一道高考解析几何题的拓展与推广

一道高考解析几何题的拓展与推广

湖北省阳新县高级中学　邹生书

2010年高考全国卷Ⅰ第21题如下：

已知抛物线的焦点为，过点直线与相交于两点，点关于轴的对称点为．

（1）       证明：点在在直线上；

（2）       设，求的内切圆的方程．

注意到点就是抛物线的准线与对称轴的交点即为准点，故点和点恰为抛物线的一对“伴侣点”，一般地对于圆锥曲线的焦点轴上的任意一对“伴侣点”有如下性质．

性质1  已知点是抛物线的一对“伴侣点”，过点作与坐标轴不平行的直线交抛物线于两点，过点作轴的对称点，则直线必过点．

　　　

图1                                 图2

证明  如图1图2，设，因为两点关于轴对称，所以点的坐标为．又直线过点，故可设直线的方程为，将其代入抛物线方程得．因是此方程的两个根，由根与系数关系得．又点在直线上，所以， 所以．

又

，

所以，故三点共线从而直线必过点．

性质2  已知是椭圆的一对“伴侣点”，过点作与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的对称点，则直线必过点．

图3                                      图4

证明  如图3图4，设，因为两点关于轴对称，所以点的坐标为．又直线过点，故可设直线的方程为，将其代入椭圆方程化简得．因是此方程的两个根，由根与系数关系得，．又点在直线上，所以．

所以，

又

，

所以，故三点共线从而直线必过点．

同理可证明如下结论：

性质3  已知是双曲线的一对“伴侣点”，过点作与坐标轴不平行的直线与双曲线相交于两点，过点作轴的对称点，则直线必过点．

综合上述3个结论，可得圆锥曲线的一个统一的性质如下：

性质4  已知是圆锥曲线的一对“伴侣点”，过点作与对称轴不平行的直线与曲线相交于两点，过点作焦点轴的对称点，则直线必过点．

由此可以看出，2010年高考全国卷Ⅰ第21题就是圆锥曲线这个共性的一个特例．命题人将其在解析几何中的某一研究成果或他人的研究成果具体化，就可命制出背景新颖内容厚重的优质高考题，这类试题往往具有较好的研究性、探索性和延展性．在课堂教学中，若能引导学生对试题进行适度的引申和推广，将有利于培养学生的归纳推理和类比推理的能力，有利于提高学生自主探究问题和创造性地解决问题的能力．充分挖掘和拓展高考试题的教育功能，体现和展示高考试题的教学价值，这对打造高效课堂、提高教学质量很有裨益．

 

参考文献：