和解决“如何刻画具有‘周而复始’变化规律的现象？”“如何刻画匀速圆周运动？”“匀速圆周运动中最本质的问题是什么？”等等。这样的“解题教学”中，要以如何发现和提出问题、如何获得数学对象、如何构建研究线索以及掌握解决问题的基本方法等为目标，即要让学生通过解题逐步学会认识和解决问题的基本方法。 最后，为了使学生掌握知识，必须通过解一定量的题目，而这些题目必须是精选的“好题”。“好题”的标准，我在上一篇“编后絮语”中已有阐述。 6.教师做教科研要“小中见大” 章建跃 随着高中课改的不断深入，数学教学改革中的各种深层次矛盾不断暴露，促使广大数学教师开展不同形式的教科研。教科研活动不仅使数学教学的质量和效益有了一定保证，而且使数学教师专业化发展有了坚实的平台。不过，常常困扰广大数学教师的问题是，怎样才能使教科研活动切实有效呢？ 本期刊登的沈金兴老师的“一次概率事件的测试对新课程概率教学的启示”一文，为一线教师结合自己的日常工作开展教科研做出了一定的示范。从他的报告中可以看到，他所选择的研究课题很具体、很“小”：为了了解学生对不确定现象的理解方式，了解学生在概率学习中普遍产生的错误认识及其原因，从而为自己的概率教学提供依据，他借鉴国内外一些研究中的成熟方法，以自己的学生为被试，通过测试收集数据，通过统计分析得到学生概率认知水平发展状况的描述，并以统计数据为支持，区分出学生在概率概念理解中的错误类型，在此基础上提出有理有据的概率教学建议。由于概率是许多教师心里没底的、深感棘手的内容，因而这样的研究又实实在在地为这一内容的教学提供了指导——学生的概率学习困难有哪些，应当采取怎样的教学措施帮助学生理解概率中的相关概念，概率教学中应注意哪些问题等，所以我们说，沈老师的研究是“小中见大”的。 一线教师搞教科研，最需要防止两种倾向：一是大而空，例如有的老师以“全球化背景下的数学教育”“建构主义理论指导下的数学教学”“构建系统观念下的数学课堂”“新课程理念下的数学课堂教学模式 7.“增效、减负” ──数学教师的责任与使命 章建跃 本期我们刊登了我国老一辈数学教育工作者、已近88岁高龄的陈振宣先生的《建议开展增效与减负的大讨论》一文。陈先生是我国改革开放后中学数学教育改革的积极倡导者，也是义无反顾的改革实践者，相信熟悉我国数学教改的读者，对他早在上世纪80年代初提出的在中学数学中引入向量，以向量为抓手改革三角、平面解析几何、立体几何等教学内容的思想及其实践一定记忆犹新。本文他又以一位中学数学教育前辈的高度责任感，针对积重难返的“学习负担过重”问题，呼吁开展“增效与减负”大讨论。 陈先生认为，造成“负担过重”的原因主要有如下几方面： 第一，教材的体系不科学，不能显示知识的内在道理，不能展示知识的“发明本源”，“在教材建设中光做减法，甚至不惜破坏数学的科学体系，硬性规定减少教学课时”而违背了科学发展观； 第二，违背数学教育规律，不重视数学思维方法的教学，以“题海”代替数学思维基本功训练，试图“以多取胜”； 第三，粗制滥造、质量低劣、错误百出的教辅资料泛滥，直接加剧“负担过重”； 第四，考试制度改革、高考命题改革与课程教材改革相分离，迫使学生为高考分数而大量做高考模拟卷，催生了与模拟卷相关的“利益链”； 第五，“数学是进大学的敲门砖”的急功近利思想，导致对数学教育功能的认识偏差，是造成“负担过重”的思想根源。 陈先生的剖析可谓鞭辟入里、一针见血。他还提出了许多扭转负担过重现象的措施，指出关键是要采取切实措施激发学生的学习兴趣、改进学习方法，认为这是一条数学教学的“公理”。 温总理在《政府工作报告》中提出，今年教育要重点抓好的工作之一是推进素质教育，“各级各类教育都要着眼于促进人的全面发展，加快课程、教材、教育方法和考试评价制度改革，把中小学生从过重的课业负担中解放出来，让学生有更多的时间思考、实践、创造。”说明“负担过重”已引起中央的高度关注，并要从教育改革入手解决之。但平心而论，“负担过重”是社会、各级教育管理部门、学校、家长的“合力”所致，教育功利化等现象是我国社会发展现状在教育领域的客观反映，因此解决这一问题难度很大。不过，作为一名着眼于学生发展、懂得教育教学规律的教师，必须意识到这种现象是不正常的。教育的要义是教学生做人、做事，教育应当充满理想化色彩，教育必须远离功利。 实事求是地说，数学学科的题海最大、最深，在造成学生“负担过重”中难辞其咎。同时，大量优秀数学教师的实践表明，只要不断提高自己的教师专业化素养，坚持不懈地改进教学方法，就一定能使学生脱离题海的苦难，学得轻松且成绩卓越。