函数概念与基本初等函数

第二章　函数概念与基本初等函数

 

§2.1　映射、函数、反函数

 

一、知识导学

 

1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)
　　2.函数： 设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都有原象，这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数，记作 .

其中所有的输入值组成的集合A称为函数定义域.

对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域.

　　3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f^-1(y)

. 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f^-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数

叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x) 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

 

 

 

 

二、疑难知识导析

 

1.对映射概念的认识

(1) 与 是不同的，即 与 上有序的.或者说：映射是有方向的，

(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.

(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.      

2.对函数概念的认识

（1）对函数符号 的理解知道 y=与 的含义是一样的，它们都表示 是 的函数，其中 是自变量，是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.

 (2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；

（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图象法.

3.对反函数概念的认识

　（1）函数y=只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；

　（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.

　（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图象关于y=x对称.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；

　　　（2）从M到N的映射满足 (a)>(b)≥f(c),试确定这样的映射的种数.

错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有

  ，共6个映射

    (2)由（1）得满足条件的映射仅有一种情况

错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清

正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有

一共有27个映射

（2）符合条件的映射共有4个

[例2]已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域

错解：由于函数的定义域为[0，1]，即，

∴的定义域是[1，2]

错因：对函数定义域理解不透，不明白与定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：中取值的范围与中式子的取值范围一致就好了.

正解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足

，∴的定义域是[－1，0]

[例3]已知：，求.

错解：∵ ，∴

故，∴＝3－3＝0.

错因：没有理解分段函数的意义，的自变量是3，应代入中去，而不是代入－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.

正解：∵ ，

∴＝＝＝7-5＝2　

[例4]已知的反函数是，如果与的图象有交点，那么交点必在直线上，判断此命题是否正确？

错解：正确

错因：对互为反函数的图象关于直线对称这一性质理解不深，比如函数

的图象的交点中，点不在直线上，由此可以说明“两互为反函数图象的交点必在直线上”是不正确的.

[例5]求函数，的值域.

错解：

　　　又，的值域是

错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y的取值范围了.

正解：配方，得

∵，对称轴是∴当时，函数取最小值为2，

的值域是

[例6]已知，求函数的解析式.

错解：由已知得

即，∴

错因：将函数错误地认为是的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上与并不是互为反函数，一般地应该由先求，再去得到.

正解：因为的反函数为＝，

所以＝＝

[例7]根据条件求下列各函数的解析式：

（1）已知是二次函数，若，求.

（2）已知，求

（3）若满足求

解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解

设＝由于得，

又由，∴

即　

　　因此：＝

(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解

设

∴＝　　（）

（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解

　用代可得：

与　　　　　

　联列可消去得：＝.

点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.

[例8] 已知，试求的最大值.

分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.

解  由  得

又

当时，有最大值，最大值为

点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：

由 得

当时，取最大值，最大值为

这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图象着手，这样才能正确地解题..

[例9]设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有

，求的表达式.

解法一：由，设，

得，所以＝

解法二：令，得

即

又将用代换到上式中得＝

点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.

 

四、典型习题导练

 

1. 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（　　　 ）

A.0       B.1      C.0或1      D.1或2

 

2.对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是(    )   A.                    B.

    C.g(t)=(t－1)²                      D.g(t)=cost

 

3.方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 (    )

   

 

4.（06年高考全国II）函数f(x)＝的最小值为

A．190           B.171             C.90         D.45

5. 若函数f(x)=(x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于(    )

A.3                 B.                    C.－              D.－3

6.已知函数满足：，，则

           .

7.已知函数f(x)满足f(log_ax)= (其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式.

8.已知函数是函数（R）的反函数，函数的图象与函数的图象关于直线y＝x－1成轴对称图形，记＝+.

（1）求函数F（x）的解析式及定义域；

（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.