带电粒子在磁场中运动情况的讨论

带电粒子在磁场中运动情况的讨论

陕西省西乡县第二中学物理教研组　刘玮

　　带电粒子在磁场中的运动问题是高三物理复习教学的重点、难点，也是历年高考的热点问题。要想在有限的考试时间内快速准确求解这类问题，需要有扎实的基础知识和较强的综合分析能力。如果能掌握带电粒子在磁场中运动情况的基本类型及相关问题的解法，就可成竹在胸、从容应试。基于考纲要求，本文只讨论带电粒子（不计重力）在匀强磁场中垂直磁场方向的几种运动情况。

 

　　一、带电粒子在无界磁场中的运动（以下所画都是垂直磁场方向的截面图）

 

　　如图1，空间存在无边界的匀强磁场，磁感应强度为B，带电荷量为q、质量为m的带电粒子以垂直于B的速度v运动，它所受洛仑兹力提供向心力，作完整的匀速圆周运动。轨道半径为r、运动周期为T，则

 

 

　　       　得　　

 

　　

 

　　若粒子从C点运动到D点所用时间为t，则

 

　　　　　得　　

 

　　二、带电粒子在有界磁场中的运动

 

　　（一）有单平面边界的磁场

 

　　如图2，直线MN右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场。带电粒子由边界上P点以图示方向进入磁场，在磁场内做部分圆周运动，将以关于边界对称的方向从Q点射出。则有

 

 

　　

 

　　

 

　　

 

　　几何关系：PQ＝

 

　　当＜90⁰时，θ＞180⁰，轨迹为一段优弧，圆心在磁场中。

 

　　当＝90⁰时，θ＝180⁰，轨迹为半圆周，圆心在线段PQ的中点。

 

　　当＞90⁰时，＜ 180⁰，轨迹为一段劣弧，圆心在磁场外。

 

　　总结：这类问题中要特别注意出入磁场的速度方向关于边界对称的特点。更重要的是要能用“动态”的观点分析问题，即当粒子速度大小一定从P点进入方向变化时，粒子在磁场中的运动轨迹、运动时间、出磁场的位置都随之变化，但轨迹半径不变，所有可能轨迹的圆心应分布在以P点为圆心、为半径的半圆上。若带电粒子从P点射入时速度大小变化而方向一定时，粒子在磁场中的运动轨迹、轨迹半径、出磁场的位置都随之变化，但运动时间和偏转方向不变，所有可能轨迹的圆心应分布在PO及其延长线上。

 

　　（二）有平行双平面边界的磁场（只讨论粒子垂直边界进入磁场）

 

　　1．当时（如图3中r₁），粒子在磁场中做半圆周运动后由进入边界的Q₁点飞出磁场。则有

 

 

　　

 

　　

 

　　几何关系：PQ₁=2r₁

 

　　粒子运动方向改变180°。

 

　　2．当时（如图中），粒子将从另一边界Q₂点飞出磁场。则有

 

　　

 

　　

 

　　几何关系：　　　　　　

 

　　粒子运动方向改变。

 

　　总结：这类问题要特别注意粒子能否出另一边界的临界条件。还有正三棱柱面边界磁场、正四棱柱面边界磁场的问题，其分析方法与上面相似。

 

　　〔例题〕：如图4，有很多质量为m、电荷量为＋q的带电粒子以等大速度从P点沿垂直于磁场的不同方向连续射入磁感应强度为B、磁场宽度为d的匀强磁场中，求解下列问题：

 

 

　　要使粒子不从右边界射出，粒子速度大小应满足的条件是什么？

 

　　若粒子恰好不从右边界射出，这些粒子在磁场中所能到达的区域的面积是多少？

 

　　若所有粒子都从P点垂直左边界进入磁场并从右边界Q点射出，速度方向改变角，求粒子的速度大小和粒子的偏转距离？

 

　　解析：根据题意画出粒子运动轨迹如图4。

 

　　由牛顿第二定律得

 

　　……………①

 

　　要使粒子不从右边界射出，应有

 

　　…………………②

 

　　联立①②式解得　　

 

　　若粒子恰好不从右边界射出，应有

 

　　

 

　　此时粒子在磁场中所能到达的区域的面积为：

 

　　

 

　　（3）设此时粒子速度为V₂，轨迹半径为，由题意及几何知识得

 

　　         故有　　……………③

 

　　由牛顿第二定律得　　…………④

 

　　联立③④式解得　　

 

　　粒子偏转距离为

 

　　（三）有圆柱面边界的磁场（磁场方向与圆柱轴线平行）

 

　　1．带电粒子对准磁场圆心射入磁场

 

　　如图5所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点。则有如下关系：

 

　　物理关系：　　，　　　　，　　　

 

　　几何关系：　　，　　

 

　　特别地当时，，即粒子速度方向改变。

 

　　2．带电粒子不对准磁场圆心射入磁场

 

　　如图5所示，带电粒子从P点射入方向发生变化时，则轨迹圆心的位置随之变化。当粒子沿图6所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、方向偏转角最大。此时有：

 

 

　　　　　　　　　

 

　　　　　　

 

　　联立以上四式可解得和，并由可求得入射方向角。

 

　　讨论：

 

　　（1）由图6看出，在轨迹半径和运动方向偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆即为以PQ为直径的圆。

 

 

　　（2）如图7所示，由几何知识很容易证明当时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向却是平行的。

 

　　总结：处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆。再如圆环形磁场区域问题可参考（二）、（三）的分析方法求解。

 

　　〔例题〕在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标原点不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于xoy平面向内、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

 

 

　　解析：由题意可得电子在磁场中做半径为的匀速圆周运动。沿轴正方向射入的电子做圆周运动后从Q点离开磁场，联想图7所示特点，若存在一半径为R、圆心在O₁圆形磁场区域即可到达题意要求年，如图8所示。显然，符合条件的最小磁场区域应是圆O₁、A₁相交的部分。所以：

。

 

　　

 

　　从以上分析讨论看出，带电粒子在磁场中运动问题实质上就是利用磁场控制带电粒子的运动方向。解决这类问题的关键是找到带电粒子运动轨迹的圆心，依据题意画出示意图，再综合运用物理规律和数学知识求解。