因此，“增效减负”是时代发展赋予广大数学教师的责任和使命。 希望大家积极参与讨论，为增效减负献计献策。愿我们共同努力，不辱使命。 8.思想决定行为 细节决定成败 章建跃 我们在大量的数学课堂观察中发现，教学中，关注思想性严重不足，数学教学缺乏整体性、结构性，从而也就缺少了应有的“大气”而陷于细枝末节的“小气”。因此，数学教学改革中，强调“思想性”“整体性”“结构性”应当成为努力的重点。但是，如果思想不落实在“细节”上，也就是在具体操作上得不到体现，那么“思想”就只是一种“空想”，对学生的发展也起不了多大作用。本期刊登了两篇争鸣文章，一定程度上反映了广大教师对宏观“思想”与操作“细节”之间关系的认识。 我想，在等差数列、等比数列求和公式的推导中，首先对推导公式的思想方法——以等差数列、等比数列的定义与性质为依据和出发点，对“如何用n、d(q)、a1及an表示Sn”进行讨论——是大家都会认同的；其次，在有了某种想法，有了比较明确的思考方向后，在把想法付诸行动的过程中，必须强调细节。正如夏新桥老师在《抓住学生的疏漏，引领学生做好思维体操》中指出的，细节是培养学生思维严谨性的大好时机，夏老师文中所谈到的细节必须关注到。当然，对于“细节”可以有进一步的认识。其中，有两个问题特别要注意，一是注意区分“细节”与“细枝末节”；二是要注意学生的“细节”。 事实上，人们对数学的“细节”会有不同理解。例如，吴生辉和宋文科两位老师的文章《浅谈概率问题中的基本事件》表明，他们对基本事件的“不可再分”的理解，与田载今老师的理解不同。我认为，对于确定基本事件到底能不能“以要解决的具体问题为依据”，“可能出现的每一个结果”的“不能再分”到底该怎样理解（是否可以是“不必再分”的结果），读者可以讨论。事实上，上述不同源于对“一个结果”的含义的不同解释。显然，对“细节”的这种讨论是非常必要的。 其次是注意学生的“细节”，也就是要关注学生思维水平、思维过程的细节。本期刊登的彭潜、张雪莉等老师的《教学中关心数学差生的一些构想》，就是关注学生思维细节的一个范例。他们的学生大部分是所谓的数学“差生”。在困难面前，他们不是沉湎于“怨天尤人”的哀叹，而是“认真研究数学差生的教学规律”，勇敢地“迎接这份远比教好优等生艰巨得多的工作挑战”，而且将这样的思想落实在“细节”上：对造成“差生”的原因、到底“差”在那里、应当采取哪些措施等都进行了细致入微的分析。实践表明，教师这样关注“细节”，“差生”是完全可以转变的。 “思想决定行为，细节决定成败”。数学概念理解得是否深刻的标志是对概念的细节把握得是否准确。但理解“细节”的过程中必须要有“思想”的指引，这样才能把知识的教学与能力的培养融合一起，真正发挥数学教育的“育人”功能。 10.回归基础 章建跃 我国数学教学有重视双基和能力培养的传统，这是我国数学教育保持优势的基石。然而，教育功利化所导致的短期行为，使人为技巧化难题和过分强调细枝末节的内容充斥课堂，数学教学=题型教学，教学远离双基，不仅使学生的创新精神和实践能力得不到培养，而且使双基优势逐步丧失。阅读“英国AQA数学A水平考试内容介绍”一文，这种感觉尤为强烈。从文中看到，作为英国大学招收新生的入学标准，考察的内容不仅涉及我们熟悉的初等数学内容（立几等除外），而且还有微积分(含微分方程)、概率统计、向量、矩阵等现代数学内容，知识面之广我们无法企及，大部分考题都是“基础题”，但“对部分知识的考察也有一定的难度”。比较“A水平考试”，反观我们的数学教育，确有危机感。 要改变现状，我认为提高对“基础”的认识是当务之急，先要解决“什么叫基础”“如何落实基础”等问题。 我们知道，“基，始也”，事物发展的起点叫“基”，没有它就是“无源之水”；“基，根本也”，事物的本源叫“基”，没有它就是“无本之木”；“基，基调也”，主要观点、基本思想就是“基调”，没有它会失去方向。中学数学的基础应是那些为学生终生发展奠基的初等数学核心部分，具体内容则需深入研究。当然，要有广与深的辩证统一，广而浅（蜻蜓点水、走马观花）不行，窄而深（深度挖掘、层层拔高）也不行。但无论怎样，人为制造的繁题、特技等肯定不在此列。 那么，如何落实基础呢？相信大家都有这种感受：知识，教得简单、自然而有思想性，难；教得复杂、造作而形式化，易。解题，讲难题、讲技巧，易；精中求简、回归概念、循循善诱、引人入胜，难。为了教得准、精、简，需在如下几方面努力： 首先，教师“必须要对基础数学的本质和基本思想下一番深切的返璞归真的功夫”（项武义），并在使数学变得易学、好懂，使学生能懂、会用上下苦功，以切实减轻学生负担，真正提高教学质量和效果。 