高中数学：如何解答圆锥曲线的问题

例1、设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为，求该彗星与地球的最近距离。

分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路为：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法运用椭圆的第二定义求解。同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考。仔细分析题意由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点时，彗星与地球的距离才达到最小值即为，这样就把问题转化为求a,c和。

解：建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星只能满足∠OFA=（或∠）。作AB⊥OF于B，则。

由椭圆的第二定义可得：

两式相减得，即a=2c。

代入①得

因此，

例2、根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m，宽1.6m。现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4m的距离行驶。已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过时a的最小正整数值。

分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4m到2m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2m（即在横断面上距拱口中点2m）处隧道的高度是否够3m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得。

解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为：

∵点A（，0）在抛物线上

∴，得

∴抛物线方程为

取x=，代入抛物线方程，得，。由题意知y>3，即，而a>0，则，解得。

使卡车安全通过时a的最小正整数为14。

例3、某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP或BP运到P处（如图所示）。已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工。

分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远。显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点，则有。于是－|PA|=150－100=50。从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与到点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程。

解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立如图直角坐标系，设M（x,y）是沿AP、BP运土同等距离的点，则

∴

在△PAB中，由余弦定理得：

，且50<>（a>0，b>0）

，解之得

∴点M轨迹是在半圆内的一段双曲线弧。于是运土时将双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。