圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问题

 

二. 教学目标：

（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．

 

三. 知识要点：

解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识．反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质．学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的．

具体来说，有以下三方面：

（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法．有时题设设计得非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口．

（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识．

（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号．

 

【典型例题】

例1. 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离．

分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解．同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考．仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a－c，这样就把问题转化为求a，c或a－c．

解：建立如上图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为+=1，

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=（或∠xFA′=）．

作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=｜FA｜=m，

故由椭圆的第二定义可得

m=（－c）①       且m=（－c+m）②

两式相减得m=·m，∴a=2c．

代入①，得m=（4c－c）=c，

∴c=m．∴a－c=c=m．

答：彗星与地球的最近距离为m万千米

点评：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a+c．

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想．另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质．

 

例2. 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工．

分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远．

显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜．

于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50．

从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程．

解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则

｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜，

∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50．

在△PAB中，由余弦定理得

｜AB｜²=｜PA｜²+｜PB｜²－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500，

且50＜｜AB｜．

由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，

设此双曲线方程为－=1（a＞0，b＞0）．

∵2a=50，4c²=17500，c²=a²+b²，

解之得a²=625，b²=3750

∴M点轨迹是－=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧．

于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．

点评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域．

（2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果．

 

例3. 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值．

分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m（即在横断面上距拱口中点2 m）处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得．

解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，

由题意可得抛物线的方程为x²=－2p（y－），

∵点A（－，0）在抛物线上，

∴（－）²=－2p（0－），得p=．

∴抛物线方程为x²=－a（y－）．

取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得

2²=－a（y－），y=．

由题意，令y＞3，得＞3，

∵a＞0，∴a²－12a－16＞0．

∴a＞6+2．

又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，……．

答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m．

点评：本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值；二是由y＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的．

 

例4. 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y²=2px（p>0）于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．

（1）写出直线l的截距式方程；

（2）证明：+=；

（3）当a=2p时，求∠MON的大小．

分析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y²=2px交点的纵坐标由根与系数的关系易得y₁+y₂、y₁y₂的值，进而证得+=．由·=0易得∠MON=90°亦可由k_OM·k_ON=－1求得∠MON=90°．

（1）解：直线l的截距式方程为+=1．

（2）证明：由+=1及y²=2px消去x可得by²+2pay－2pab=0．   

点M、N的纵坐标为y₁、y₂，

故y₁+y₂=，y₁y₂=－2pa．

所以+===．

（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，

则k₁=，k₂=．

当a=2p时，由（2）知，y₁y₂=－2pa=－4p²，

由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，

x₁x₂===4p²，

因此k₁k₂===－1．

所以OM⊥ON，即∠MON=90°．

点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．

 

例5. 已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线－=1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）

（1）当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

（2）当=λ时，求λ的最大值．

分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l₁与l₂的夹角为60°易得=，由双曲线的距离为4易得a²+b²=4，进而可求得a、b．

（2）由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l₁的交点，故需求l的方程将l与l₂的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值．

解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，

又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°=∴a=b．

又a²+b²=4，∴a²=3，b²=1．

故椭圆C的方程为+y²=1．

（2）由已知l：y=（x－c），与y=x解得P（，），

由=λ得A（，）．

将A点坐标代入椭圆方程得

（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²．

∴（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²

∴λ²==－［（2－e²）+］+3≤3－2．

∴λ的最大值为－1．

点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题．

 

例6. 如图，矩形ABCD中，，以AB边所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，P是x轴上方一点，使PC、PD与线段AB分别交于、两点，且成等比数列，求动点P的轨迹方程，

解：显然有，

设，

三点共线，，      

，又三点共线，

， ，

，

，

，

化简得动点P的轨迹方程为．

小结：

在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：

1、客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决．

2、四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一．

3、注意用好以下数学思想、方法：

①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想

 

【模拟试题】

1、一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为

A、m           B、2m           C、4.5 m            D、9 m

2、某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一支柱支撑，其中最长的支柱是

A、4 m             B、3.84 m           C、1.48 m            D、2.92 m

3、天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是

A、椭圆                   B、圆                        C、双曲线的一支     D、抛物线

4、1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星．卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于

A、2       B、         C、2mn       D、mn

5、如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是

A、2.5 m                    B、4 m               C、5 m                        D、6 m

6、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是____ cm．

7、在相距1400 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s，已知声速340 m/s炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________．

8、一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x²=2y（0≤y≤20）在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为________．

9、河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m时，小船不能通航．

10、双曲线9x²－16y²=1的焦距是____________．

11、若直线mx+ny－3=0与圆x²+y²=3没有公共点，则m、n满足的关系式为_____；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有_________个．

12、设P₁（，）、P₂（－，－），M是双曲线y=上位于第一象限的点，对于命题①|MP₂|－|MP₁|=2；②以线段MP₁为直径的圆与圆x²+y²=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于|MP₁|其中所有正确命题的序号是____________．

 

【试题答案】

1、解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x²=－2py（p>0），由题意知，抛物线过点（2，－2），

∴4=2p×2∴p=1．∴x²=－2y．

当y₀=－3时，得x₀²=6．

∴水面宽为2|x₀|=2．

答案：B

2、解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x²=－2py（p>0），由题意知其过定点（10，－4），代入x²=－2py，得p=．

∴x²=－25y当x₀=2时，y₀=，∴最长支柱长为4－|y₀|=4－=3.84（m）．

答案：B

3、解析：设旗杆高为m，华表高为n，m＞n旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系设曲线上任一点M（x，y），由题意=，即（m²－n²）x²+（m²－n²）y²－2a（m²－n²）x+（m²－n²）a²=0．

答案：B

4、解析：由题意－c=m+R，①  +c=n+R， ②

∴c=，2b=2=2．

答案：A

5、解析：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为

y=a（x－1）²+2，P点坐标为（0，1），

∴1=a+2∴a=－1．

∴y=－（x－1）²+2．

令y=0，得（x－1）²=2，∴x=1±．

∴水池半径OM=+1≈2.414（m）．

因此水池直径约为2×|OM|=4.828（m）．

答案：C

6、解析：设抛物线方程为y²=2px（p>0），点（40，30）在抛物线y²=2px上，

∴900=2p×40． ∴p=．∴=．

因此，光源到反射镜顶点的距离为cm．答案：

7、解析：设M（x，y）为曲线上任一点，

则|MA|－|MB|=340×3=1020<1400．

∴M点轨迹为双曲线，且a==510，

c==700．

∴b²=c²－a²=（c+a）（c－a）=1210×190．

∴M点轨迹方程为－=1．

答案：－=1

8、解析：玻璃球的轴截面的方程为x²+（y－r）²=r²

由x²=2y，x²+（y－r）²=r²，得y²+2（1－r）y=0，由Δ=4（1－r）²=0，得r=1

答案：0＜r≤1

9、解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x²=－2py（p>0）．

将点（4，－5）代入求得p=．

∴x²=－y．

将点（2，y₁）代入方程求得y₁=－．

∴+|y₁|=+=2（m）．

答案：2

10、答案：．

解析：将双曲线方程化为标准方程得－=1．

∴a²=，b²=，c²=a²+b²=+=． ∴c=，2c=．

11、答案：0<m²+n²<3 ，2．

解析：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x²+y²=3，消去x，得（m²+n²）y²－6ny+9－3m²=0．

令Δ<0得m²+n²<3．又m、n不同时为零，∴0<m²+n²<3．

由0<m²+n²<3，可知|n|<，|m|<，再由椭圆方程a=，b=可知公共点有2个．

12、答案：①②③．

解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP₁|可知正确．