第二，应真正解决学习兴趣问题，如陈振宣先生在“数学教学公理刍议”中所述，通过有丰富数学内涵的情景，将数学定理、公式等的学习融入创造性解决问题中。 第三，提高“思想性”，使学生逐渐掌握数学研究的“基本套路”是当务之急。例如，“不等式基本性质”的教学，要在“数及其运算”的系统中，以“运算中的不变性、规律性就是性质”为基本思想，引导学生运用实数大小的基本事实和实数运算律，一以贯之地推导所有不等式的性质和其他不等式。 第四，解题教学要强调基本概念所反映的思想方法这一根本大法的应用，而不是“对题型、想技巧”。要让学生养成“回到概念去”思考和解决问题的习惯，“把一个比较复杂的问题，‘退’成最简单最原始的问题，把这个最简单最原始的问题想通了、想透了”，然后再归纳、综合而实现飞跃，“这是学好数学的一个诀窍” （华罗庚）。 数学教学应回归基础，在让学生认识数学“基本套路”的过程中，理解数学的基本思想、方法和精神，这样才是数学育人。 11.高分是怎样得到的 章建跃 一年一度的高考刚尘埃落定，新一轮高考大战又如火如荼地展开。 从我国腐败横行的现实考虑，高考虽然残酷但尚算得一片净土，是无权无钱的平民百姓改变命运的少数机会之一，因此高考不能取消。我们可以把高考看成学生人生道路上的炼狱，把追求高分的过程看成一种人生历练。从教学的角度看，关键在于：如何使学生更有效地实现凤凰涅磐、浴火重生？ 本期我们有意刊登了较多的“高考研究”文章。从中可见，追求高分，真可谓是“八仙过海，各显神通”：有考题“追根溯源”的；有进行“题型归类”的；有揣摩命题者“心思”的；有分析高考“解题术”的；有贯彻高考题“指示精神”开展高考复习的……。 受老师们的启发，我也想谈谈高考如何得高分的看法。 首先，尽管数学高考题千变万化，但考数学是无法改变的。万变不离其宗，这个“宗”就是高中数学核心知识以及由内容反映的数学思想方法。因此，教好数学特别是千方百计让学生领悟数学基本概念才是根本，这样才能与数学“声气相通”，才有能力识破“七十二般变化”的“真身”。 其次，应试确实有技巧，但获得技巧的途径有天壤之别。一种是靠大量做题卖苦力，其结果可能是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；另一种是靠智慧而实现的“四两拨千斤”，其结果一定是高奏高考的凯旋之歌。 第三，提高学生的解题能力，需要经历一个以数学双基训练为载体的“悟道——得道——进入自由王国”的过程，必须有一个从有“型”到无“型”、从有招到无招的过程，这样才能实现融会贯通，达到随心所欲、见招拆招的境界。当前的问题在于：执著于“型”，执著于“招”，即执著于题型及其对应的技巧，深陷题海不能自拔，无法“悟道”，进入自由王国就更无从谈起，解题能力也就无法精进而上层次了。 当然，“师傅领进门，修行在个人”，学生能上到怎样的层次，要看他自己的造化，但作为人生导师，责任在于点化学生的智慧，使他在现有水平上开悟，帮助他实现人生目标。不过，教师自己开悟才有可能使学生开悟。因此，教师应提升自己的层次，以提高点化学生智慧的能力。 曾经有老师与我说，“章老师，你说得都对。我知道，按你的方法，做十个题目就可以得十分；而我要求学生做五十个题目只能得十一分。虽然你的方法质量、效率高多了，但我仍然会让学生做五十个题目。因为很可能多一分学生就能上重点了，而家长、社会、行政看的是最终结果，不会在乎过程是怎么做的。”确实，改变评价标准与机制，不以一张试卷定乾坤，是解决问题的要件之一。但我们是否有勇气这样做：让学生做十个题目就能得到十一分，甚至是十二分！高考高分就应该这样得到！ 12.课堂教学的两个关键 章建跃 本期刊登了沈顺良老师的原文和我们对该文的修改，试图通过对比，一方面说明如何修改文章，提高写作水平（当然，修改后的文章也未必臻于完善），另一方面，更重要的是想利用修改后的文章说明保证课堂教学质量和效益的两个关键——“自然的过程”和“恰时恰点的问题”。 课堂教学中，“自然的过程”来源于数学知识发生发展过程和学生认知过程的融合，具体表现为对数学概念、原理的不断归纳和概括的过程。沈老师提供的教学案例，从课堂教学整体结构看，在“引入（哥德巴赫猜想）——理解（拼图与前n个正奇数的和）——应用（例题、练习）——小结”等各环节中，围绕“一种观察”，选择若干具体事例，安排了“语言转换”“变形”“不同角度观察”等活动，使学生经历了“突出共性”的过程，学习了观察的方法，这是好的。