2022新高考2卷16题——圆锥曲线中点弦二级结论应用实例

按照惯例，先画出草图作为解题思维的出发点：

研究下给出的条件：

一条直线l和椭圆相交，|MA|=|NB|，也就意味着|MB|=|NA|，也就是说AB的中点也会是MN中点。

给出的这个条件其实是在提示我们应该找到相交弦的中点，有了中点这个关键字，我们就会联想到很多和中点相关的推理和结论。

假如我们设MN的中点为C，那么直线OC的斜率和MN的斜率之间就会存在两种关系（为什么会想到这些？关键在于我们预先知道一些圆锥曲线中点弦的有关结论，另外还有两相对称曲线斜率之间的关系结论）：

一种是因为中点弦而形成的关系：

另一种是因为直线OC和MN对称而形成的关系：

因为本题是小题，知道上述结论，直接代入使用就可以了，但作为题目的解析，我们还是必须要把这些结论的来历大致说一下。

第一种关系可以做如下简单证明：

我们设

AB的斜率可以表示为：

因为C为AB的中点，坐标为：

OC的斜率：

两个斜率的乘积

对于上式，我们还可以从椭圆方程的角度给予另一种表示：

两式相减可得：

继续整理：

对于第二种关系，我们可以做如下简单推导：

直角三角形中，C为斜边中点，所以OC=MB，因为两线段和x轴夹角相同，正切值相反，所以

也就是：

将两种关系联立：

在整个直角三角形中，也就给出了我们信息：

题目中又给出了线段MN的长度，也就是告诉我们：

二者联立：

这样我们可以写出AB的截距式方程：

整理成一般式：

当然你也可以写出M、N甚至C任何一点的坐标，然后采用大家熟悉的点斜式写出直线的方程，结果都是一样的。

总结下本题的考点：

1、椭圆的基本知识，首先要对椭圆的方程非常熟悉才行

2、圆锥曲线中点弦相关的一些二级结论。二级结论在本题中直接使用即可，但在大题中不可以直接使用，但你可以首先做简单推导，然后使用起来就名正言顺了。高中数学很多板块中的二级结论非常多，完全记住不太现实，但至少你得知道常用的结论，有了这些结论作为支撑，思维才会变得更为开阔。

3、和本套试卷的15题相同，考察了两条对称直线斜率之间的关系

4、直线方程的写法

作为一个压轴小题，总体来看，这么明显提示采用圆锥曲线二级结论的，还真不多，从难度上来看，还是稍显欠缺的。

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