用中心对称思想解圆锥曲线的中点弦问题

用中心对称思想解圆锥曲线的中点弦问题

重庆市垫江实验中学校　杨正修

1. 一直线与椭圆4x²+9y²=36相交于A、B两点，弦AB的中点M(1,1)，求直线AB的方程。

 

解：设椭圆4x²+9y²=36关于弦AB的中点M(1,1)对称的椭圆上任意点的坐标为 (x,y), 则点(x,y) 关于弦AB的中点M(1,1)的对称点为(2-x,2-y)，且在椭圆4x²+9y²=36上，所以有4(2-x)²+9(2-y)²=36.

 

两式相减得  -16+16x-36+36y=0即4x+9y-13=0为直线AB的方程.

 

2. 过点P(8,1)的直线与双曲线x²-4y²=4相交于A,B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程.

 

解：设双曲线x²-4y²=4关于AB的中点P(8,1)的对称的双曲线上任意点为(x,y)，则点(x,y) 关于弦AB的中点P（8，1）的对称点（16-x,2-y）必在双曲线x²-4y²=4上，所以有(16-x)²-4(2-y)²=4, 两式相减得  256-32x-16+16y=0即2x-y-15=0为直线AB的方程.

 

3.已知抛物线y²=-8x,过Q(-1,1)作抛物线的一条弦，使此弦被Q点平分，求弦所在直线的方程.

 

解：设抛物线y²=-8x关于点Q(-1,1)对称的抛物线上的任意点为(x,y)，则点(x,y) 关于点Q(-1，1)的对称点（-2-x,2-y）必在抛物线y²=-8x上，所以有 (2-y)²=-8(-2-x) 两式相减得  4-4y=16x+16即4x+y+3=0为所求直线的方程.

 

一般地，对圆锥曲线f(x,y)=0,若点P(x₀,y₀)在曲线f(x,y)=0内部，则以点P为中点的曲线f(x,y)=0的弦所在直线的方程由方程f(x,y)=0与f(2 x₀-x,2y₀-y)=0相减而得到.

 

解题原理：所求直线方程实际上是两个关于点P(x₀,y₀)对称的圆锥曲线的相交弦所在直线方程(如下图).

 

 

变式：已知椭圆x²+2y²=2和椭圆外一点(0,2),过这点任意引直线与椭圆交于A,B两点，求弦AB的中点P的轨迹方程.

 

解：设P(x₀,y₀)，则由x²+2y²=2和(2 x₀-x)²+2(2 y₀-y)²=2相减可得直线AB的方程：-4 x₀²+4 x₀x-8 y₀²+8 y₀y=0，即x₀x+2 y₀y-x₀²-2 y₀²=0，又直线AB过点(0,2),于是点P(x₀,y₀)的坐标满足：4 y₀-x₀²-2 y₀²=0，所以P的轨迹方程为：x²+ 2 y²-4 y =0  ().