欠缺的是“过程”不精细，对学生思维的引导不够精确，数学上的实质性思考不到位。而这些不足正是源于对具体事例的数学本质和学生的认知过程的把握还不到位，由此而影响了本课的教学效果，真是“细节决定成败”。例如，“拼图游戏”的教学，因为对拼图的“过程”和“结果”（从数及其运算角度看）的数学含义挖掘不够，对学生在“形”转化为“数”中的困难估计不充分，致使教学出现如下问题：“拼图过程”的“从头至尾”的性质没有得到揭示；“一种观察”没有列出而使“共性”不够突出；“拼图结果”的解释不到位；将“拼图过程和结果”转化为“数及其运算的表示”不够自然；对归纳推理的难点分析太笼统；等。 我们认为，“问题引导学习”应当成为一条重要的教学原则，是改进教学方式的主要平台，而“恰时恰点的问题”则是提高教学质量的关键。“问题”既需要课前预设，也要强调课中生成。课前预设基于教师对数学知识发生发展过程的关键点及其学生理解困难的分析，预设的问题应当围绕当前内容的本质与核心，明确具体、易于理解；课中生成的问题主要源于学生对学习内容的理解偏差，靠教师的教学机智。例如，在对“拼图”的观察中，“观察得到什么？”的数学含义不够清楚，思维指向也不明确，而“观察到什么共性？”有明确的数学含义——共性，指出了观察的目标，有较好的思维导向；同样，例1中，“此问题中你能直接观察吗？”改成“根据上述经验，如何转化问题才有利于我们观察？”，其目的是引导学生回顾“几个事实——一种观察——归纳共性”的经验，从已知条件中转化出“几个事实”，通过观察“看出”它们的“共性”；等。 总之，“自然的过程”和“恰时恰点的问题”是提高课堂教学质量和效益的关键，同时也集中反映了教师的专业化水平，是提高教学能力的抓手，值得我们付出努力。 最后，应当说明，沈老师提出的通过突出“一种观察”而获得一类事物中“几个事实”的共同特征，进而归纳出该类事物的某一性质，抓住了“归纳推理”教学的核心，这是最难能可贵的。我们的“修改”也是在这样的思想指导下进行的再完善。 13.教学中培养创造能力 章建跃 2009年10月11日，温总理以《教育大计，教师为本》为题，正式发表他教师节前去北京35中听课的点评和讲话。因为有对数学课的点评，自然引起我的格外兴趣。给我印象最深的点评是：“基础课必须给学生以清楚的概念”；“这堂数学课概念清楚、启发教育、教会工具、联系实际，说明我们数学的教学方法有很大的改进”。给我强烈震动的是他对我国教育问题的准确判断：“这些年甚至建国以来培养的人才尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要，还不能说在世界上占到应有的地位。”“中国培养的学生往往书本知识掌握得很好，但是实践能力和创造精神还比较缺乏……我们在过去相当长的一段时间里比较重视认知教育和应试的教学方法，而相对忽视对学生独立思考和创造能力的培养。” 温总理的讲话切中我国教育时弊，其实广大教师也“早就看到了这些问题”。作为“太阳底下最光辉的职业”的从业者，我们在解决这些问题时应做些什么？在无法回避的应试环境中，如何加强对学生独立思考和创造能力的培养？ 南京师大附中“数学课堂研究性教和学实验”课题组的做法给我们很大启发。为了使研究性学习落到实处，他们提出“把研究性学习引入常态化的课堂教学”并开展探索。他们区分了研究性教学的类型，结合概念课、习题课、复习课等不同课型的特点，有针对性地开展研究性教学，培养了学生的探究创新能力和协作精神，使学生从模仿记忆学习逐渐向创造性学习发展，取得了较好成效。这表明，只要像温总理说的，“树立先进的教育理念，敢于冲破传统观念的束缚，在……教学内容、教育方法……等方面进行大胆地探索和改革”，在课堂上“创造自由的环境”，“做到学思的联系、知行的统一”，就能使学生学会学习，培养他们的创新思维。 受此启发，我想就概念教学中培养创造能力的问题谈点想法。 数学是基础学科；数学教育的目的是提高学生的数学素养，为学生的终生发展打好基础；数学学习的任务是掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，学会有条理地思考、有逻辑地表达，培育理性精神，学会用数学的眼光看、用数学的头脑想、用数学的手段做。这些都与“基础”紧密相关。基础课必须给学生以清楚的概念！教好概念是重中之重！ 数学概念教学能培养学生的实践能力和创新精神吗？当然能！这是因为数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材。