三角函数定义的应用

三角函数定义的应用

贵州省习水县第一中学　袁嗣林

任意角的三角函数的定义，不仅是本节的重点，也是整个三角函数的重点内容。任意角的三角函数定义是“坐标比”，如，，，，是终边上任意一点，。对于确定的，这三个比值都不会随点在的终边上的位置的改变而改变。

 

一、由一个角的某个三角函数值求角的终边上某点的坐标

 

例1　已知角，且角为第一象限角，为角终边上一点，，则点的坐标为

 

，      ，       ，       ，

 

分析：由角的大小可知角的终边上任意一点的坐标之比，再由可以得到关于横、纵坐标的方程，解方程即可。

 

解：因为，所以角为第一象限角且角终边上任意一点的横、纵坐标之比为，设点的坐标为，，由，得。所以点的坐标为，。

 

点评：由角的三角函数值只与角的终边位置有关，与这点在终边上的位置无关，因此我们只能得到任意一点的坐标比。

 

二、由一个角的某个三角函数值求其他三角函数值

 

例2　已知，试求、的值。

 

分析：由三角函数的定义及的正切值可以在角终边上任意找一点，设出它的坐标，再求得，求得这点的纵坐标，从而得到其他三角函数值。

 

解析：由，所以、同号，在第一象限或第三象限。如果在第一象限，在其终边上取一点，，则，由三角函数的定义得，，；如果在第三象限，在其终边上取一点，，则，由三角函数的定义得，，。

 

点评：由一个三角函数值求其他三角函数值时，根据题意得到、、的关系，从而求得其他三角函数值。根据三角函数值的大小不能确定角所在的象限，所以要分情况讨论。

 

三、利用任意角的三角函数的定义求参数的取值范围

 

例3　已知角的终边过点，，且，，则实数的取值范围是______。

 

分析：根据三角函数值的符号及三角函数的定义知角的终边上一点的横纵坐标的符号，解不等式即可。

 

解析：角的终边过点，，即，，，且，，所以。所以实数的取值范围是。

 

点评：本题主要考查了利用三角函数的定义及不等式组的解法。本题还可以直接利用三角函数在各个象限的符号得到此点所在的象限进行求解。

 

四、利用任意角的三角函数的定义化简或证明

 

例4　证明：。

 

分析：本题先将的三角函数用定义表示出来，注意，将其代入到等号的左边，推证。

 

证明：设的终边上任意一点的坐标为，，它到原点的距离为。左边，

 

右边，左边等于右边。所以原式成立。

 

    点评：利用三角函数定义求值、化简、证明问题，前提条件是所给的式子均有意义，它所运用的思想是等价转化思想，即把所需求值、化简、证明等问题转化为、、的代数运算问题。

2011-11-18