数学是玩概念的，数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式方法迁移能力最强。所以数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握“书本知识”，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力。 数学教师，一介平民，没有权力和平台去决策国家大事。但你是教学的主导，课堂的一切“你说了算”，你的行为对学生有重大影响。因此，在基础知识教学中融入探究成分，讲逻辑推理之前先让学生进行归纳、类比、猜想等合情推理，把创新精神与实践能力的培养落实在课堂，这是想做就能做、用心能做好的。 国家兴亡，匹夫有责。温总理高度重视教育和对杰出人才的渴望深深地打动着我们，他对我国当前教育的忧虑极大地感染着我们。愿广大教师能与总理气息相通，把危机感化作教育创新的不竭动力，行动起来，为培养人才尤其是杰出人才作出贡献。 14.“创造性使用教材”≠“脱离教材” 章建跃 不过，在最近的大量课堂观察中（其中包括全国优质课评比活动中的课），我发现脱离课本进行教学的现象很普遍，这是令人担忧的。 调研表明，出现脱离课本进行教学的原因主要有三个方面： 第一，许多教师认为教材内容“简单”，不足以应付高考； 第二，误解本次课改提倡的“不是教教材，而是用教材教”、要“创造性地使用教材”的真正意图； 第三，许多教师不善于或不愿意花大力气研究教材。 对上述问题，我有如下几点思考： 首先，一定要正确理解“不是教教材，而是用教材教”的内涵，我认为这是针对“照本宣科”而言的，绝对不是提倡大家“脱离教材”进行教学（当然，某些“课改专家”确实提出过“教材仅仅是课程资源的一种”“教师是课程资源的开发主体”等，但实践证明，这些观点过于理想化了）。 其次，“教材太简单，不足以应付高考”的观点是偏颇的。诚然，教材的“基础性”与高考的“选拔性”确有一定的目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。 第三，理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。 第四，要仔细分析教材编写意图：教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的。因此，在处理教材时，内容顺序的调整要十分小心（否则容易导致教学目标的偏离），例子可以根据学生基础和当地教学环境替换，但所换的例子要反映教科书的意图，要能承载书上例子的教学任务。 在1999年出版的《数学教育心理学》中我曾说，“教之道在于‘度’，学之道在于‘悟’”。在课标教材实验过程中，许多老师觉得这个“度”不好把握。我认为这主要是对课标教材的研读还不够深入所致，不领悟教材就不可能把握好“度”。 课本、课本，一科之本。课堂教学应“以课本为本”。 15.要把精力集中在核心知识的研究上 章建跃 本期有两篇讨论“零向量”问题的文章。从赵宏伟老师的参考文献中看到，许多老师对这个问题感兴趣。在我平时的调研中也常有老师问及于此。这些都说明“零向量与任一向量平行”“零向量与任一向量垂直”之类的规定，真的困惑了不少老师。对此，我有如下想法与大家交流。 首先，从向量代数的角度看，我们首先感兴趣的是非零向量，它们有好的运算—加法，并由此延伸出数乘向量。为了使它的逆运算（即减法）完满、不留空白，必须引进零向量。这是零向量的核心意义，就像实数集中的0在运算中的地位一样。由于零向量的位置特殊，数学家们约定“零向量的方向不确定”。这样，在处理具体问题时，让它与某一向量平行或垂直都可以。这是一种人为的、合乎习惯的并且方便于应用的规定，就像“0既不是正数，也不是负数”（其实也可以说成是“0既是正数，也是负数”）一样。 其次，向量有它的几何原型—有向线段，而且我们借助于几何图形，用“三角形法则”等定义它的运算，因此“向量集数与形于一身”。在研究了向量的运算及其规律后，回头再看向量运算及其结果的几何意义，就有了解决几何问题的向量法，而且向量法的力量无限。这种力量集中体现在它仅用“向量相加的‘首尾相接法则’”、“向量数乘的意义和运算律”、“向量数量积的意义和运算律”、“平面向量基本定理”等四条基本法则来解决几何问题。这些是中学向量教学应关注的核心问题。 第三，我们应把精力集中在核心的、更重要的内容上。例如： 如何理解函数概念？为什么课标提倡“从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念”？ 如何帮助学生建立向量概念？为什么要强调向量的几何背景、物理背景？向量法的特色是什么？ 如何与时俱进地理解任意角的三角函数？为什么要强调单位圆的作用？ 为什么说“等差数列是自然数列的变式”？ 为什么说“统计的核心思想是归纳的思想”？统计教学为什么要强调让学生亲自动手收集数据？ 为什么说“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”？为什么在古典概型之前不讲计数原理？ 如何理解“瞬时变化率就是导数”？导数的思想及其内涵是什么？ 当然，教师在自己深刻理解的基础上，还要将这种理解做出教学表达，其目的是要有利于学生的理解。例如，把“零向量的方向不确定”与“0的符号不确定”作类比，可以帮助学生体会零向量的“味道”。 这篇短文是我在绍兴讲课时写成的。突然有一个联想，对零向量的这种“考证”，是否与当年孔乙己对茴香豆的“茴”有多少种写法的考证一样呢？这个联想对考证零向量的老师确实是大不敬了，望海涵。但无论如何，费那么多的笔墨于零向量，确实不够大气。 注：本文涉及刊物内容详见张景中等《向量教学存在的问题及对策》，载《数学通报》2009年第9期。 16.改变习惯从加深理解内容开始 章建跃 本期刊登了王能斌的《对三角函数定义修改的感悟》。文中指出，对于三角函数的定义，许多老师很怀古，钟情于“任意角终边上一点的坐标比值”的定义方法，而对“单位圆上点的坐标就是三角函数”的定义方法不适应，提出种种理由拒绝它。早在2007年之初，我就在《数学通报》上发文，剖析了这些“理由”，这里不再赘述。其实，数学定义是选择的结果。教材的选择，既要考虑定义本身是否简单、易学及对后续学习的影响，还要考虑它是否反映了现代数学的发展和实际应用的需要。人教A版用单位圆上点的坐标定义三角函数，是因为它体现了“三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现”，并能给后续学习带来极大方便，这在王老师的教学中也得到了证实。这里我想谈的是要以开放的心态，更新自我，通过深入理解内容而实现习惯的改变。 公元前的亚历山大里亚时期，为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时、计算日历、航海和研究地理等，三角术在希腊定量几何学中应运而生。到托勒密（Ptolemy，公元168年去世）出版《数学汇编》，希腊三角术及在天文学上的应用达到顶峰。这部著作中有大量三角恒等变形问题，包括和（差）角公式、和差化积公式等，证明采用了初等几何方法。三角学的发展与天文学相互交织，且服务于天文学。到十六世纪，三角学开始从天文学里分离出来，并成为数学的一个分支。为了应付航海、天文、测量等实践之需，制作三角函数表成为三角学研究的核心工作。因为在制作过程中需要大量的三角恒等变形，所以三角恒等变形问题占据了重要地位。后来，随着对数的发明，特别是微积分的创立，三角函数表的制作变得轻而易举，繁杂的三角恒等变形不再需要，曾经重要的三角公式也风光不再。因此，在中学数学课程中，三角恒等变形应逐渐退出历史舞台。 那么，三角函数课程应如何与时俱进呢？ 首先，从应用的角度看，应强调三角函数作为描述周期现象的重要数学模型的地位，因为“三角函数与其它学科的联系与结合非常重要，最重要的是它与振动和波动的联系，可以说，它几乎是全部高科技的基础之一”①。要特别重视对y=Asin(ωx+φ)的研究。 第二，“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映。”②所以，要充分发挥单位圆的作用，三角函数课程要用单位圆为载体来组织，要借助单位圆的性质研究三角函数的所有内容。 第三，在思想、方法上，要强调函数的变换（映射）与坐标系的变换及其关系、对称性与不变性等数学的主流思想和方法。例如，把诱导公式作为“关于x轴的轴对称变换T1： 第四，要强调三角函数与向量、复数、解析几何等的联系与综合。 总之，定义三角函数的最好方式是利用直角坐标系中的单位圆③。抓住三角函数作为刻画匀速圆周运动的数学模型，这就真正抓住了要领，就能以简驭繁。 注： ①齐民友. 三角函数 向量复数[J]。数学通报，2007（10）（11） ②项武义. 基础数学讲义丛书·基础几何学[M]．北京：人民教育出版社，2004，82页 ③[美]R·柯朗等. 什么是数学. 左平，张饴慈译. 上海：复旦大学出版社，2005，283页 17.过程自然才能使学生“会” 章建跃 最近看到一个“余弦定理”的教学过程： 师：在△ABC中，已知CB=a，CA=b，a≥b。当∠C从小到大变化时，AB的长变化趋势如何？ 生：随∠C的增大而增大。 师：特别地，∠C=0°，90°，180°，AB的长等于多少？ 生：a－b； 师：把三个结论在形式上写得更接近些，即 ∠C=0°时，AB= ∠C=90°，AB= ∠C=180°，AB= 你能根据上述三个特例的结果猜想∠C=θ(0°＜θ＜180°)时，AB的长是多少吗？ 生：AB= 师：很好。大家能给出证明吗？ 生：…… 师：怎么不会呢？我们可以这样来证（教师板书证明过程）。 这段描述引发了我的思考：学生不会的原因是什么？ 我认为，上述教学不包含使学生“会”的成分。三个特例的“统一形式”是老师以变魔术的方式变出来的，过程不自然，学生的“猜想”只是照猫画虎。因为过程不自然，所以“猜想”是老师强加给学生的；因为没有体现“内容所反映的数学思想方法”，所以学生得到的“猜想”是没有灵魂的；因为“猜想”不蕴含思想，所以学生不会证明是自然的。 那么，如何才能使学生“会”呢？我认为，在理解余弦定理及其反映的数学思想方法的基础上，再设计自然的过程，就能水到渠成地使学生“会”。可以从两个角度看“自然的过程”： 从解三角形角度，就是“已知三角形的两边及其夹角，求三角形的其他边和角”，解决它的核心思想方法是将它转化为已解决的问题，如解直角三角形、利用正弦定理等。 从向量及其运算角度，就是“在△ABC中，已知向量 根据上述理解，可按如下思路设计教学过程： 思路1（1）明确问题——在△ABC中，已知AB=c，CA=b和∠A，求BC；（2）有哪些知识可用？——三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数，正弦定理等；（3）能否将问题转化为已解决的问题？如何转化？ 思路2 （1）明确问题——在△ABC中，已知 上述思路1反映了“解三角形”的需要，体现了“将新问题化归为旧问题”的思想，学生容易接受，但局限是仅在平面几何中转圈圈，只反映了余弦定理的一个小应用；思路2简单且视野开阔，是“用另一种眼光看问题”，蕴含着“作为相对量的线段”的思想，不仅可以“解三角形”，而且具有深远的发展空间。 18.时代发展与数学课程改革 章建跃 本期刊登了王奋平老师的《英国Edexcel数学A水平考试内容介绍》。至此，王老师对英国五大考试委员会（AQA、CCEA、OCR、Edexcel 、WJEC/CBAC）组织的A水平课程考试（相当于我国的“高考”）内容全部刊登了。从这一系列介绍中可以感受到我国高中数学课程内容与英国的巨大差异：他们的内容时代气息更加浓厚，范围更加广泛，更加针对现实应用的需要。当我们有些老师还在为删去韦达定理而不能简捷地求解“弦的中点轨迹问题”而非常生气时，他们已经在要求学生用区间分半法、线性插值法、牛顿-拉扑逊方法（The Newton-Raphson process）求形如f(x)=0的解了。这实在是一件令人害怕的事情。 在谈论我国数学教育时，我们都为中国学生在运算技能和逻辑推理能力上的优势而感到骄傲。确实值得骄傲。但如果我们的学生只有“纸上功夫”，我们还能骄傲得起来吗？另外，取得“优势”的“性价比”是否也需要考量一下呢？我认为，强调运算技能，其意义并不在迅速获得答案，而在于训练运算技能的过程中所形成的对数及其运算的敏感性，这种敏感性对于数学的高水平理解有重要意义，同时也有助于提高学生用数表达和处理实际问题的能力，这也是运算技能作为“双基”的意义所在。但当前的教学，为了应试，为了使学生在选择题、填空题上既快又准，以争取时间做后面的“选拔题”，不惜让学生进行大量刺激-反应训练。这种训练对建立“敏感性”没有好处，而且还可能导致学生厌烦数学。把追求更高的分数当成唯一目标显然是落后于时代发展的。 当前，数学课程改革正在世界范围内如火如荼地开展。外面的世界很精彩。无论从国家的竞争力还是从学生的发展，抑或是教师自身的发展而言，都值得我们认真分析、把握其中的趋势。固守己见将面临被淘汰的危险。虽然对中学教师的挑战主要在数学课堂上，但要从容地应对这种挑战却需要多方面的准备。除积极变革教学方式外，理解课程改革、把握课程内容的变化也至关重要。当前，信息技术的飞速发展使社会职业结构发生了很大变化，许多低技术含量的工作被高度智能化的机器所替代。以加减乘除的熟练技能为基础的工作越来越少了，对数学（如微积分、向量、统计、概率、离散数学、算法等）要求较高的新工作大量增加了。这是时代发展对数学课程的新要求，也是对数学教师的实质性挑战。我们应把握住时代发展对数学需求的脉搏，让学生学那些适应信息技术时代要求的数学知识，并要大力加强数学应用，从而为学生今后能在社会上找到自己的位置并获得成功打下必须的数学基础。 19.我讲了n遍了你怎么还不会 章建跃 标题中的疑问，许多老师不仅内心疑惑，而且经常会对学生“脱口而出”。这个话不仅伤人，而且不公平。因为，你那“n遍”到底讲了什么？是能让学生“会”的讲法，还是把他们引向“似是而非”、“盲点遍地”的讲法？董老师在“注重过程的教学才是有效的教学”中记录的教学过程，较好地诠释了为什么老师讲了n遍学生还不会。 作为“和（差）角公式”的典型应用，“二化一公式”（暂且叫它“公式”吧）实际上是“逆用公式解决问题”，既可以锻炼学生的观察力，又能训练思维的发散性。正如董老师所言，如果从学生熟悉的和（差）角公式的“正用”出发，再提出“逆用”的问题，通过铺设合理的认知台阶，在关键的地方（即发现“提取 教师A对“为何是您告诉学生提出系数2， 总之，如果教师讲的“n遍”是不讲理的、越俎代庖的、强加于人的，少了循循善诱，缺乏心智启迪，没有给学生以豁然开朗的思维体验，那么这个n趋向于∞也是枉然。 我认为，如果讲一遍学生不明白，老师就应扪心自问，“我对这个内容的理解是否深刻？”“我哪个地方讲得不到位？”“我是以学生能懂的方式讲解的吗？”“我的讲解是否针对了学生的理解困难？”如果你经常遇到“讲了n遍学生还不会”的情况，那么该怀疑的是你自己的数学教学水平，而不是学生的数学学习能力！ 20.从整体性上把握好数学内容 章建跃 刘春艳老师在“平面向量的数量积”教后反思中谈到，由于“整体意识”不够，降低了对引入数量积概念的必要性及其作用的关注度，致使教学就事论事，缺乏应有的瞻前顾后。刘老师的反思切中要害，也是当前课堂教学需要关注的普遍问题。 强调把握好数学内容的整体性，是由数学的学科特点决定的。这种整体性，包括内容的整体结构（概念及其相互联系），以及前后一致的由内容反映的数学思想方法。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一。将它引入高中数学，主要目的是为了沟通代数、几何与三角函数，使学生在了解向量的几何背景和物理背景，理解向量及其运算的意义的基础上，学会用向量的语言和方法表述和解决几何或物理中的一些问题。 从整体上看，为了解决几何问题，必须先用向量及其运算表示几何元素、相互关系和基本几何量。空间最基本原始的概念是位置，有向线段 设直线l的方向向量为e，A是l上的定点，则直线l上任一点X可定量表示为： 设e1，e2是平面α上两个不共线向量，A是α上的定点，则α上每一点X可定量表示为： 两个不平行向量的“位置差别”由它们的夹角定量表示，向量的模表示了它的长度，而数量积则提供了表达、计算长度、角度的公式。 考察向量运算律的几何意义，可以发现空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律。例如： 平面几何关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之间的转换，其“向量表示”就是向量加法的交换律； 相似三角形定理用向量数乘运算来表达就是数乘分配律； 长度和角度的基本定理，即勾股定理和余弦定理，可用向量的数量积来有效地计算，而数量积的分配律则是勾股定理的提升和精简所得，也可以说是勾股定理代数化的最佳形式（项武义）。 总之，向量及其运算提供了表达、计算各种几何量的代数工具，而且向量运算律本身也是一套完美精简的几何基本定理。把握住这些，就执住了向量教学的牛耳。 日常教学，概念一个个地教，定理一个个地学，容易迷失在局部，见木不见林。长此以往就会导致坐井观天、思路狭窄、思维呆板，局限于一招一式的雕虫小技而不能自拔。把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张“联络图”，才能把准教学的大方向，才能使教学有的放矢。也只有这样，才能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识。 |
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